如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．（1）当运动时间t为多少秒时，PQ∥CD．（2）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）由当PD=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，此时PQ∥CD，可得方程：6-t=3t，解此方程即可求得答案；（2）分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案．解答：解：根据题意得：AP=t，CQ=3t，∵AD=6，BC=16，∴PD=AD-AP=6-t；（1）∵AD∥BC，∴当PD=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，此时PQ∥CD，∴6-t=3t，解得：t=1.5；∴当运动时间t为1.5秒时，PQ∥CD．（2）∵E是BC的中点，∴BE=CE=12BC=8，①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：2t-8=6-t，解得：t=143；②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：8-2t=6-t，解得：t=2，∴当运动时间t为2或143秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．点评：此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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科目：初中数学
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=CD=10．求：梯形ABCD的周长．
科目：初中数学
20、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，并且AB=8，AD=3，CD=6，并且∠B+∠C=90°，则梯形面积S梯形ABCD=．
科目：初中数学
11、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，则S△AODS△BOC．（填“＞”、“=”或“＜”）
科目：初中数学
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O的半径为（　　）
A、3cmB、7cmC、3cm或7cmD、2cm
科目：初中数学
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若BD=7，AD=5，求BC的长．
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作DE∥AB交BC于点E,得到平行四边形ABED∴∠CED=∠B=40°,BE=AD=1∴∠CDE=70°∴AB=DE=CE=4-1=3．答案选A
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作辅助线：过A点作DC的平行线AE交BC于E。∵∠AEB＝∠C＝70°且∠B＝40°∴∠BAE＝180°－∠B－∠AEB＝70°∵∠AEB＝∠BAE∴AB＝BE＝BC－EC＝BC－AD（AECD是平行四边形）&&&＝4－1&&&＝3</...
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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm.在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm.点B，C，Q，R在同一条直线l上，且C，Q两点重合．如果等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动，ts时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S。(1)当t=4时，求S的值；&(2)当4≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
题型：解答题难度：偏难来源：期末题
解：(1)当t=4时，点B与点Q重合，点D与点P重合，重合部分为△BCD.证明如下：如答案图(a)所示，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DE⊥BC于点E，则AG∥DE且AG=DE.所以四边形ACED为矩形，从而AD=GE.在梯形AB-CD中，因为AB=AD=DC=2 cm，BC=4 cm，所以CE=BC=1cm.所以在Rt△CDE中，cm.在等腰△PQR中，过点P作PH⊥QR于点H因为∠QPR=120°，QR=6cm，所以∠PQR=30°．在Rt△PQH中，因为，所以PH=QHtan30°=cm.所以DE=PH.即点P在直线AD上．因为EC+CH=1+3=4=DP，所以当t=4时，点D与点P重合，如答案图(b)所示．所以(2)①当4≤t&6时，如答案图(c)所示．方法：因为QC=tcm，BC=4 cm，QR=6 cm，所以QB=（t-4）cm，CR=(6-t) cm.设PQ与AB交于点M，PR与CD交于点N．在△BQM中，因为∠BQM=30°，又可求得∠ABC=60°，所以∠BMQ=30°，所以BM=QB=（t-4）(cm)．过点M作MS⊥BC于点S．在Rt△BSM中，MS=BM·sin60°=cm．所以．同理可得，．所以．所以当t=5时，②当6≤t≤10时，如答案图(d)所示．方法：因为QC=tcm，BC=4cm，QR=6 cm，所以RC=（t-6）cm，BR=(10-t)cm.设PR与AB交于点F，在△BFR中，因为∠FBR=60°，∠FRB= 30°，所以△BFR为直角三角形．所以,RF=．所以因为6≤t≤10，所以当t=6时，综上可知，当t=5时，
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm.在等腰△PQR中..”主要考查你对&&全等三角形的性质，求二次函数的解析式及二次函数的应用，梯形，梯形的中位线&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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全等三角形的性质求二次函数的解析式及二次函数的应用梯形，梯形的中位线
全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。 梯形的中位线：连结梯形两腰的中点的线段。& 梯形性质：①梯形的上下两底平行；②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。③等腰梯形对角线相等。
梯形判定：1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中位线长度=（上底+下底）梯形的周长与面积：梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：a=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a。另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。梯形的分类：等腰梯形：两腰相等的梯形。 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。 （2）等腰梯形的对角线相等。 （3）等腰梯形是轴对称图形。 等腰梯形的判定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
发现相似题
与“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm.在等腰△PQR中..”考查相似的试题有：
107510231804134581133435163180193896在梯形ABCD中,AD平行BC,角B=90度,角C=45度,AD=1.BC=4,E为AB中点,EF平行DC交F,求EF长
∵DC//EF,∠C=45°∴∠EFB=45°∵∠B=90°∴∠BEF=45°∴△EBF为等腰直角三角形过D点做DG⊥BC于G∴四边形ABGD为矩形∴AD=BG=1∵BC=4∴GC=3∵∠DCG=45°,∠DGC=90°∴DG=GC=3∴AB=3∴EB=3/2∴BF=3/2∴EF=√(3/2)&#178; (3/2)&#178;=√9/4 9/4=√18/4=√9/2=3√2/2(二分之三倍根二)
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如图，E是AB中点，则G为DC中点，EF//DC，所以EF=DC/2，AD=1，BC=4，所以HC=4-1=3，角C=45°，所以DC=根号2倍HC=3倍根号2，所以EF=（3倍根号2）/2
扫描下载二维码已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=．求：（1）∠DBC的余弦值；（2）DE的长．
（1）∵Rt△ABD中，cot∠ADB=，∴=，则AD=16，∴BD=2+AD2=2+162=20，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴cos∠DBC=cos∠ADB===；（2）在Rt△BCD中，cos∠DBC=，即=，解得：BC=25，∵AD∥BC，∴==，∴=，∴DE=×BD=×20=．
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（1）根据cot∠ADB=，可求出AD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，继而可得出∠DBC的余弦值；（2）在Rt△BDC中，由（1）的答案可求出BC的长度，再由平行线分线段成比例的知识可求出DE的长．
本题考点：
梯形；勾股定理；平行线分线段成比例；解直角三角形．
考点点评：
本题考查了梯形、勾股定理及平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，能正确表示角的三角函数．
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