在三角形在abc中 acb 90，角ACB=90°，A...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-12 12:04 标签：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DN=DM，连接MN，即可得出△NDM是等边三角形，利用△NGM≌△DBM即可得出BD=NG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H=∠2，进而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE=．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD=DG+DM．
如图2所示：延长ED使得DN=DM，连接MN，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DN，
∴△NDM是等边三角形，
在△NGM和△DBM中，
∴△NGM≌△DBM，
∴BD=NG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．
（3）结论：AD=DG-DN．
证明：延长BD至H，使得DH=DN．
由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND，∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG-ND．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．
证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM=AB=BM，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB=AB=BM，∴CM=CB，∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．
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由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考点：
含30度角的直角三角形．
考点点评：
本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．
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如图6，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为
B．①③④ C．①②④
10．如图6，在△ABC中，&ACB=90&，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且&ECF=45&，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG&MH=，其中正确结论为
A．①②③&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．①③④
C．①②④&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．①②③④
考点：相似形综合题．.
分析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF&BF=AC&BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG&MH=AE&BF=AE&BF=AC&BC=，依此即可作出判断．
解答：解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB==，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB&BC，&MBC=90&，
∴&MGC=90&=&C=&MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵&FCE=45&=&ABC，&A=&ACF=45&，
∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，&ACB=90&，
∴&A=&5=45&．
将△ACF顺时针旋转90&至△BCD，
则CF=CD，&1=&4，&A=&6=45&；BD=AF；
∵&2=45&，
∴&1+&3=&3+&4=45&，
∴&DCE=&2．
在△ECF和△ECD中，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵&5=45&，
∴&BDE=90&，
∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；
④∵&7=&1+&A=&1+45&=&1+&2=&ACE，
∵&A=&5=45&，
∴△ACE∽△BFC，
∴=，
∴AF&BF=AC&BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG∥BC，MH∥AC，
∴=；=，
∴MG=AE；MH=BF，
∴MG&MH=AE&BF=AE&BF=AC&BC=，
故④正确．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
第Ⅱ卷（非选择题& 共90分）
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已知在三角形ABC中，角ACB等于90度，AC等于BC
且CF等于CE，D是边AB上一点：AB等于AC+CE（2）在（1）的条件下，求证（1）AE是角平分线，求证，CD交AE于F
所以AB=AM+MB=AC+CE2，那么CE=EM，EM=MB、CE=CF1，角EMA=90°、在AB上作AM=AC，所以角CEF=CFE=AFD，连接EM，所以CD为AB的垂直平分线，AD=BD，从而三角形EMB为等腰直角三角形，角ADC=180°-角FAD-角AFD=180°-角FAC-角AEC=90°，容易证明三角形ACE与三角形AME全等
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