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中职数学基础模块上册《指数函数的图像与性质》word教案
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中职数学基础模块上册《指数函数的图像与性质》word教案
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《指数函数的图像及其性质》的图形计算器教学设计
&&&&&&本期共收录文章20篇
一、教学内容分析 中国论文网 /9/view-6498831.htm 本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学（1）》（苏教版）《2.2.2指数函数的图像及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将这部分划分为两节课（探究概念图像及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究概念图像及其性质”。 指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中也有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究，对知识起到了承上启下的作用。 二、学生学情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（古莲子的年代问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果激发学生学习新知的兴趣和欲望。进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数及等比数列的性质打下坚实的基础。 三、设计思想 （一）函数及其图像在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图像语言有机结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望，维持持久的好奇心。本节课，力图让学生从不同角度研究函数，对函数进行全方位研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生体会这种的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中。 （二）结合参加我校组织的市级课题《高中数学实验教学的实践研究》的研究，在本课教学中我努力实践以下两点。 1.在课堂活动中，利用图形计算器帮助学生学习，通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 2.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握学习、研究数学的方法。 （三）通过图形计算器与学生的课堂活动，通过学生自我动手、自我实验，培养学生的学习能力，增强数学学习的趣味性和生动性。 四、教学目标 根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是： 知识与能力：通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念;掌握指数函数的图像及性质，并能解决简单的数学问题。 过程与方法：通过观察图像，分析、归纳、总结，自主构建指数函数的性质。体会数形结合和分类讨论思想及从特殊到一般等学习数学的方法 ，增强识图用图的能力，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中，使学生获得研究函数的规律和方法;通过图形计算器的运用，培养学生自我动手、自我实验、合作交流的意识，培养学生善于观察、用于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 五、教学重点与难点 教学重点：指数函数的概念、图像和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质。 六、教学策略分析 （一）本节是指数函数及其性质概念课，以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。 （二）抓住学生的好奇心，将娱乐“计算米粒”与数学有机结合在一起，利用图形计算器，通过学生自我动手、自我实验，增强数学学习的趣味性和生动性。 （三）通过让学生给函数命名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学生对指数函数本质的理解，激发学习兴趣，概念的得出可谓“润物细无声”。 （四）在研究指数函数的性质时，通过提问的方法，让学生明白研究函数可以从图像和解析式这两个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识点――图像及其性质。设计中将学生进行分组，通过学生自主探究、合作学习，侧重对解析式、作图像探索。学生的上台报告，老师借助图形计算器的直观图形，以形助数，以数定形，数形结合的数学方法，收到了较好的研究效果。 七、教学过程 （一）创设情境，提出问题。 师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少米？ 学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。 师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米……按这样的规律，51号同学该准备多少米？ 师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？ 教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。 师：1.2亿吨是一个什么概念？根据日美国农业部发布的最新数据显示，年度我国大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号同学所需准备的大米相当于年度我国全年的大米产量。 【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做好准备;同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】 在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？ 学生很容易得出y=2x（x∈N■）和y=2■（x∈N■）. （二）师生互动，探究新知。 1.指数函数的定义 师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与y=2■类似的关系式y=1.073■（x∈N■，x≤20） （1）让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）（约3分钟）。 ①y=2■（x∈N■）和y=1.073■（x∈N■，x≤20）这两个解析式有什么共同特征？ ②它们能否构成函数？ ③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现y=2■，y=1.073■是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 师：如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y=a■的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。 （2）让学生讨论并给出指数函数的定义（约6分钟）。 对于底数的分类，可将问题分解为： ①若a<0会有什么问题？（如a=-2，x=■则在实数范围内相应的函数值不存在。） ②若a=0会有什么问题？（对于x≤0，a■都无意义） ③若a=1又会怎么样？（1■无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。） 师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0且a≠1. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。 【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值;②讨论出a>0，且a≠1也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y=2×3■，y=3■，y=-2■。 【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】 2.指数函数的图像与性质 （1）提出两个问题（约3分钟）。 ①目前研究函数一般可以包括哪些方面？ 【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。 ②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？】 可以从图像和解析式这两个不同的角度进行研究;可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）;当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法进行研究才能事半功倍。还可以借助一些数学思想方法思考。 【设计意图：①让学生知道图像法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图像和解析式（包括列表）不同的角度对函数进行研究; ②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】 （2）分组活动，合作学习（约8分钟）。 师：好，下面我们就从图像和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。 ①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助图形计算器的操作从图像的角度入手研究指数函数。 ②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）。 ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。 【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当指导。】 【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人，更可加深对所得到结论的理解。】 （3）交流、总结（约10～12分钟）。 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。 教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。 师：各组除了研究过定义域、值域、单调性、奇偶性外，还是否得到一些有价值的副产品呢？（如：过定点（0，1），y=a■与y=（■）■的图像关于y轴对称） 师：下面我们开一个成果展示会！y=2■，y=10■，y=（■）■，y=（■）■. 【设计意图： ①函数的表示法有三种：列表法、图像法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图像角度研究只是能直观地看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证;特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。 ②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养。 ③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】 师：从图像入手我们很容易看出函数的单调性，奇偶性，以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定;从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。 教师通过图形计算器中“动态图”模块，改变参数a的值，追踪y=a■的图像，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。 师生共同总结指数函数的图像和性质，教师可以边总结边板书。 （三）巩固训练。 例1：已知指数函数f（x）=a■（a>0，且a≠1）的图像经过点（3，π），求f（0），f（1），f（-3）的值。 【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】 师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？ 师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件。 【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。】 例2：（1）同时画出y=2■、y=（■）■与y=3■和y=（■）■的大致图像，观察并思考y=a■和y=（■）■图像之间的一般结论？ 学生活动：通过学生利用图形计算器进行探索研究，归纳出结论。 （2）同时画出y=2■、y=2■、y=2■的图像，思考它们图像间的关系？ 【设计意图：①让学生再一次感受图形的美，直观感受图形之间的联系（也可以从解析式角度进行）。 ②突出数形结合思想的优势，强调各种研究数学的方法之间的联系，相互作用，才能融会贯通。】 （四）提升总结。 师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？ 【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中。 ②总结本节课中所用到的数学思想方法。 ③强调各种研究数学的方法之间既有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】 （五）作业：课本59页习题2.1A组第5题。 八、教学反思 （一）本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度研究函数，对函数进行全方位的研究，不仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。 （二）在教学中借助图形计算器可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易地化解教学难点、突破教学重点、提高课堂教学效率，本课使用图形计算器可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生自我动手、自我实验，直观观察底数对指数函数单调性的影响，进而让学生自己得到指数函数图像的规律与特点。既使学生学到了知识，又培养了学生的学习能力，增强了学生数学学习的趣味性和生动性。 （三）在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法分析、思考问题。
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指数函数及其性质
上传: 饶媛 &&&&更新时间： 18:14:22
指数函数及其性质 & &&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&作者：抚州市黎川一中&& 饶 媛 摘 要：指数函数是一类重要的基本初等函数，而在现行的中学教材中对指数函数并没有给出一个完整定义。本文在有理数指数幂原有的定义基础上，根据实数的基本理论及极限的有关性质，定义出无理数指数幂，从而给出指数函数在实数域上的完整定义，讨论了指数函数的性质，及与其他一些重要函数的关系。并进一步讨论了指数函数在复数域上的定义及其性质。 关键词：指数函数；极限;对数函数；幂函数 1. 引言 指数函数是一类重要的基本初等函数，而在目前的教材中，关于指数函数幂的定义只介绍到有理数为止，尽管提到无理数指数幂的概念，但都没有确切的定义，在这种情况下讨论函数的基本性质、运算法则及函数图形等，显然与数学具有定义的准确性、表达的严密性、推理的逻辑性的思想相违背。 目前，也有很多学者对这一问题进行了研究，但给出的指数函数定义大多比较抽象，从中学生的认知规律和现有的知识结构来讲，这些定义都不便于中学教学。因而能否给出合理的指数函数定义就变得尤为重要。 2．实数域内指数函数定义 2.1指数函数的定义 纵观数学发展的历史，我们发现，指数概念的形成经历过相当曲折和漫长的过程，对其的研究比对数函数的研究还晚得多。第一个明确地把对数定义成指数的是大数学家l&euler，自然对数的底e也是其在手稿《遗作》中引入的。随着后来研究的深入，指数函数的概念和性质等知识才日益完善，也出现了多种指数函数的定义方法，具有代表性的有：幂级数定义法 ，euler公式定义法 ，极限函数定义方法 ，还有近期一些学者提出的公理化定义方法，常微分方程定义方法，构造性定义方法等（以上内容的具体讨论请参照文献[1]&[4]）。 下面我们重点讨论中学数学里，指数函数在实数域内的定义及其性质。 在现行的中学教材中，指数函数是在学习了函数的现代定义、图象和性质之后才开始学习的，在讲授指数函数 时,先是引进根式和分数指数幂的概念,进一步把指数概念推广到有理数范围内，同时引出有理数指数幂的运算性质,这种讲解有些烦琐，但从学生掌握的知识和现有的思维模式来看，还是比较恰当的。关键一点是，当讲到无理数指数幂时，在没有给出一个确切的定义下，就讨论指数函数在实数域上的性质、图象及运算法则，严格意义上来说是不严密的。 当然，我们可以采用前面的几种定义方法来定义指数函数，但从中学生现有的知识结构和思维模式来考虑，我们可以发现以上的定义方法对他们来说理解起来是很有难度的。因而我们必须结合原有的知识及教学实际，给出合理的定义，其中关键的就是如何定义出无理数指数幂。 参考特例 在教材中的求值过 ，结合有理数的稠密性，实数基本理 和极限的有关性质，我们不难发现，对某个无理数 ，取有理数列 以 为极限，数列 的极限存在且为 ，并与数列 的取法无 ，这样我们就可定义 ，这是学生能够理解的，就算没有学习极限知识，从近似运算的角度来说明，也能使学生承认。结合有理数指数幂的定义，给出指数函数在实数域中的定义如下： 定义 设a&0, 为实数， 为收敛于 的有理数列，则
这样定义是否合理呢?这是我们接下来要讨论的问题. 2.2指数函数定义的可行性讨论 首先, 为有理数的情形,在中学数学里已经给出了此类定义及其性质的推导,就无需进一步说明了,关键的是要讨论 为无理数的情形。为了说明上述定义的合理性，我们需要解决下面两个问 : 第一、对任意一个收敛于 的有理数列 ,数列 必收敛; 第二、 的极限值与 的选取无关,只要 收敛于 . 定理1 设a&0, 为无理数, 为收敛于 的任一有理数列,则数列 必收敛. 证明 由题意,分类讨论如下 （1）当a=1时, ,故 必收敛. （2）当a&1时,由 收敛于x,知 必有界,故存在正有理数 使： .取任意正整数k,有 ,故对任意给定的 ,必存在 ,使得 . 又由 收敛于 ,柯西准则知,对上述 ,存在正整数n,使得当n、m&n时,有 . 不妨设 ，（ 类似可证）有 .由有理指数幂的性质可知 且 . 因此 . 由上述证明可知,对任给的 ,必存在正整数n,使当 时,恒有 . 由柯西准则知 必收敛. （3）当 时,令 ,则 且 . 由（2）所证 必存在,不妨设 .由 的有界性知,必存在有理数 ,使 .由有理指数幂的性质知 .又由极限性质得 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& . 所以 ,即 必收敛(定理1证毕). 定理2 设 ,如果有理数列 和 收敛于同一个无理数 ,则数列 和 也收敛于同一个数. 证明 由题意,分类讨论如下 （1）当a=1时, ,故 .&&& （2）当a&1时,由 , 收敛于x,知 , 必有界,故存在正有理数 使 且 .取任意正整数k,有 .故对任意给定的 ,必存在 ,使得 . 由 ,得 ,对于任意给定的 ,必存在n,使得当 时,有 . 不妨设 ,（ 时类似可证）,则有 .由有理指数幂的性质可知 且 . 因此 . 由上述证明可知,对任给的 ,必存在n,使当 时,恒有
所以 .由定理1知 和 必收敛，故 . 即 . （3）当 时,令 ,则 且 . 由（2）所证得 ,定理1已证 ,故有 (定理2证毕). 由定理1和定理2可知,对任一收敛于无理数 的有理数列 ,极限 必存在,且极限值与 的选取无关,因此 是唯一确定的值,所以当 为无理数时,我们定义 = 是合理的. 3.实数域内指数函数性质 3.1指数函数的性质讨论 在中学数学里,指数函数的性质都是通过图象直观说明的,这种方法有助学生理解和记忆,及数形结合思想的培养,但作为中学教师应该了解如何证明函数的性质,以下是指数函数的六个基本性质及其证明. 设 ,指数函数 具有以下性质: (1) 倒数恒等性: ; (2) 指数律:① ,② ,③ ; (3) 正值性: ; (4) 函数值分布:当 时,若 ,则 ,若 ,则 ;当 时,若 ,则 ,若 ,则 ; (5) 单调性:当 时,对任意 且 ,有 ,即 在 上为单调增函数;当 时,对任意 且 ,有 ,即 在 上为单调减函数. 证明 我们讨论在性质(1)-(3)成立下，性质(4)和性质(5)是等价的. &(4) (5)&.当 时,取任意 且 .由性质(4)知 ,由性质(1)(2)得 .再由性质(3)知 ,综上可得 . 同理可证：当 时，对任意 且 ，有 &. &(5) (4)&.当 时,若 ,由性质(5)知 ,若 ,有 . 同理可证:当 时,若 ,有 ;若 ,有 . 所以性质(4)与性质(5)是等价的. 我们知道在有理数指数幂的情形下,性质(1)-(5)是成立的,无需再证明，接下来证明在无理数指数幂的情形下,性质(1)-(5)成立. 设 , 和 为任意无理数, 和 分别为收敛于 、 的有理数列,则有 , , , , . 所以&&&&&&&&& , , . (1)倒数恒等式的证明 证明 . (2)指数律的证明 证明 ① ; ② ; ③ . (3)正值性的证明 证明 因为 收敛于 ,故 必有界,则存在 ,使 .由有理数指数幂的性质知,当 时, ,所以 .当 时, ,所以 . (4)函数值分布的证明 证明 ① 当 时,若 ,则存在有理数 ,使 ,故存在n,当 时,有 .由有理数指数幂的性质可知 ,所以
若 ,则存在负有理数 ,使 ,故存在n,当 时,有 ,则 ,可得
②当 时,类似①可证,若 ,则 ,所以 ;若 ,则 ,所以 . (5)单调性:与性质(4)是等价的(已证). 3.2指数函数的性质应用 在高中数学中，应用指数函数性质的题型有很多，典型的有：比较幂的大小，解方程，证明不等式，求指数函数与其他函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性及参数值范围等,在实际生活应用问题上,如:解决细胞分裂,放射性物质的衰变,药物的药性作用,卫生统计等方面都有广泛的应用.&&& 例1 解方程组
分析 由方程(2)中含 的结构,可构造指数函数. 解 因为 在r上是增函数,所以对任意 ,恒有 ; 同理&&&&&&&&&&&& ; . 三式相加得 ,由方程(1)及均值不等式得 . 所以可知方程(2)是以上不等式等号成立的特殊情形,而要使其中等号成立,当且仅当 ,又由(1)式,可得 . 评论:本题是在理解指数函数定义的基础上,巧妙运用指数函数单调性及均值不等式来解题的. 例2 右图1是指数函数① ,② ,③ ,④ 的图象,则 与1的大小关系是( ) a.
分析 此题是有关函数单调性问题,数形结合是解题的关键.我们知道,当指数函数底数大于1时,图象上升,且底数越大时图象向上越靠近 轴,底数大于0小于1时,图象下降,底数越小,图象向右越靠近于 轴,凭此可判断 与1的大小关系,此外还有一巧解,便是做 ,分别交①,②,③,④于四点,由这四点知应选b. 例3 对于函数 ,求(1)函数的定义域,值域；（2）确定函数的单调区间. 分析 函数 ,可以看成是由函数 与函数 &复合&而成. 解 (1) 由 ,可知当 时, ,此时函数 总有意义,所以函数定义域为r.又由 ,则 ,所以函数值域为 . (2) 因为函数 在 上递增,则对任意的 ,都有 .所以函数 ,即 ,则由复合函数的单调性判定法知,函数 在 上递减. 同理可得：函数 在 上递增. 评注：指数函数中绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合函数,解决这类问题,需要注意讨论复合函数的单调性,对底数 进行分类讨论等.像形如 的函数有如下性质： ① 定义域与函数 的定义域相同; ②先确定函数 的值域，然后以 的值域作为函数 的定义域,求得函数 的值域; ③函数 的单调性,可以由函数 与 按照&同增异减&的原则来确定. 其实运用指数函数性质来解决有关指数函数问题的题目有很多,中学数学里已经有很多详细的总结,在这里就不一一列举了,解决这类问题,首要的是能正确理解指数函数的定义,会逆用、活用指数函数的运算性质,同时要注意对底数函数a的分类讨论,函数的性质的运用等. 4.实数域内指数函数与其他函数的关系 4.1指数函数与对数函数 指数函数与对数函数是互为反函数。高中数学就是将对数函数作为指数函数的反函数引入的,所以这两类函数在定义域、值域、函数性质和函数图象等方面存在着密切的关系,现列表对照如 ： 表1 指数函数与对数函数的性质对照 &
当 时， 是增函数
当 ， 是减函数
当 时， 是增函数
当 ， 是减函数
当a&0,且a ,x、y 时
当a&0，且a ,m&0,n&0.
我们可以发现两个函数都规定a&0,,且a ,为什么有这样的规定呢？ 对于指数函数 来讲，原因有三：①若a=0，则当 时 ，当 时, 无意义；②若a&0,则对于 的某些值,可使 无意义,如 ,这时对于 在实数范围内函数值不存在；③若a=1，则对于任何 ， &是一个常函数，没有研究的必要。 为了避免上述各种情况,规定a&0,且a ,这样对于任何 , 都有意义,且 并具有单调性。 而对数函数为何要这样规定呢？原因有二:首先,对数函数在高中数学里是作为指数函数的反函数引入的,a&0是必然的,而若取a=1，指数函数 就不是一个单射,更不可能是一一映射,这样指数函数就不可能存在反函数,这种情况下,作为它的反函数的对数函数也就无从谈起了。 其次,作为一个函数,其定义域必须是非空的。若我们取a=1,对数函数的定义域便会成为空集。事实上,若取a=1,无论自变量取任何异于1的正数,都没有函数值与之对应,如取自变量 ,并假定函数值存在为b,即 ，还原成指数式有 ,显然与1的任何次幂都等于1矛盾；而当自变量 时,对应的函数值又不确定。以上事实表明,当a=1时,自变量无论取什么正数,都没有唯一确定的函数值与之对应,即此时函数的定义域是空集。 从上面的分析可知,对数函数不论作为指数函数的反函数，还是作为一个独立的函数来讨论,其底数都不应该取1。在中学数学教学中，让学生明白和理解这一点是很重要的，这样有助学生加强对指数函数和对数函数定义的理解,提高对规定&a&0,且a &重要性的认识,在今后使用时就不会忽略讨论a。 4.2指数函数与幂函数 指数函数 与幂函数 ,是&形似质异&的两类函数,二者的区别主要是：对幂函数来说,底数是自变量,指数是常数;对指数函数来说,指数是自变量,底数是常量。它们的区别是中学生必须要了解的，为了帮助学生更好的辨别，接下来将重点归纳幂函数的性质。 对于幂函数 ，指数 取什么样的常数具有决定性的意义，总结如下: & 表2 幂函数 &
说明：（1）当 时, ，定义域和值域不包含0，奇偶性与 相同，但增减变化相反。 （2）当 时, ,定义域中不包含0，奇偶性与 相同,单调区间上的递增、递减情况却相反。 （3）当 时,我们可以引用指数函数在无理数中的定义,得出 ,其中 是收敛于 的有理数列。为保证 在无理数内有意义，定义域必须是 ，值域也是 ，我们可利用对数恒等式，将 改写成 ,于是幂函数 可以视为 和 的复合函数,这样就可以研究无理数指数的幂函数的性质了。 （4）虽然指数函数与幂函数有很大的区别，但我们发现指数函数中的指数 ，幂函数中的指数 在实数域内取值时，其函数代表的意义是一样的。 （5）我们取一些特值，来通过图形更直观的了解幂函数，当 时，图形如右图： & & & & & & & & & & 前面叙述的性质通过图象可以很直观的感受到,与指数函数的性质相比，就很容易明白两函数之间的区别。 指数函数与幂函数虽有不同，但是在高中数学的练习中,它们都在实数幂比较大小中有很重要的作用，如下题 例4 比较下列各题中两个数值的大小 (1) &&& &&&&&&
分析 比较两个数值的大小，常可以归结为比较两个函数值的大小，所以需要我们能够恰当地构造函数，使两个函数值为同一函数的两个函数值，然后根据函数的单调性来比较大小，这种思想是构造函数的思想，有时我们把两个数值看作两个函数后，又在相应的图象上指出函数值的对应点，再由图象的位置关系决定对应点的纵坐标（即函数值）的大小，这种思想是数形结合的思想，由以上可知，熟悉函数的性质及图象是十分重要的。 解 (1) 这两个幂值的底不同,指数相同,可以看作是 的两个函数值,因为 在(0, 内是增函数,且0.2〈0.4,所以 . 这两个幂值的底相同,指数不同,可以看作是 的两个函数值,因为 在 内是减函数,且 ,所以 . (3)这两个数值是两个底不同、指数也不同的幂值,不能直接构造函数,但是这两个数值,一个是题(1)的第一个数,一个是题(2)中的第二个数,而这两小题的另一个数又相同,由(1)(2)可得出结论 . 上题是幂值比较大小中比较典型的例题,由幂函数和指数函数的性质我们可以总结出以下方法： (1)同指数的两个幂值比较大小时,利用幂函数的单调性比较大小; (2)同底数的两个幂值比较大小时,利用指数函数的单调性比较大小; (3)底、指数不同的两幂值比较大小时,可借用中间值间接比较,也可以利用图象的位置关系来比较大小. 5.复数域上的指数函数 5.1指数函数定义讨论 前面对自变量取实数时,我们已经作了详尽的研究,然而我们知道复数域c包含实数域r,人们自然会问:&当指数函数的自变量取复数时,相应的指数函数该如何定义？它又有何性质？&这是我们接下来要讨论的问题. 我们已经知道了： &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (1) 当把（1）式右端的实数 换为任意的复数 时,给出指数函数定义如下： 定义 对 ,记号 定义为函数序列 的极限函数 &&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2) 这个定义对中学生来说,理解起来有一定难度,只需要了解就可以,但是对中学教师来说,掌握这些对教学是有帮助的. 5.2指数函数性质的讨论 以下(1)-(5)是指数函数在复数域上的性质讨论: (1) euler公式： . 证明 令 ,由上述定义可得 . 因为
所以 &&&&&&& 我们知道三角函数的幂级数展开式为 &&
先看下式 因为 是收敛的，且 ，所以
同理可得：
于是可得euler公式: &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (3) (2)加法定理成立：对任何复数 ，总有 &&&&&&&&&&&&& (4) 证明 由的定义有：
考虑下式：
因为 存在, 收敛,且 ,所以
即加法定理 成立. (3)对任意复数 , . 证明 由上面的euler公式(3)和加法定理(4),可知对任意 ,则 ,使 ,有 &&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&(5) 令 ,并以u及v分别表示w的实部和虚部,即
&&&&&&&&&&&&&&&&& 由此容易得 ,所以对任意复数 , . (4) 在 平面上解析,且 . 证明 令 ,由(5)得 .令 ， ，则有 , , , . 因为 在 平面上处处连续,且适合c-r方程,即 ,所以 在 平面上解析,且有 ,即 成立. （5） 是以 为周期的周期函数. 证明 根据周期函数的定义知,对 ,存在 ,使得 成立,则 为以 为周期的的周期函数. 我们令 ,由(5)式有 ,对任一整数 ,有 所以 是以 为周期的周期函数. 我们发现,指数函数由实数域推广到复数域后,除保留了原来的基本性质外,还增加了新的性质:周期性,产生这一性质的根源在于在复数域中,指数函数与三角函数有了相当密切的联系,对此有关教 已经讨论过,这里就不再详细介绍. 参考文献: [1]维诺格拉多夫,中国数学会.数学百科全书.第二卷[m].北京:科学出版社,. [2]冯天长,李西和.关于指数函数、对数函数、幂函数的一种新的等价定义[j].成都大学学报(自然科学版),):27-31. [3]李必文,陈德刚.指数函数 和三角函数 一种新的定义[j].湖北师范学院学报(自然科学版),):79-82. [4]杨丽贤.指数函数的构造性定义[j].长春大学学报,):29-30. [5]钱珮玲.普通高中课程标准实验教科书&数学(必须1)[m].北京:人民教育出版社,2004:58. [6]邓东皋,尹小玲.数学分析简明教程(上)[m].北京:高等教育出版社,. [7],.现代数学手册&经典数学卷[m].武汉:华中科技大学出版社,. [8]田开璞.初等代数的现代数学基础[m].济南:山东教育出版社,. [9]李长明,周焕山.初等数学研究[m].北京:高等数学出版社,. [10]钟玉泉.复变函数论[m].北京:高等教育出版社,. &
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