在△如图 角abc中 ab ac，CD、BE分别是AB、A...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-15 11:36 标签： 如图 角abc中 ab ac
（2013o达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据SAS，易证△AFG≌△AFE，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
解：（1）∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
即：EF=BE+DF．
（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
即：EF=BE+DF．
（3）猜想：DE2=BD2+EC2，
证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B2+BD2=E′D2，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
在△AE′D和△AED中，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE=DE′，
∴DE2=BD2+EC2．
（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；
（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；当前位置：&>&&>&
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如图6，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为
B．①③④ C．①②④
10．如图6，在△ABC中，&ACB=90&，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且&ECF=45&，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG&MH=，其中正确结论为
A．①②③&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．①③④
C．①②④&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．①②③④
考点：相似形综合题．.
分析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF&BF=AC&BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG&MH=AE&BF=AE&BF=AC&BC=，依此即可作出判断．
解答：解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB==，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB&BC，&MBC=90&，
∴&MGC=90&=&C=&MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵&FCE=45&=&ABC，&A=&ACF=45&，
∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，&ACB=90&，
∴&A=&5=45&．
将△ACF顺时针旋转90&至△BCD，
则CF=CD，&1=&4，&A=&6=45&；BD=AF；
∵&2=45&，
∴&1+&3=&3+&4=45&，
∴&DCE=&2．
在△ECF和△ECD中，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵&5=45&，
∴&BDE=90&，
∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；
④∵&7=&1+&A=&1+45&=&1+&2=&ACE，
∵&A=&5=45&，
∴△ACE∽△BFC，
∴=，
∴AF&BF=AC&BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG∥BC，MH∥AC，
∴=；=，
∴MG=AE；MH=BF，
∴MG&MH=AE&BF=AE&BF=AC&BC=，
故④正确．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
第Ⅱ卷（非选择题& 共90分）
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试题编号：1069348
题型：解答题
知识点：点线面的位置关系
难度：三级
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A =900& BC=6,D,E分别是AC，AB上的点，CD=BE= QUOTE
，O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A’-BCDE，其中A’O=
证明：A’O⊥平面BCDE；
求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值
视频解析：
(1)设F为ED的中点，连接OF,A’F,计算得A’F=2，OF=1
∵A’F为等腰△A’DE底边的中线，∴A’F⊥DE
∵OF在原等腰△ABC底边BC的高线上，∴OF⊥DE
又∵A’F，OF
平面A’OF, A’F
∴DE⊥平面A’OF
平面A’OF, ∴DE⊥A’O
在△A’FO中，A’
,∴A’O⊥OF
平面BCDE,DE
∴A’O⊥平面BCDE
&(2)解法一：如答图1，过O作CD的垂线交CD的延长线于M，连接A’M
∵A’O⊥平面BCDE,CD
平面BCDE, ∴CD⊥A’O
A’O=O, ∴CD⊥平面A’OM
平面A’OM∴CD⊥A’M
∠A’MO为所求二面角的平面角
在Rt△OMC中，OM=
于是在Rt△A’OM中，A’M=
解法二:如答图2，以O为原点，分别以
为x,y,z轴正方向，建立直角坐标系。于是A’(0，0，
) ,D(1，-2，0)
设n=(x,y,z)为平面A’CD的一个法向量，则n⊥
，取n=(-1,1,-
再取平面BCDE的一个法向量m=(0,0,1)设n与m的夹角为
，则由答图2可知，二面角A’-CD-B的平面角的余弦值为已知在三角形ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BE=CD,CF=BD,那么角EDF等于A.90°-∠AB.90°-1/2∠AC.45°-1/2∠AD.180°-∠A
由边边角BE=CD,CF=BD AB=AC得到角B=角C△EBD全等于△DCF EDF=180-EDB-FDC=180-EDB-DEB=BB=(180-A)/2=90-A/2选B
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