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高二数学人教B版必修5学案：1.1.2余弦定理（二）Word版含解析.docx 11页
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高二数学人教B版必修5学案：1.1.2余弦定理（二）Word版含解析
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1.1.2　余弦定理(二)[学习目标]　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．[知识链接]1．以下问题不能用余弦定理求解的是．(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形．(2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角．(4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案　(2)2．利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是．(1)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形．(2)在△ABC中，若a2&b2＋c2，则△ABC为锐角三角形．(3)在△ABC中，若a2&b2＋c2，则△ABC为钝角三角形．答案　(1)(3)[预习导引]1．正弦定理及其变形(1)＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)．(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2．余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)cosA＝，cosB＝，cosC＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2&a2＋b2?C为钝角；c2&a2＋b2?C为锐角．3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(2)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(3)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.要点一　正、余弦定理的综合应用例1　如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解　在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，设BD＝x，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA，∴142＝102＋x2－2×10·xcos60°，即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.在△BCD中，由正弦定理：＝，∴BC＝＝8.规律方法　余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．跟踪演练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解　方法一　在△ABC中，∵sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：a·＝3()c，化简并整理得：2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2.解得b＝4或b＝0(舍)．方法二　由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0.所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC，由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA．②由①②解得b＝4.要点二　利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式例2　在△ABC中，有：(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明　方法一　(1)设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理得b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a.即a＝bcosC＋ccosB同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.方法二　(1)由余弦定理得cosB＝，cosC＝，∴bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＋＝＝a.∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.规律方法　(1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左?右；右?左或左?中?右三种．(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化．跟踪演练2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：＝.证明　方法一　因为左边＝＝，右边＝＝，∴等式成立．方法二　设△ABC外接圆半径为R，∵右边＝＝＝＝＝左边．∴等式成立．要点三　利用正、余弦定理判断三角形形状例3　
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& 高一数学《第1-3章》全册课件（人教B版必修4）1-2-3
高一数学《第1-3章》全册课件（人教B版必修4）1-2-3
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资料概述与简介
[点评]　第(3)题对分母中常数“1”的处理是利用平方关系将其转化为sin2α＋cos2α，从而将分母转化为sinα和cosα的齐次式，这是处理三角变换中经常用到的方法．解第(3)题时，应注意分子、分母是否齐次，不要盲目弦化切． [点评]　同角三角函数的关系有：平方关系、商数关系、倒数关系，它们的规律可用“六边形法则”来记忆．此六边形构造是“上弦、中切、下割，左正、右余、中1，倒数对角线，乘积两边夹(商数依序除)，平方倒三角”． 就是说：(1)对角线上的都成倒数关系，即sinα·cscα＝1，cosα·secα＝1，tanα·cotα＝1； (2)成平方关系的都在顶点向下的三个阴影倒三角形中，下边顶点处的是其余两个的平方和，即sin2α＋cos2α＝1，tan2α＋1＝sec2α，1＋cot2α＝csc2α； [分析]　证明三角恒等式的原则是由繁到简．常用的方法有：①从一边开始，证得它等于另一边；②证明左右两边都等于同一个式子；③变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与原结论等价的式子． [点评]　证明三角恒等式离不开三角函数的变换．在变换的过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数的种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化，要细心观察等式两边的差异，灵活运用所学的知识，使证明简便． [例6]　已知cosθ＝t，求sinθ，tanθ的值． [辨析]　上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t，根据余弦函数的取值范围对t进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t＝－1，t＝0，t＝1. [答案]　B [答案]　B [答案]　B [答案]　8 第一章
基本初等函数（II） 人教 B 版数学 1．2.3同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：
. 即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1. (2)商数关系： 即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切． (3)倒数关系：
，即同一个角的正切、余切之积等于1(或同一个角的正切、余切互为倒数)． sin2α＋cos2α＝1 tanα·cotα＝1 重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用． 难点：关系式在解题中的灵活运用和同学们思维灵活性的培养． 1．同角三角函数的关系式必须在“同角”的前提下应用． 2．同角三角函数的基本关系式的应用 (1)同角三角函数的基本关系式主要用于： ①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值； ②化简三角函数式； ③证明三角恒等式． ②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解； ③如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角在哪个象限，那么就需要进行讨论． 3．(1)三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，要明确化简的基本要求：尽量减少角的个数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名等．其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、特殊角三角函数与特殊值互化等． 化简的方法有切割化弦法，1的代换法等． (2)已知某个角的一个三角函数值，求这个角的其它三角函数值的方法． 方法1：定义法．设出角终边上点的坐标，用定义求解． 方法2：公式法．已知正、余弦中的一个值，求其它值时，要用平方关系(注意开方时符号的选取，有时要讨论)；已知正切值，求其他值时，需用两个公式建立方程组求解． (3)证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种： ①从等式的一边开始证得它的另一边，一般把比较复杂的一边化简得到另一边，其依据是相等关系的传递性． ②综合法．由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想，即“a＝b等价于c＝d，所以a＝b成立的充要条件是c＝d成立”． ③证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a＝c，b＝c，则a＝b”，它可由相等关系的传递性及对称性推出． [分析]　可先由余弦值是负的确定角α的终边在第二或第三象限，然后再分象限讨论． [解析]　因为cosα<0，且cosα≠－1，故α是第二或第三象限角． 如果α是第二象限角，那么 [点评]　本题没有具体指出α是第几象限角，必须由cosα的值推断α可能是第几象限的角，再分象限加以讨论． [答案]　D [分析]　若能再找出关于sinθ，cosθ的另外的关系式，可通过解方程分别求出sinθ，cosθ. [点评]　sinθ±cosθ与sinθcosθ之间有着密切的关系，它们由sin2θ＋cos2θ＝1联系起来． [分析]　本题是化简二次根式，应将被开方式化为完全平方式，从二次根号下移出来，同时要注意移出后的符号． [点评]　利用同角三角函数之间的关系公式去掉根号是解决此题的关键，对于去掉根号后的含绝对值的式子，需根据绝对值内的式子的符合，做好分类讨论，去掉绝对值． [分析]　解法一：因为右边分母为cosα，故可将左边分子、分母同乘cosα，整理化简即可． 解法二：只要证明左式－右式＝0即可． (4)分析法，从被证的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到成立的条件为已知条件或明显的事实为止，就可以判定原式成立． 第一章
基本初等函数（II） 人教 B 版数学 (2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角所在的象限．这主要是因为在使用cosα＝±或sinα＝±时，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号．而在使用tanα＝时，没有选定正负号的问题．这类题通常有下列几种情况：
①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，那么只有一组解；
[例1]　已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．
sinα＝＝＝，
tanα＝＝×＝－.
如果α是第三象限角，那么sinα＝－，tanα＝.
(2009·全国Ⅱ)已知△ABC中，cotA＝－，则cosA＝(　　)
A.　　　　　　 B.
[解析]　∵cotA＝－，∴tanA＝－，
又∵A是三角形的内角，∴A是钝角．
∵＝－，∴＝，∴＝，
∴cos2A＝，
又∵cosA<0，∴cosA＝－.
[例2]　已知sinθ＋cosθ＝　(0<θ<π)．求sinθ，tanθ.
[解析]　由sinθ＋cosθ＝两边平方得：
1＋2sinθcosθ＝2.∴sinθcosθ＝－，
解方程组并注意到0<θ<π得：
sinθ＝，cosθ＝－，∴tanθ＝－.
若sinθ与cosθ是方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根，
(1)求tanθ的值；
(2)求＋的值．
[解析]　(1)由题设条件
①式平方并将②代入得m＝，
由Δ＝(＋1)2－8m≥0得m≤，∴m＝适合．
∴方程2x2－(＋1)x＋＝0两根，x1＝，x2＝，
∴tanθ＝＝或.
(2)由根与系数关系sinθ＋cosθ＝，
∴原式＝＋＝
＝sinθ＋cosθ＝.
[例3]　化简下列各式．
[解析]　(1)＝＝|cos400°|
＝|cos(360°＋40°)|＝|cos40°|＝cos40°；
＝＝＝－1.
[解析]　解法一：左边＝
＝＝＝右边，
∴原式成立．
解法二：∵－
[点评]　关于三角恒等式的证明，一般方法有以下几种：
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)比较法，即证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
[例4]　已知tanα＝－，求下列各式的值：
(2)2sin2α－sinαcosα＋5cos2α；
[分析]　由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)．若切化弦，应把条件tanα＝＝－代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用tanα表示的式子，一般来说，关于sinα和cosα的齐次式都可化为以tanα表示的式子．
[解析]　(1)由tanα＝＝－得cosα＝－3sinα，代入所求式得
(2010·广东普宁市高一下学期期末测试)已知tanα＝－2，则sin2α＋cos2α＝________.
[解析]　∵tanα＝－2，
∴sin2α＋cos2α＝
[例5]　求证：＝.
[解析]　设M(x，y)为α终边上异于原点的一点，|OM|＝r，由三角函数定义有
sinα＝，cosα＝，tanα＝，secα＝.
右边＝＝，∴原等式成立．
(3)任何一个都是夹它两个的乘积，即tanα＝sinα·secα，cscα＝secα·cotα……，任何一个都是依顺(或逆)时针顺序两个的商，即：tanα＝，sinα＝，cosα＝，secα＝…利用它一可帮助记忆，二可帮助寻找求同角三角函数值的解题途径．
求证：sinθ·(1＋tanθ)＋cosθ·＝＋.
[解析]　左边＝sinθ＋cosθ
＝sinθ＋＋cosθ＋
＝＋＝右边．
[误解]　(1)当0<t<1时，θ为第一或第四象限角，θ为第一象限角时，sinθ＝＝，
tanθ＝＝；
θ为第四象限角时，sinθ＝－＝－；
tanθ＝＝－.
(2)当－1<t<0时，θ为第二或第三象限角，θ为第二象限角时，sinθ＝＝，
tanθ＝＝；
θ为第三象限角时，
sinθ＝－＝－.
tanθ＝＝－.
综上，sinθ＝，
[正解]　当t＝－1时，sinθ＝0，tanθ＝0；
当－1<t<0时，θ为第二或第三象限角，若θ为第二象限角，则sinθ＝，tanθ＝，若θ为第三象限角，则sinθ＝－，tanθ＝.
当t＝0时，sinθ＝1，tanθ不存在或sinθ＝－1，tanθ不存在．
当0<t<1时，θ为第一或第四象限角，若θ为第一象限角，则sinθ＝，tanθ＝，若θ为第四象限角，则sinθ＝－，tanθ＝－.
当t＝1时，sinθ＝0，tanθ＝0.
一、选择题
1．已知sinα＝，<α<π，则tanα＝(　　)
[解析]　∵sinα＝，<α<π，
∴cosα＝－＝－，
∴tanα＝＝－2.
2．(2009·陕西)若tanα＝2，则 的值为(　　)
[解析]　＝＝＝.
3．sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为(　　)
[解析]　(cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－2·＝，∴cosα－sinα＝±，又<αcosα，∴cosα－sinα＝－.
二、填空题
4．(2010·广东普宁市高一下学期期末测试)若sinα＝，cosα＝，<α<π，则m＝________.
[解析]　由题意，得，
解得m＝8，∴m＝8.
5．已知tanα＝　(π<α<π)，则cosα－sinα等于________．
[解析]　由tanα＝，结合Rt△知sinα＝－，cosα＝－，∴cosα－sinα＝.
三、解答题
6．已知sinθ－cosθ＝，求sin3θ－cos3θ的值．
[解析]　∵sinθ－cosθ＝，故(sinθ－cosθ)2＝，
1－2sinθcosθ＝，sinθcosθ＝，
∴sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋cos2θ＋sinθ·cosθ)＝×＝.
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f(x)=（1+cosx+cos2x+cos3x）&#47;(1-cosx-2cosx的平方) 当sinθ+2cosθ=2时,求f(θ)
来源：互联网 发表时间： 23:23:22 责任编辑：鲁晓倩字体：
为了帮助网友解决“f(x)=（1+cosx+cos2x+cos3x）&#47;(1-cosx-2cosx的平方) 当sinθ+2cosθ=2时,求f(θ)”相关的问题，学网通过互联网对“f(x)=（1+cosx+cos2x+cos3x）&#47;(1-cosx-2cosx的平方) 当sinθ+2cosθ=2时,求f(θ)”相关的解决方案进行了整理,用户详细问题包括:RT,我想知道:f(x)=（1+cosx+cos2x+cos3x）&#47;(1-cosx-2cosx的平方) 当sinθ+2cosθ=2时,求f(θ)，具体解决方案如下：解决方案1：不难求得cosθ=1;θ+cos&#178;(-cosx+1-2cos&#178，结合sin&#178，而f(θ)= -2cosθf(x)=(1+cosx+cos2x+cos3x)&#47：cosx+cos3x=2cos2xcosx用的是和化积公式，(cosx+cos2x≠0)由sinθ+2cosθ=2得sinθ=2(1-cosθ)，再用两角和与差的余弦公式而得;θ=1;x)=(2cos&#178;x+2cos2xcosx)&#47，相当于cosx+cos3x=cos(2x-x)+cos(2x+x)，或cosθ=3&#47。注，所以f(θ)= -2或f(θ)= -6/5;(-cosx-cos2x)= -2cosx(cosx+cos2x)&#47，且都符合题意;(cosx+cos2x)= -25;(1-cosx-2cos&#178;x)=[(1+cos2x)+(cosx+cos3x)]&#47
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