高一数学求函数的定义域与值域的常用方法
一. 求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值
二. 求函数的解析式
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
一：求函数解析式
1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
f(x?1xx?1x
，试求f(x)。 1
解：设，则
t?1，代入条件式可得：f(t)?t?t?1，t≠1。故得：f(x)?x?x?1,x?1。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
f(x)?2f()?3x?4x?5
x例2. （1）已知，试求f(x)；
f(x)?2f(?x)?3x?4x?5
，试求f(x)；
ff()?2f(x)?32?4?5??
xxx解：（1）由条件式，以x代x，则得，与条件式联立，消去?x?，则得：
f?x??2??x??
f??x?（2）由条件式，以－x代x则得：f(?x)?2f(x)?3x?4x?5，与条件式联立，消去，则得：
f?x??x?4x?
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：
（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)?2,f(x?1)?f(x)?x?1，求f(x)； （2）已知f(x?1)?x?2x，求f(x)，f(x?1)，f(x2)； （3）已知f(
（4）已知3f(x)?2f(?x)?x?3，求f(x)。
，求f(x)；
【思路分析】
【题意分析】（1）由已知f(x)是二次函数，所以可设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，设法求出a,b,c即可。 （2）若能将x?2x适当变形，用x?1的式子表示就容易解决了。 （3）设
为一个整体，不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解。
（4）x，?x同时使得f(x)有意义，用?x代替x建立关于f(x)，f(?x)的两个方程就行了。 【解题过程】⑴设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，由f(0)?2,得c?2， 由f(x?1)?f(x)?x?1，得恒等式2ax?a?b?x?1，得a?故所求函数的解析式为f(x)?
（2）?f(x?1)?x?2x?(x)2?2x?1?1?(x?1)2?1， 又?
x?1?1,?f(x)?x?1(x?1)。
?1?(t?1)?(t?1)?t?t?1
所以f(x)?x?x?1(x?1)。
（4）因为3f(x)?2f(?x)?x?3 ①
用?x代替x得3f(?x)?2f(x)??x?3 ② 解①②式得f(x)?x?
【题后思考】求函数解析式常见的题型有：
（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式
?bx?c(a?0)，顶点式y?a(x?h)?k和标根式y?a(x?x1)(x?x2)的选择；
（2）已知f[g(x)]求f(x)的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；
（3）函数方程问题，需建立关于f(x)的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现f(x)，f()，则一
般将式中的x用
代替，构造另一方程。
特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。
二：求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
求的定义域。
解：由题意知：?，从而解得：x&－2且x≠±4.故所求定义域为：
{x|x&－2且x≠±4}。 例2. 求下列函数的定义域： （1）f(x)?
（2）f(x)?x?1??x
【思路分析】
【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。
?5?x?0?x?5【解题过程】（1）要使函数有意义，则?，在数轴上标出，即,即?
x?3?0?x??3?
x??3,或?3?x?3,或3?x?5。故函数的定义域为(??,?3)?(?3,3)?(3,5].当然也可表示为
?xx??3,或?3?x?3,或3?x?5?。
（2）要使函数有意义，则?
,即?,所以x?1，从而函数的定义域为?x|x?1?。
?1?x?0?x?1
【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域
是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“?”连接。
2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例
解：{1，2，3，4，5，6}。
3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（
x）的范围，从而解得x∈I1
，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
x?3?g(x)?3?
x求y?f(g(x))的定义
又由于x2－4x＋3&0
** 联立*、**两式可解得： 4
?x?1或3?x?
?9??9?故所求定义域为?x|?x?1或3?x?44????
例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。
解：由f（2）的定义域是［－1，1］可知：2≤2≤2，所以f（x）的定义域为［2，2］，故log2x∈［2，2］，
4，故定义域为x
三：求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法
x?1的值域。
例11. 求函数
解：，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。
说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。
例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。
解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。
说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。
3、判别式法 例13. 求函数y?
x?1，因为x?1
x?2x?34x?5x?6
4x?5x?6可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0
y?7171??。
说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求
解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。
4、单调性法 例14. 求函数y?
?3，x∈［4，5］的值域。 ?3
解：由于函数
5、换元法 例15.
求函数解：
?513??2,5?513?。为增函数，故当x＝4时，ymin＝；当x＝5时，ymax＝，所以函数的值域为?
?0，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。如何求值域至于
如何求值域至于
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花母猪TA0235
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