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2017高考数学必考点【对数函数的图象与性质】整理总结
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高考数学一直是很多考生头疼的科目，考生难以取得数学高分是因为没有掌握好考点，为了帮助大家掌握好数学考点，下面学而思网校网为大家带来2017高考数学必考点【对数函数的图象与性质】，希望大家用心记住这些数学考点。
高考数学知识点：对数函数的图象与性质
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论;二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围;三要注意其定义域(这是一个隐形陷阱)，也就是要坚持&定义域优先&的原则.
利用对数函数的图象解题：
涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a&l与O
底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a&l时，底数越大，图象越靠近x轴，
2017高考数学必考点【对数函数的图象与性质】是学而思网校网为大家精心总结的，希望大家能够在复习数学考点的时候多下功夫，这样就能在高考数学考试中取得满意的成绩。
【高三数学】相关内容对数换底公式_高一数学教案_梦幻网络
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对数换底公式
　　首先可以通过实例研究当一个对数式的底数改变时，整个对数式会发生什么变化?　　如求 设 ，写成指数式是 ，取以 为底的对数得 　　 即 ．　　在这个等式中，底数3变成 后对数式将变成等式右边的式子．　　一般地 　　关于对数换底公式的证明方法有很多，这里可以仿照刚才具体的例子计算过程证明对数换底公式，证明的基本思路就是借助指数式．　　换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．　　如换底公式可以解决如下问题：　　(1) ．&&&& (2) ．(
相关信息：
《多边形的内角和》公开课教案
北京市第五中学 曹自由
教学任务分析
知识与技能
掌握多边形内角和公式及外角和定理,并能应用.
过程与方法
1.经历把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题的过程,体会转化思想在几何中的应用,同时体会从特殊到一般的认识问题的方法;
2.经历探索多边形内角和公式的过程,尝试从不同角度寻求解...（）
一、值得讨论的问题： 1、
符号感的含义是什么？如何培养学生的符号感？ 符号感主要表现在“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题”。 2、
如何理解基本技能？ 基本技能包括运算能力、阅读能力、探索能力、理解能力、归纳能力、类比能力等。 3、
如何进行评价？ 注重对学生从具体问...（）
教学内容：圆锥的体积教材第25、26页的内容教学目标：1. 使学生理解和掌握圆锥体积的计算公式，会运用公式计算圆锥的体积并解决简单的实际问题。2.在推导公式过程中，通过小组合作、动手实验的方法，培养学生分析、推理的能力及抽象概括能力。3.在探究公式的过程中，向学生渗透&事物之间是相互联系&的，并通过活动，使学生形成良好的合作探究意识。教学重点：掌握圆锥体积的计算公式。教学难...（）
1、掌握用平方差公式分解因式的方法;掌握提公因式法,平方差公式法分解因式综合应用;能利用平方差公式法解决实际问题。
2、经历探究分解因式方法的过程,体会整式乘法与分解因式之间的联系。
3、通过对公式的探究,深刻理解公式的应用,并会熟练应用公式解决问题。
4、通过探究平方差公式特点,学生根据公式自己取值设计问题,并根据公式自己解决问题的过程,让学生获得成功...（）
　　一、单元复习目的　　1、知识与技能目标：　　(1)说出压力和压强的定义，说明压强的物理意义。　　(2)写出压强的公式，单位，会灵活运用压强知识解决简单的问题。　　(3)说明液体压强产生的原因，复述液体内部压强规律。　　(4)写出液体压强公式并会用公式进行简单计算，会用液体压强知识解决简单实际问题。解释连通器的原理及应用实例。　　(5)进一步了解浮力的现象，加深对阿基米德原理的理解;知道物体的浮...（）
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江苏省新沂市第二中学学年高中数学 第27课时 对数教案1 苏教版必修1
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　　　　苏省新沂市第二中学学年高中数学 第27课时 对数教案1 苏教版必修1　　课题 第二十课时 对数（1） 课型 新授课　　教学目标 1. 理解对数的概念；　　2. 能够进行对数式与指数式的互化；　　3 ．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。　　重点 进行对数式与指数式的互化 难点 进行对数式与指数式的互化　　教法 讲授法、讨论法、探究法　　教　　学　　过 　　程　　 教
个案调整　　 教师主导活动 学生主体活动
　　 自学评价　　1． 对数定义：　　一般地，如果 （ ）的 次幂等于 , 即 ，那么 就称 是以 为底
的对数（logarithm），记作
，其中， 叫做对数的底数(base of logar ithm)，
叫做真数(prop er number)。　　着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解， 与 所表示的是 三个量之间的同一个关系。　　2. 对数的性质：　　（1） 零和负数没有 对数
，　　（2） 　　（3）
　　这三条性质是后面学习对数 函数的基础和准备，必须熟练掌握 和真正理解。　　3. 两种特殊的对数是①常用对数：以10作底
简记为 　　②自 然对数： 以 作底（为无理数），　　= 2.718 28…… ，
简记为 ．　　4.对数恒等式（1） 　　（2） 　　【精 典范例】　　例1：将下 列指数式写成对数式：　　（1） ；
　　（3） ；
（4） ．　　【解】（1）
（2） 　　（3）
（4） 　　例2：．将下列对数式写成指数式：　　（1） ；
（4） ．　　【解】（1）
（2） 　　（3）
（4） 　　点评: 两题 的关键是抓住对数与指数幂的关系进行变换　　例3：．求下列各式的值：　　⑴ ；
(3) ；（4） ；
（5） 　　分析：根据对数的概念，将对数式还原成指数式即可得出（1）（2）（3）（5），（4）用对数的恒等式　　【解】　　（1） 由 ，得 　　（2） 由 ，得 　　（3） 由 ，得 　　4）
　　（5） 　　点评: 利用对数恒等式
且 ， ，应用此公式时，一定要注意公式的结构，当指数的底和对数的底是 同一个数时，能用此公式化简。　　 追踪训练一　　1.将 化为对数式　　2.将 化为指数式　　3.求值：（1）
（2） 　　答案：　　1.
　　2. 　　3.(1)4欢迎来到高考学习网，
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& 学年高一数学北师大版必修一学案 3.4《对数》
学年高一数学北师大版必修一学案 3.4《对数》
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资料概述与简介
1．对数的概念
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.
其中a叫作对数的底数，N叫作真数．logaN读作以a为底N的对数．
对数概念的理解
(1)式子ab＝N和logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)的关系
对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式是等价的，即ab＝NlogaN＝b.两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数b，对数式与指数式的关系如下表所示．
指数式 ab＝N 底数 指数 幂
对数式 logaN＝b 底数 对数 真数
在指数式ab＝N中，若已知a，N求幂指数b，便是对数运算b＝logaN.因为对任何实数a(a＞0，a≠1)，指数函数y＝ax，xR的值域是(0，＋∞)，所以对任何正实数N，logaN是存在的，并且由于指数函数是单调函数，所以logaN是唯一的．
(2)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－2)2＝4不能写成log(－2)4＝2，只有在a＞0，a≠1，N＞0时，才有ab＝Nb＝logaN.
【例1－1】将下列指数式写成对数式：
(1)26＝64；(2)(2＋)－1＝；
(3)5α＝37；(4)＝5.73.
解：(1)log264＝6；(2)；
(3)log537＝α；(4).
【例1－2】将下列对数式写成指数式：
(1)log216＝4；(2)log327＝3；
(3)＝6；(4)log0.10.01＝m.
解：(1)24＝16；(2)33＝27；
(3)＝x；(4)0.1m＝0.01.
对数式与指数式互化的依据
对数式和指数式互化的主要依据是关系式ab＝N等价于logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．
【例1－3】求下列对数的值：
(1)log327；(2)；(3).
解：(1)33＝27，log327＝3；
(3)设＝x，则27x＝，即(33) x＝3－1，
33x＝3－1，3x＝－1，，故.
2．对数logaN的性质
根据对数的定义，对数logaN(a＞0，且a≠1)具有下列性质：
(1)零和负数没有对数，即N＞0：因为对任意xR，总有ax＝N＞0，所以对数的真数必须为正数；
(2)1的对数为零，即loga1＝0：因为a0＝1loga1＝0；
(3)底的对数等于1，即logaa＝1：因为a1＝alogaa＝1；
(4)对数恒等式：：设ab＝N，则b＝logaN，所以＝ab＝N.要注意对数恒等式的结构特征：幂的底数与对数的底数是相同的、指数中含有对数形式、值为对数的真数．
【例2－1】若log(x－1)(x－1)＝1，则x的取值范围是(　　)．
D．x＞1且x≠2
解析：因为在对数式logaN＝b中规定a＞0且a≠1，N＞0，所以，由log(x－1)(x－1)＝1得即
所以x＞1且x≠2.
【例2－2】若log2 011(x2－1)＝0，则x＝________.
解析：因为1的对数为0，即loga1＝0(a＞0，a≠1)，所以x2－1＝1，故x＝.
【例2－3】已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．
解：log2(log3(log4x))＝0，
log3(log4x)＝1，
log4x＝3，x＝43＝64.
log3(log4(log2y))＝0，
log4(log2y)＝1，
log2y＝4，y＝24＝16.
x＋y＝64＋16＝80.
3．常用对数和自然对数
通常将以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数log10N简记作lg N.
e是一个重要的常数，是无理数，它的近似值为2.718 28.科学技术中常以e作为对数的底数，以e为底的对数称为自然对数．N的自然对数logeN简记作ln N.
在常用对数中，我们省去了底数不写，如：lg 10＝log1010＝1，lg 3＝log103.同样，以e为底的对数也省去了底数不写，但符号“log”应写成“ln”，不要写成“lg”．
自然对数与常用对数的关系：ln N＝≈2.302 6lg N.
常用对数和自然对数是特殊的也是生活实践中常用到的对数．求一个正实数的常用对数或自然对数，可通过查对数表或使用计算器求解．常用对数与自然对数在数学计算和科学技术中经常用到，请大家熟记．
【例3】有以下四个结论：
lg(lg 10)＝0；lg(ln e)＝0；若e＝ln x，则x＝e2；ln(lg 1)＝0.其中正确的是(　　)．
解析：可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化，对各结论进行判断．由于1的对数等于0，底数的对数等于1，所以可判断均正确；中应得到x＝ee，故错误；中由于lg 1＝0，而0没有对数，所以此式不成立．综上可知，正确的结论是，故选A.
4．对数的运算性质
性质 符号语言 文字语言
积的对数 loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0) 两个正数积的对数等于同一底数的两个正数对数的和
幂的对数 logaMn＝nlogaM(a＞0，a≠1，M＞0，nR) 正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数
商的对数 ＝logaM－logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0) 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数
对数运算性质的理解
1．在使用对数的运算性质时，应注意各个字母的取值范围：
a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意M＞0，N＞0与M·N＞0并不等价．
例如lg[(－2)×(－3)]存在，但lg(－2)，lg(－3)不存在，lg(－10)2存在，而2lg(－10)不存在等，因此不能得出lg[(－2)×(－3)]＝lg(－2)＋lg(－3)，lg(－10)2＝2lg(－10)．
2．运用对数的运算性质，可进行对数式的化简求值问题，但要防止出现下面的错误：
loga(M±N)＝logaM±logaN；loga(M＋N)＝logaM·logaN；
loga(M·N)＝logaM·logaN；
；logaMn＝(logaM)n(其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，nR)．
3．对数的运算性质loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nm)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNm(a＞0，a≠1，Ni＞0，i＝1，2，…，m)．
4．对数的运算性质都可以由指数幂的运算性质推出．下面根据指数幂的运算性质来证明对数的运算性质．
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．
证明：设logaM＝p，logaN＝q，则由对数定义，得
ap＝M，aq＝N.
由指数的运算性质，得MN＝ap·aq＝ap＋q，
loga(MN)＝p＋q，
即loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)logaMn＝nlogaM(a＞0，a≠1，M＞0，nR)．
证明：设logaM＝p，则由对数定义，得ap＝M.
由指数的运算性质，得Mn＝(ap)n＝anp.
logaMn＝np，即logaMn＝nlogaM.
(3)＝logaM－logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．
证明：设logaM＝p，logaN＝q，由对数定义，得ap＝M，aq＝N.
由指数的运算性质，得＝ap·a－q＝ap－q.
即＝logaM－logaN.
5．对数的运算性质记忆口诀：
积的对数变加法，商的对数变减法，
幂的乘方取对数，要把指数提到前．
【例4－1】下列各等式中，正确运用对数运算性质的是(　　)．
A．＝(lg x)2＋lg y＋
B．＝(lg x)2＋lg y＋2lg z
C．＝2lg x＋lg y－2lg z
D．＝2lg x＋lg y＋
解析：＝lg x2＋lg y＋＝2lg x＋lg y＋＝2lg x＋lg y＋.
【例4－2】化简：＝________.
解析：由于对数与的底数相同，所以要求两者的和可逆用对数的运算性质loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．故＝＝＝.
【例4－3】已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(　　)．
C．3a－(1＋a)2
D．3a－a2－1
解析：要把式子log38－2log36用a表示，只需将其化为关于log32的形式．因为log38－2log36＝log323－2log3(2×3)＝3log32－2(log32＋log33)＝3log32－2log32－2log33＝log32－2，所以log38－2log36用a可表示为a－2.
对数运算性质的功能
对数的运算性质是化简对数式的主要依据，利用性质(2)logaMn＝nlogaM(nR)可将能写为幂形式的真数的对数化简，性质(1)loga(MN)＝logaM＋logaN和性质(3)＝logaM－logaN能把同底的对数进行合并．
5．换底公式
对数换底公式为：
证明：设x＝logbN，根据对数定义，有
根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以a为底的对数，得
logaN＝logabx，
而logabx＝xlogab，所以
logaN＝xlogab.
由于b≠1，则logab≠0，解出x，得
因为x＝logbN，所以
由换底公式容易得到logba＝.
换底公式的作用
(1)数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，这样只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．因此必须用换底公式将以任意不等于1的正数作为底数的对数，转换为常用对数或自然对数．再者，计算器或计算机上能够计算的对数都是常用对数或自然对数，这就更有必要学习换底公式．由换底公式可知logab＝或logab＝，利用计算器中的“log”键或“ln”键就可算出logab的值．
(2)应用换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化．该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．
【例5－1】计算：的值为(　　)．
解析：可利用换底公式将不同底数的对数式化成同底数的对数式，再利用对数的运算性质计算.，或.
【例5－2】若2a＝5b＝10，则＝________.
解析：根据2a＝5b＝10，可将指数式化成对数式得到a＝log210，b＝log510，
于是＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝lg 10＝1.
6．利用对数的运算性质化简、求值
(1)同底的对数的化简常用方法先“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；再“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．前者是对数的运算性质loga(MN)＝logaM＋logaN和＝logaM－logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)的逆用，后者是两运算性质的正用．对于系数不等于1的对数式，常逆用对数的运算性质logaMn＝nlogaM(a＞0，a≠1，M＞0，nR)将其系数化为1.例如，＋log212－log242＝＋log212－＝＝＝.
(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．例如，(lg 2)2＋(lg 5)2＋2lg 2·lg 5＝(lg 2＋lg 5)2＝[lg(2×5)]2＝(lg 10)2＝12＝1.
(3)对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．例如，log6[log4(log381)]＝log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0.
(4)在计算真数是“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．
例如，＝.【例6】计算下列各式的值．
(1)；(2)2log510＋log50.25；
(2)2log32－＋log38－；
(4)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22；
(5)log2(log216)．
解：(1)＝lg 10＝1；
(2)2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝log552＝2log55＝2×1＝2；
(3)2log32－＋log38－
＝2log32－(log332－log39)＋log323－3
＝2log32－log325＋log332＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3
(4)2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22
＝2lg 5＋lg 23＋lg 5·lg(22×5)＋lg22
＝2lg 5＋×3lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg22
＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5·lg 2＋lg25＋lg22
＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg25＋2lg 5·lg 2＋lg22)
＝2lg(5×2)＋(lg 5＋lg 2)2
＝2lg 10＋lg210＝2×1＋12＝3；
(5)log2(log216)＝log2(log224)＝log2(4log22)＝log24＝log222＝2log22＝2×1＝2.
对数运算性质的正用和逆用
利用对数的运算性质化简、求值时，既要会正用性质，又要会逆用性质．一方面是将式子中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一方面就是将式子中的对数的和、差、积、商运用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．7．解对数方程
未知数在对数的底数或真数的位置上的方程称为对数方程，常见的有以下两种情形．
(1)形如关于x的方程loga(kx＋m)＝b或log(kx＋m)n＝b的形式，通常将其化为指数式来解．例如，解方程log64x＝－.根据对数的定义，可得.又由指数的运算性质知，.又如，解方程logx4＝2.根据对数的定义，得x2＝4，易知x＝2.
(2)形如关于x的方程klogx＋mlogax＋b＝0的形式，通常利用换元法转化为一元二次方程来解．注意解对数方程要验根．例如，解方程lg2x－lg x2－3＝0.此方程可化为lg2x－2lg x－3＝0.设lg x＝t，则有t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3，即lg x＝－1或lg x＝3，所以x＝或x＝1 000，经检验，它们均符合题意．故原方程的根为x＝或x＝1 000.
【例7－1】方程lg x＋lg(x－3)＝1的解为x等于(　　)．
解析：由lg x＋lg(x－3)＝1，得lg[x(x－3)]＝1，
所以解得x＝5.
变形要注意等价性
将lg x＋lg(x－3)化为lg[x(x－3)]实质上是非等价变形，因为lg x＋lg(x－3)中只允许而lg[x(x－3)]中允许或若忽略这一点，将扩大定义域，从而产生增根．
【例7－2】方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是__________．
解析：对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法，利用换底公式可得log9(x＋5)＝，所以，方程log3(x－1)＝log9(x＋5)可化为log3(x－1)＝，即2log3(x－1)＝log3(x＋5)，log3(x－1)2＝log3(x＋5)．所以(x－1)2＝x＋5，即x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4.将x＝－1，x＝4分别代入方程检验知：x＝－1不合题意，舍去．因此，原方程的解是x＝4.
答案：x＝4
8．对数运算的实际应用
在日常生活实际中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题．
解有关对数应用问题的步骤是：审清题意，弄清各数据的含义；恰当地设未知数，建立数学模型，即已知ax＝N(a，N是常数，且a＞0，a≠1)，求x；利用换底公式借助于计算器来解决数学模型；还原为实际问题，归纳结论．
例如，光线每通过一块玻璃板，其强度要减少10%，至少要把几块这样的玻璃板重叠起来，才能使通过它们的光线强度在原强度的以下？(lg 3＝0.477 1)我们可设光线没有通过任何玻璃板时的强度为1，通过x块玻璃板后其强度为y.则光线强度关于玻璃板块数的关系式为(1－10%)x＝，即0.9x＝.所以x＝log0.9＝＝≈10.4，即至少要把11块这样的玻璃板重叠起来．【例8－1】经科学研究发现，当生物死亡后，它机体内原有的碳14要按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．最近我国考古学家在湖北宜昌一带发掘了一批江汉鱼化石，经探测，得知这块鱼化石中碳14的残留量占原始含量的35.7%，据此考古学家推断这群鱼是8 500多年前死亡的．你知道考古学家是怎样推测出这个年代的吗？
分析：要求这群鱼大致的死亡时间，需要用到生物体死亡年数t与体内碳14的含量p之间的关系式：.
解：设这群鱼死亡的时间是t年以前，则0.357＝.
所以＝log0.50.357.所以t＝5 730×log0.50.357＝5 730×≈8 500，即这群鱼大约是8 500年前死亡的．
在bx＝N中已知b，N，求幂指数x，需要进行对数运算．
【例8－2】我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度I用瓦/平方米(W/m2)来表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L1表示，它们满足以下公式：L1＝(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12W/m2，这是人们能听到的平均最小强度，是听觉的开端)，请回答以下问题：
树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平．
解：由题意，可知树叶沙沙声的强度I1＝1×10－12W/m2，则，故＝10lg 1＝0，即树叶沙沙声的强度水平是0分贝；
耳语的强度I2＝1×10－10W/m2，则＝102，故LI2＝10lg 102＝20，即耳语的声音强度水平是20分贝；同理，恬静的无线电广播的强度水平是40分贝．
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在分析各种算法时，经常看到O(log2n)或O(nlog2n)这样的渐进复杂度。不知道有没有同学困惑过，为什么算法的渐进复杂度中的对数都是以2为底？为什么没有见过O(nlog3n)这样的渐进复杂度？本文解释这个问题。先看一个小例子。大多数人应该对归并排序很熟悉，它的渐进复杂度为O(nlog2n)。那么如果我们将归并排序改为均分成三份而不是两份，其算法时间复杂度是否有变化呢？下面通过递归分析对三分式归并排序的时间复杂度进行分析。因为不管是三分还是二分，对于总共n个数据来说，一遍合并的复杂度为O(n)，所以三分式归并排序的递归式为：T(n)=3T(n/3)+O(n)。如果把这个递归式的递归树画出来，很容易得到T(n)=O(nlog3n)。
那么这是否意味着三分式归并排序在时间复杂度上要优于二分式的归并排序呢？因为直觉上nlog3n比nlog2n要优一些。实际上三分式归并排序的时间复杂度确实是T(n)=O(nlog3n)，而且同时也是T(n)=O(nlog2n)。这看起来似乎是矛盾的，nlog3n和nlog2n当然在绝大多数情况下是不相等的，但是在渐进复杂度情况下就不同了，因为渐进复杂度是忽略常系数的，但是似乎也看不出来nlog3n和nlog2n是差一个常系数。关键就在于我们应该在中学学过的对数换底公式，logab=logcb/logca，其中a和c均大于0且不等于1。根据换底公式可以得log3n=log2n/log23只差一个常系数log23。因此，从渐进时间复杂度看，三分式归并并不比二分式归并更优，当然还是有个常系数的差别的。更一般的，logan=log2n/log2a，因此对于大于1的a来说，都与O(log2n)差一个常系数而已，因此为了简便，一般都用O(log2n)表示对数的渐进复杂度，这就解决了本文初始的疑问。当然，以任何大于1的a为底数都是没有问题的。
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