用定义证明极限若f(x)极限存在，则极限值唯一

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-23 14:32 标签： 用定义证明极限
高数1 两个重要极限、极限存在准则 课件_百度文库
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出门在外也不愁根据函数极限的定义证明：函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限，右极限各自存在并且相等。
根据函数极限的定义证明：函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限，右极限各自存在并且相等。 5
rt 求专业回复
设f(x0)=A,
必要性：
任意给定ε&0,由于f(x)在x0处极限为A，故存在δ&0，使得对于满足0&|x-x0|&δ的一切x都成立
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& |f(x)-A|&ε.
只要x0&x&x0+δ或x0-δ&x&x0成立，则必0&|x-x0|&δ,因而|f(x)-A|&ε.由左右极限的定义得左右极限相等且都为A.
充分性：
任意给定ε&0.由于左右极限相等且为A，存在正数δ1和δ2使得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& x0&x&x0+δ1时|f(x)-A|&ε,
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& x0-δ2&x&x0时|f(x)-A|&ε.
取δ=min(δ1,δ2)，则当0&|x-x0|&δ时，|f(x)-A|&ε,即f(x)在x0处极限为A.
由左右极限的定义和性质可得，若f(x)在x=x0时单侧极限不全或存在但不相等时，f(x)在x0处没有极限。
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时极限存在,则此极限值称为函数y=f(x)
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