已知函数f（x）=xlnx1.求f（x）的最小值.2.若对所有x大于等于1都有f（x）大于或等于ax减1,求实数a的取值范围.
(1) 对函数f(x)=xlnx求导得： f'(x)=lnx+1 令lnx+1=0,x=1/e 当x>1/e时,f'(x)>0 当01时,g'(x)>0,即g(x)在x≥1时单调递增,最小值为g(1)=1 所以a≤1
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f'(x)=lnx+1 （x>0)令lnx+1=0,x=1/e 当x>1/e时,f'(x)>0 当0<x<1/e时,f'(x)<0 f(x)极小值即最小值为f(1/e)=-1/e (2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1 则a≤[f(x)+1]/x对x≥1恒成立，则a≤[f(x)+1]/x的最小值 令g(x)=[f(x)+1...
扫描下载二维码已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）
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已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）
已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）
科目:最佳答案
f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）由f'（x）=0得，…（3分）所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）
设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，…（6分）切线的斜率为lnx0+1，所以，0+1=
，…（7分）解得x0=1，y0=0，…（8分）所以直线l的方程为x-y-1=0．…（9分）
g（x）=xlnx-a（x-1），则g'（x）=lnx+1-a，…（10分）解g'（x）=0，得x=ea-1，所以，在区间（0，ea-1）上，g（x）为递减函数，在区间（ea-1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）当ea-1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）当1＜ea-1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（ea-1）=a-ea-1．…（13分）当ea-1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e-ae．…（14分）综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a-ea-1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e-ae．
解析解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）
由f'（x）=0得
，…（3分）
所以，f（x）在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．…（4分）
是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）
（Ⅱ）设切点坐标为（x
0，…（6分）
切线的斜率为lnx
，…（7分）
0=0，…（8分）
所以直线l的方程为x-y-1=0．…（9分）
（Ⅲ）g（x）=xlnx-a（x-1），
则g'（x）=lnx+1-a，…（10分）
解g'（x）=0，得x=e
所以，在区间（0，e
a-1）上，g（x）为递减函数，
a-1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）
a-1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，
所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）
a-1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e
a-1．…（13分）
a-1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，
所以g（x）最小值为g（e）=a+e-ae．…（14分）
综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a-e
a-1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e-ae．知识点:&&基础试题拔高试题热门知识点最新试题
关注我们官方微信关于跟谁学服务支持帮助中心已知函数f(x)＝xlnx＋(a－1)x(a∈R).(1)当a＝1时,求曲线y＝f(x)在x＝1已知函数f(x)＝xlnx＋(a－1)x(a∈R).(1)当a＝1时,求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[,e]上的最小值；(3)若关于x的方程f(x)＝2x3－3x2在区间[,2]上有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
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已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，关于x的方程f（x）=m在区间[12，3]内有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1e，e]上的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，∴k=f'（1）=1，f（1）=0，…（3分）∴所求的切线方程为y=x-1．…（4分）（Ⅱ）&当a=0时，f（x）=xlnx-x，f′（x）=lnx+1-1=lnx…（5分）∴由f′(x)＞012≤x≤3lnx＞012≤x≤31＜x≤3，f′(x)＜012≤x≤312≤x＜1，…（6分）故可列表：
3ln3-3∵-12ln2-12＜0＜3ln3-3…（9分）∴关于x的方程f（x）=m在区间[12，3]内有两个不相等的实数根时-1＜m≤-12ln2-12；&&&&&…（10分）（Ⅲ）&f'（x）=lnx+a（x＞0），由f'（x）=0得x=e-a．…（11分）①当e-a＜1e，即a＞1时，f'（x）＞0，f（x）在[1e&&，e]上为增函数，f(x)min=f(1e)=a-2e；&&&&&&&&…（12分）②当1e≤e-a≤e，即-1≤a≤1时，在[1e，e-a]上f'（x）＜0，f（x）为减函数，在[e-a，e]上f'（x）＞0，f（x）为增函数，f(x)min=f(e-a)=-e-a；&&&&&&&&&&…（13分）③当e-a＞e，即a＜-1时，f'（x）＜0，f（x）在[1e，e]上为减函数，f（x）min=f（e）=ea．综上所述，f(x)min=a-2e，&&&a＞1-e-a，&-1≤a≤1ea&，&&a＜-1．…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处..”考查相似的试题有：
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