证明：若函数f（x）在（-∞，+∞）内...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-25 08:40 标签： 阴在阳之内
设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．解：（1）求导数可得f′（x）=∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．g′（x）=ex-a，若1≤a≤e，则g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立，g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不符合题意；若a＞e，则g（x）=ex-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，gmin（x）=g（lna），满足题意．故a的取值范围为：a＞e．（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤ex在（-1，+∞）上恒成立，∴a≤f′（x）=（x＞0）0＜a≤，令f′（x）＞0得增区间（0，）；令f′（x）＜0得减区间（）当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞∴当x=时，f（）=-lna-1≥0，当且仅当a=时取等号∴当a=时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点；②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点；③a＜0时，f′(x)＝≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是单调增函数当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞∴f（x）有1个零点综上所述，当a=或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点．略山东省德州市某中学2014届高三上学期期中考试理科数学答案
解：（1）求导数可得f′（x）=∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1． g′（x）=ex-a，若1≤a≤e，则g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立，g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不符合题意；若a＞e，则g（x）=ex-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，gmin（x）=g（lna），满足题意． 故a的取值范围为：a＞e． （2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤ex在（-1，+∞）上恒成立，∴a≤ f′（x）=（x＞0）0＜a≤，令f′（x）＞0得增区间（0，）；令f′（x）＜0得减区间（）当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞∴当x=时，f（）=-lna-1≥0，当且仅当a=时取等号∴当a=时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点；②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点； ③a＜0时，f′(x)＝≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是单调增函数当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞∴f（x）有1个零点 综上所述，当a=或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点．相关试题已知函数f（x）=e2x-2tx，g(x)＝?x2+2tex?2t2+12．（1）求f（x）在区间[0，+∞）的最小值；（2）求证：若_百度知道
已知函数f（x）=e2x-2tx，g(x)＝?x2+2tex?2t2+12．（1）求f（x）在区间[0，+∞）的最小值；（2）求证：若
normal">g(x)＝，．（1）求f（x）在区间[0，+∞）恒成立；（2）求证;font-wordWrap:90%">2+12对于任意的x∈[0，+∞）的最小值?2t2+2te<table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="margin-wordSpacing已知函数f（x）=e2x-2tx?x2=:90%">2:super:90%">2+<table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="margin-right，∴g（x）在[0:super，<span style="vertical-align?2(x+e2z:normal">x∈[0?2tex2)<span style="vertical-align:normal，∴e2x-t≥0，+∞）时;font-+∞)时，令F（x）=ex-x:nowrap，+∞）的最小值是f（0）=1②若t＞1令f'（x）=0;padding-font-wordWrap:90%">2:wordWrap，F'（x）＞0:1px">x+x<span style="vertical-align?2xe<span style="vertical-font-size，F'（x）=0?2tx+xx)t+(e<span style="vertical-align:super，则e2x≥1:font-size，+∞）是增函数;wordSpacing:super:normal">2t<span style="vertical-align?<table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="margin-right?2xe32:(ee2:90%">2x;padding-bottom；当:1px"><td style="border-bottom，12):normal">g(x)≥g(0)＝x∈(恒成立（3）证明;wordSpacing（1）f'（x）=2e2x-2t=2（e2x-t）①若t≤1∵x≥0;font-size?12≥0;font-size：当t=1时?tlnt（2）证明:normal:1px"><td style="border-wordWfont-size:nowrap，∴f（x）在区间[0;font-font-size，∴F（x）=ex-x≥F（0）=1;padding-bottom，在（0:super:super，即f'（x）≥0．∴f（x）在区间[0，时，+∞）内是增函数;wordWrap，∴[g'（x）]'=2（ex-1）:font-size:90%">x:90%">2+2e<span style="vertical-align:normal:font-size，当x=0时;wordSpacing:1font-size?12=;font-size:nowrap:normal:font-font-size?f(2x+x<span style="vertical-align?x+x<span style="vertical-align:super:1px，令:wordWrap，h（t）≥2;wordWrap:nowrap:super:nowrap，∴h（t）≥0?g(x)＝e&nbsp:1px"><td style="border-bottom:normal:font-wordWrap，当x∈[0:1px solid black:1px?12:normal:90%">e2:90%">2;wordSpacing，则F'（x）=ex-1;font-size?x)<span style="vertical-align，则F（x）=ex-x在（-∞?12则当t∈R时，则g'（x）=-2x+2ex=2（ex-x），+∞）;font-size:normal:normal">x:1px solid black">12lnt．又当:90%">2:super，有[g'（x）]'≥0;font-size:90%">2x+xf(x);wordSpacing:1px solid black:super:1px solid black，0]是减函数:1font-size?x)<span style="vertical-align，&nbsp:1px solid black">12lnt
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已知函数f（x）＝x的三次方减3x加4。（1）证明函数y＝f（x）在[1，+∞)上为增函数（2）证明方程f（x）=0没有大于1的根
f（1）=2&gt：1.f(x)的导数为3x的平方减3
令f（x）的导数大于0，所以在x=1处有极小值，在1到正无穷大上递增;-1.因为f（x）在-1到1上单调递减，解得x&lt。2;1所以（1）成立
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3 (x1;0 , 即 y＝f（x）在[1(1) 令x2&=1
f(x1)-f(x2)=x1^2-3x1+4-x2^2+3x2-4
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)-3(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-3)
x1-x2&lt,x2都大于1;0，+∞)上为增函数(2) f(1)=2 &gt，+∞)上为增函数, x1^2+x1x2+x2^2&gt, 由（1）知 y＝f（x）在[1;0，且不同时等于1）
∴f(x1)-f(x2)&x1&gt
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出门在外也不愁以下试题来自：
单项选择题下列命题正确的是
(A) 若函数f(x)在(-∞，+∞)内处处可微，则其导函数f’(x)必处处连续．
(B) 若函数f(x)在点x0可微，则当△x→0时，△y与dy是同阶无穷小．
(C) 设函数y=f(u)二阶可导，则由dy=f’(u)du知
d2y=d[f’(u)du]=[f’(u)du]’du=f"(u)(du)2．
(D) 若函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0可微分．
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