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压力容器初级工程师
阮一峰是搞IT不是搞数学的，不用要求太高啦
的话：怎么可能,高中数学没有画过复平面吗?学了又如何，老师只教你这个，没说i是旋转量。
这样教很有问题，一开始说i是旋转的角度后来又说i是纵坐标的坐标轴前后根本不一我表示，当年学的向量比这个容易明白多了
刚学的时候老师推广过，复平面表示所有点和参数方程。说高考也不考，不过意义很重大所以说了。
看维度数学漫步，有一集专讲
欧拉公式咛
不是所有的虚数都是-1的平方根啊，-1的平方根只是i而已。
想起了电路分析。。。。。。。。里面的用E表达的东西。。。
即使看过这个，孩子们高中学到矢量就又会觉得虚数毫无用处了。LZ说的实数已经也变成了有方向的量。而要表示这种有方向的量的话，显然LZ文中的实数部分显得非常突兀，结果就是实数部分被去掉。虚数衍生出的矢量已经最好的解决了文中的各种问题。
一种创造的辅助工具。
引用 的话：觉得我就不该进这个贴，数学早忘光了=.=曾经的文科狗表示当年好像完全没学虚数…那个年头可能还没划入考试范围～不懂的地方主要是2点：1，为什么2个90度是相乘？2，为什么（1，i）是45度？3i...关键是从变换的角度来看乘法，线性代数（虽然你可能没学过）也是在此基础上的扩充。举个例子，数的加法理解为向量的加法，比如2+3=5理解为沿某个方向(例如正东)有2N的力，又有一个3N的力，加起来就是5N的力，可以画出来三条有向线段表示这种关系。而数的乘法理解为变换。比如2*3=6，理解为：3是一个对象，而前面的2表示对一种操作——把后面的对象沿本来的方向拓展3倍长，结果就是6这个新的对象（即操作（旧对象）= 新对象 ）。同理，(-2)*3 = (-6)，理解为，对3这个对象（比如沿正东方向的大小为3N的力）进行操作，把它方向取反，大小变为2倍，就得到了一个正西方向的大小为6N的力。变换的叠加就是乘法（比如4*2*3=24，就是先把3个对象沿本身的方向拓展2倍，对这个拓展的结果再拓展4倍）。你对数的乘法的理解还是映射，即把两个数（两个对象）对应到一个新的数（对象）。不是说这种理解不对，只是不同的理解要用到不同的场合。上面说的数的加法，就要用这种理解（两个对象，我举的是力的例子，合成得到一个新的对象）。数既是对象又是变换（对对象的操作）。因此：1、2个旋转90°都是从变换的角度理解的，而变换的复合就是相乘；2、一个复数可以对应到复平面上的一个向量，a+bi对应于点P(a,b)，也对应于平面坐标上的向量OP(O为坐标原点)。一个复数画在坐标平面上，它与X轴的夹角就是它作为变换时的旋转角度。因此1+i对应(1,1)点，他所对应的操作就是把别的对象旋转45°（当然还要乘一个伸缩倍数，倍数就是1+i的模厂，即根号2，不过这一点此文中未提到）；i^3才是旋转270°。正如1、中所说的，乘法代表变换的符合，要做3次旋转90°，应该是三个i相乘。而3i则是3与i相乘，即先做变换i(旋转90°)，再做变换3（沿原方向把长度变为3倍）。这样就理解3i是什么操作了吧？i的模长是1，这就是你所说的它和1一样“长”（这个长度是i所代表的变换的某种固有性质，就是拉伸的倍数。i的模长为1，意思是做这个变换不改变对象的长度，或者说拉伸倍数为1）。虚数的引入是为了扩充数系，使得所有多项式都有根，运算性质更完美、简洁。任何一个复数，可以理解为1和i的线性组合，且这种组合是唯一的。或者说，你要到某个地方去，先要往东走距离a，再往北走距离b，这个东就是1，北就是i，整体的结果就是a*1+b*i(先把1伸长a倍，再把i伸长b倍，再把结果相加。相加就用向量加法的意义来理解)；3、
引用 的话：(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)。。。。。。很好奇，为毛转两个90度是相乘而不是相加同问?
引用 的话：关键是从变换的角度来看乘法，线性代数（虽然你可能没学过）也是在此基础上的扩充。举个例子，数的加法理解为向量的加法，比如2+3=5理解为沿某个方向(例如正东)有2N的力，又有一个3N的力，加起来...对，这里确实涉及一个思想转变的过程，而不能停留在原来的数系。我觉得本文这样说复数是最简单可以接受的理解了。高中时，我就觉得复数和向量有很多相似，看了本文觉得很亲切啊，我觉得引入I的目的是区别一个量的两个维度。
引用 的话：对，这里确实涉及一个思想转变的过程，而不能停留在原来的数系。我觉得本文这样说复数是最简单可以接受的理解了。高中时，我就觉得复数和向量有很多相似，看了本文觉得很亲切啊，我觉得引入I的目的是区别一个量的...确实相似。事实上，复数域C作为实数域R上的向量空间，与V2同构。但是全体复数可以构成一个数域啊……手里有一个域，当成线性空间来研究，真是亏大发了
懂的人觉得太浅,不懂的人还是不懂?好吧,我承认我也不是目标受众! ~~飘
高中数学-极坐标学过这个就看得懂啦
复变函数实乃一大杀器
爱因斯坦说句忽悠人的话还真有人拿它当宝使？！爱因斯坦可以说就是一个大忽悠，整天拿着自己的名气说些不着边际的话。这文章没有解释道虚数的本质意义是cauchy riemann equation，虚数说简单很简单。
引用 的话：所以说从直观的角度讲。。。用三角函数算也没什么，但是一点不提指数函数就说不过去。文章一开头就说i是旋转量，旋转角度是相乘之类的，也没给一点解释，举出个直观性质就说这是虚数的意义云云（其实连直观这一...嗯，我老早以前一片文章搬到果壳上来了，里面给出了一个不同于高中数学所讲的复数几何模型，以及欧拉公式的一个（相对）直观解释，可以参考下欧拉恒等式，或者叫π和e以及i的三角关系
初中小朋友表示挺好看懂的……
这篇文章只是复数的应用，而不是复数的本质。虚数的本质就是i^2=-1，没有其它。
　(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
是将1看成单位长度吗？可以直接消去吗？如果把+1消去，这个式子就变为：(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i ：i^2 = (-1)感觉有点混淆概念
为什么 i是逆时针旋转90度， 1+3i怎么会在第一象限？为什么不是第四象限？
引用 的话：我觉得这文章讲的很好啊。把虚数和旋转这个概念联系起来，给初中小朋友都能讲明白了。你又引入矢量又引入电子工程学量子力学什么的。是，很高端很牛，问题是你要先讲矢量的概念，再讲电子工程学的概念和量子力学的概...我不能理解最后面那个复数旋转的计算就是把两个复数相乘，你能给我解释一下么。我看了很多遍最后一点内容，他只是把复数转化了一种形式变成了三角函数，然后直接用三角函数算复数之间的乘法，我觉得他没讲为甚么旋转变乘了。如果我理解错了方向，那么证明的关键是在最后得出来的那个结果么，那个结果可以是旋转之后通过另外的方法得出的正确的答案，现证明这种方法有相同的结果所以证明得这种方法可靠？如果是这样，但是我不知道为甚么旋转之后的正确答案是这个，请给我讲一下好么。我可能讲得很啰嗦，嘿嘿。另外的是他是假设复数满足某某变型条件时的证明过程，难道之后不需要再从特殊证到一般么，我觉得这样不严谨吧
引用 的话：为什么 i是逆时针旋转90度， 1+3i怎么会在第一象限？为什么不是第四象限？i是90，是第一部分的定义，在这个基础上可是我不知道为甚么把45定义为1+i.，我也觉得那些图很怪，而且很有趣的是不管在第几象限貌似i前面都是整数？你有什么想法，= =
引用 的话：　(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1) 是将1看成单位长度吗？可以直接消去吗？ 如果把+1消去，这个式子就变为： (逆时针旋转90度)^2 = (-1) ...同感阿，而且*这个符号本该表示乘号，但是这样，*是点乘和叉乘都不符合，他下一步写除了平方，说明他当了点乘，哎，我怎么觉得这是民科啊，概念都被搞到哪儿去了嘛，我看完一大篇糊涂死了，可能是我脑洞大还是我太死理性派了。= =
引用 的话：i是90，是第一部分的定义，在这个基础上可是我不知道为甚么把45定义为1+i.，我也觉得那些图很怪，而且很有趣的是不管在第几象限貌似i前面都是整数？你有什么想法，= =没什么想法，我是真没看懂这个文章。i代表旋转角度的话应该是个极坐标系，却用一个直角坐标系来表示。i代表逆时针旋转90度的话，我也看不出后面的解释里i和逆时针旋转90度的关系在哪。否则1+i岂不是等于1+5i了。鉴于我仅存的高中数学知识，实在是没法理解极坐标怎么表示虚数，高中不都是实轴虚轴用直角坐标系表示么。
引用 的话：没什么想法，我是真没看懂这个文章。 i代表旋转角度的话应该是个极坐标系，却用一个直角坐标系来表示。i代表逆时针旋转90度的话，我也看不出后面的解释里i和逆时针旋转90度的关系在哪。否则1+i岂不是等于...实轴虚轴是在平面直角坐标系上命名的么，我有点混淆概念了引用 的话：45度应该是(1+i)除以根号2，原文的回复作者他是不是把实数轴虚数轴的坐标和平面直角坐标系搞混了？我这么想。45度旋转45度自然是90.他说旋转直接乘就好，90在他的定义下是i.那么按理说45也该是i开根号吧，不过平面直角坐标系数字表示的（0，1）我觉得应该是1+i,
引用 的话：我觉得我就不该进这个贴，数学早忘光了=.=曾经的文科狗表示当年好像完全没学虚数…那个年头可能还没划入考试范围～不懂的地方主要是2点：1，为什么2个90度是相乘？2，为什么（1，i）是45度？3i是什么...在下愚见。两个90°相乘我觉得可以这么理解，向量(1,0)变到(-1,0)是旋转两个90°，而旋转是线性变换，也就是这个旋转可以写成矩阵的形式，于是就是乘积了。比如记向量(1,0)=α，(-1,0)=β，所用线性变换的矩阵为γ，则有这么一个关系，α*γ*γ=β，这里的矩阵γ对应的就是旋转90度的意思了。
网站很好，只是我看不懂啊，有没有汉化版？？？急求
你们为什么还记得这种东西…………要命了
文章题目要说虚数的本质，可文中写的是虚数的应用啊
都没学过高等几何么？2条直线既互相平行又互相垂直，那么他们的斜率是多少？就是i了这条线上2点的距离是多少？是0所以这种直线既叫迷向直线（方向不确定）又叫极小直线（任意2点间距离为0）这些都不知道么？ 这是虚数最简单的运用啊333333高中生只要想一下一定能知道，就是必修2的内容而已。
另外明明是线代的内容非要扯什么复变，真是捉急，又不是讲调和函数的映射性质←_←
引用 的话：我觉得这文章讲的很好啊。把虚数和旋转这个概念联系起来，给初中小朋友都能讲明白了。你又引入矢量又引入电子工程学量子力学什么的。是，很高端很牛，问题是你要先讲矢量的概念，再讲电子工程学的概念和量子力学的概...嗯嗯啊
我就是一个初中小朋友
引用 的话：阮一峰。。觉得还是没有讲到本质。即和矢量的关系，电子工程学和量子力学的应用我觉得电子工程上用虚数是因为它可以同时含有标量值和矢量方向2个参数，用在表示电流上一个‘数’就可以描述电流量和相位，不易引起混淆
引用 的话：我觉得电子工程上用虚数是因为它可以同时含有标量值和矢量方向2个参数，用在表示电流上一个‘数’就可以描述电流量和相位，不易引起混淆在电路分析上虚数表示同样可以转换为三角函数表示，只不过虚数有计算上的方便。如果用三角函数表示这个数的2个参数是数的‘量’和‘角度‘，把本来1维的量变成2维（可以旋转），而且这两个参数存在关系才能把特定的量和角度每个都对应起来，这个关系就是简单的三角关系。用虚数方法表示的时候，把虚数轴想象成y轴但是这个y轴怎么和x轴（所谓的实数部分）对应起来，就让它和x有几何关系就行了于是把1’旋转90度‘就成了i。旋转180度就成了i的平方也就是-1。和三角函数表示一样。其实就是多了个几何关系。至于名字取成什么虚数之类的完全是故弄玄虚不装逼会死的原因吧。如果所有人都了解真相就不那么高大上了。‘复数’这个名字取得多好的，就是2个数的意思。，什么complex number这种名字看到很容易就被迷惑了
引用 的话：在电路分析上虚数表示同样可以转换为三角函数表示，只不过虚数有计算上的方便。如果用三角函数表示这个数的2个参数是数的‘量’和‘角度‘，把本来1维的量变成2维（可以旋转），而且这两个参数存在关系才能把特定...对啊。。在量子力学里也是一样。感觉就是用一个数表示两个变量来省事的东西。。
说起这个，没人提那个欠100亩地的例子？
0就是没有，负实数就是太虚幻境。虚轴是建立镜像的一个过渡手段。来自
哲学问题就说不清了，自然界里存在什么东西？我自己都觉得有两种观点，最低观点和最高观点。最高观点：虚数是自然界实际存在的，所有数学概念都是实际存在的。想象平面上的一个圆x2+y2=c，c是正数，随着c的缩小圆不断缩小，c=0时成为点圆，c&0时成为虚圆，这一过程表明，虚数就是实际的存在，这个圆没有消失，只不过收缩到了“另一个空间”里去了。最低观点：自然界中只存在自然数，零个，一个，两个……自然界不存在“负三个苹果”，负数只是数学运算的产物。分数也是，人为剖分的产物。无理数更不必说，是极限定义的，等等。
我认为上面的解释有问题，首先如果在任意坐标系（1,1）也可以有角度，i的引出为了代表虚数，虚数的平方是-1，而且之所以有角度在于矢量，还有那个航线问题不用虚数也可以，没有体现虚数的意义，如果我用力也可以来自
想不明白为什么要旋转两个九十度而不是一个180度呢来自
虚数的产生是在不知道一个数的平方等于-1下产生的，文章这样想没有道理呀，如果说是虚数的应用还行，不过文章中的i可以用别的方法来代替，所以我认为解释很牵强来自
写得不错，大神勿看。来自
会有这个疑惑是因为大家思维是工程应用的思维习惯，没有产生纯数学的思维习惯。数学高中阶段的知识与现实的联系很强，大家学习这些概念一般会在脑海里用类比现实物理的方法来理解。所以习惯了寻找数学概念的“现实意义”。但是到了大学之后，你再去看数学课本，就会发现他们会剔除或者说避免谈及数学与现实的应用联系。当然这些应用方面你还是可以在其他领域的课本里找到的。数学概念在自己领域内其实只要符合逻辑就行，推理的起点是数学公理。而运用就是寻找它到现实的严格的类比映射，但不一定只存在一种模型表示。也就是说你用复数做得一个数学模型是可以用实数来代替的，比如文章里面的在复平面上表示旋转缩放，用实数二元组也可以做到，计算量都一样的，都要操作两个信息，但是复数的形式更简单。同样你用实数平面向量做得模型也可以用复数来代替，比如大家试试在平面上F=ma换成复数也可以使用。复数的运算法则，大家高中都学过了，加减乘除依然可以用，它用在物理上就是一次最少带有2个信息。以后你会学到，复变函数的微分积分运算也和实数函数差不多的形式，而在代数、向量的领域，复数形式总比实数形式多一些便利，有一种对称的优美。复数多项式有几次，就一定有几个根，非常优美的性质，实数多项式就做不到。所以用复数做模型有时候比实数要好用。
(C)2016果壳网&&&&&京ICP备号-2&&&&&虚数的意义 - 阮一峰的网络日志
虚数的意义
有人在问了一个问题：
　　"我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。
　　中学老师说，虚数就是-1的平方根。
　　可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！
　　直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？
　　它有什么用？"
帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！
下面，我就用自己的语言，讲述我所理解的虚数。
一、什么是虚数？
首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。
这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此，我们可以得到下面的关系式：
　　(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
如果把+1消去，这个式子就变为：
　　(逆时针旋转90度)^2 = (-1)
将"逆时针旋转90度"记为 i ：
　　i^2 = (-1)
这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。
二、复数的定义
既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。
三、虚数的作用：加法
虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。
比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？
根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。
四、虚数的作用：乘法
如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。
比如，一条船的航向是 3 + 4i 。
如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：
　　( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：
　　( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
五、虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明，实际上很简单。
任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：
　　a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
　　c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
　　r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式，得到
　　cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根据三角函数公式，上面的式子就等于
　　cos(α+β) + isin(α+β)
　　( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。
图像识别（image recognition）是现在的热门技术。
大多数人在高中，或者大学低年级，都上过一门课《线性代数》。这门课其实是教矩阵。
本文通过五个例子，介绍蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）。
大学时，我一直觉得统计学很难，还差点挂科。专题分享：
实数虚数详解
包括和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。这是初中的知识点。有理数和无理数统称为实数。在数学里，将指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i?=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。为实数的延伸，它使任一都有根。复数当中有个“虚数单位”，它是的一个，即。任一复数都可表达为，其中及皆为实数，分别称为复数之“实部”和“虚部”。复数的发现源于三次方程的根的表达式。数学上，“复”字表明所讨论的数域为复数，如复矩阵、复变函数等。
实数m取什么数值时，复数z=m2-1+(m2-m-2)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：（1）∵复数z=m2-1+（m2-m-2）i是实数，∴m2-m-2=0，∴m=-1．m=2（2）复数z=m2-1+（m2-m-2）i是虚数，∴m2-m-2≠0∴m≠-1．m≠2（3）复数z=m2-1+（m2+3m+2）i是纯虚数∴m2-m-2≠0且m2-1=0∴m=1．&&
（1）根据复数的基本概念，当复数是一个实数时，需要使得虚部等于0，得到关于m的方程，得到结果．（2）根据复数的基本概念，当复数是一个虚数时，需要使得虚部不等于0，得到关于m的方程，得到结果．（3）根据复数的基本概念，当复数是一个纯虚数时，需要使得虚部不等于0，实部等于0，得到关于m的方程，得到结果．
若复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数()
测试题精选
用结构图描述数系中复数、虚数、实数、有理数、整数之间的关系．
实数m取什么值时，复数z=(m-1)+(m+1)i是．(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
当m分别为何实数时，复数z=m2-1+(m2+3m+2)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
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本文转自。什么是虚数？虚数的意义在哪里？中学学数学的时候，老师只是说“虚数就是-1的平方根”。再多问也白扯了。可是，什么数的平方等于-1？虚数有什么意义？很难懂，虚数的概念真的很虚。对于数学家来说，可能无所谓。因为不管虚数有什么意义，总是要学习、掌握和使用的。但是如果能解释清楚，虚数也就没有那么奇怪和难懂了。数学也就看上去更亲切了。有一个网站叫做，它用最简单和容易理解的方式给大家解释一些非常抽象和不好理解的概念。这个网站有一篇文章叫做，将虚数解释得很简单。读后让人恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！让我们来看一下：（下文转自阮一峰的博客）一、什么是虚数？首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。这相当于两次逆时针旋转90度。因此，我们可以得到下面的关系式： 　(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)如果把+1消去，这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i ：
i^2 = (-1)这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。二、复数的定义既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。三、虚数的作用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。四、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。五、虚数乘法的数学证明为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？下面就是它的数学证明，实际上很简单。任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：　a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )展开后面的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )根据三角函数公式，上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)所以，
( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
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的话：阮一峰。。觉得还是没有讲到本质。即和矢量的关系，电子工程学和量子力学的应用我觉得这文章讲的很好啊。把虚数和旋转这个概念联系起来，给初中小朋友都能讲明白了。你又引入矢量又引入电子工程学量子力学什么的。是，很高端很牛，问题是你要先讲矢量的概念，再讲电子工程学的概念和量子力学的概念，然后再讲应用。这不是把概念解释简单的方法啊。
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)。。。。。。很好奇，为毛转两个90度是相乘而不是相加
太棒了，老师怎么没有讲到过这个！！
我在那个网站上试图检索Lagrangian。。。。却一无所获。。。。
阮一峰。。觉得还是没有讲到本质。即和矢量的关系，电子工程学和量子力学的应用
还有三角函数。
的话：阮一峰。。觉得还是没有讲到本质。即和矢量的关系，电子工程学和量子力学的应用+1 这篇文章根本没讲到点子上
这不是极坐标么
的话：+1 这篇文章根本没讲到点子上请楼主推荐讲到点子上的好见解，请教。
的话：阮一峰。。觉得还是没有讲到本质。即和矢量的关系，电子工程学和量子力学的应用我觉得这文章讲的很好啊。把虚数和旋转这个概念联系起来，给初中小朋友都能讲明白了。你又引入矢量又引入电子工程学量子力学什么的。是，很高端很牛，问题是你要先讲矢量的概念，再讲电子工程学的概念和量子力学的概念，然后再讲应用。这不是把概念解释简单的方法啊。
的话：+1 这篇文章根本没讲到点子上应该说这个说得还是太基础了或者说标题不太贴切 虚数的意义这个词很容易直接联想成虚数的现实意义
的话：应该说这个说得还是太基础了或者说标题不太贴切 虚数的意义这个词很容易直接联想成虚数的现实意义有道理，那么复数的最初起源和动机是唯一的吗？是什么呢？
觉得讲的不太对劲。。。乘法性质里的旋转应该是先定义了复数乘法才出来的，而复数乘法的定义就来自于i的性质。事实上，把（复）当作二维中的向量进行旋转也得先定义复平面。所以看到加粗字体里的“虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。”一下子就蛋疼了。。。找出个比较直观的性质，就说这是XX的本质云云，真的没问题吗？况且就算在直观上这篇文章也不怎么样：体现乘法性质最直观的是指数表达式，这篇文章只字未提，反而是用三角公式推了半天。
的话：我觉得这文章讲的很好啊。把虚数和旋转这个概念联系起来，给初中小朋友都能讲明白了。你又引入矢量又引入电子工程学量子力学什么的。是，很高端很牛，问题是你要先讲矢量的概念，再讲电子工程学的概念和量子力学的概念，然后再讲应用。这不是把概念解释简单的方法啊。我想的是针对高中以上文化的。。。如果不提应用，知道这个概念又有什么用呢？
的话：我觉得这文章讲的很好啊。把虚数和旋转这个概念联系起来，给初中小朋友都能讲明白了。你又引入矢量又引入电子工程学量子力学什么的。是，很高端很牛，问题是你要先讲矢量的概念，再讲电子工程学的概念和量子力学的概念，然后再讲应用。这不是把概念解释简单的方法啊。而且初中物理在解释力的合成时已经引入了矢量，而文中所说的虚数的性质，本质上也是矢量。根本就没有讲到点子上。
太棒了，老师怎么没有讲到过这个！！
今天看到知乎有人问虚数幂是否有意义，有的话其轻易是什么呢？例如：(2+i)^(1+i) 是否有意义呢？
的话：太棒了，老师怎么没有讲到过这个！！怎么可能,高中数学没有画过复平面吗?
虚数的意义是描述旋转的实数？？？？？
就说这么眼熟呢
我觉得讲的还是挺到位的。没有用矢量这个概念，是因为1和-1的概念，以及“旋转”的动作，本身就是矢量的。
为什么旋转是乘而不是加呢？？
我觉得没有中学里面讲的好。旋转的那部分不是很清晰。
的话：+1 这篇文章根本没讲到点子上+1 感觉中间跳跃太大，实际上把我看糊涂了。而且既然i是旋转90度，那么为什么1+i就是旋转45度呢，这根本不能从旋转的知觉中推论出来
的话：+1 感觉中间跳跃太大，实际上把我看糊涂了。而且既然i是旋转90度，那么为什么1+i就是旋转45度呢，这根本不能从旋转的知觉中推论出来按照阮的文章，1+i，其实表示横坐标1，纵坐标1i，所以正好是45度。阮用坐标表示，是为了复数的计算更好理解吧
部分类似Dimension中关于虚数的讲解
这就是向量嘛。。。
的话：怎么可能,高中数学没有画过复平面吗?这东西又不考，给你画个屁？
虽然是借鉴向量的概念来讲序数，但是我觉得能做到这样已经很不错了。
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)。。。。。。很好奇，为毛转两个90度是相乘而不是相加
我还是喜欢用矩阵。
的话：这东西又不考，给你画个屁？你们老师还真是不负责任
磨叽了半天不就是复数的指数形式表达么...
高三文科狗表示 考试范围内的虚数只有实虚部 共扼复数 之类的 永远都是选择题1，2题的战斗力。。。。不过这个文章，即使以文科生的眼光来看，都有些不知所云了。。。虚数的实质也没说清楚矢量的概念还是有必要补充的啊卤煮
的话：按照阮的文章，1+i，其实表示横坐标1，纵坐标1i，所以正好是45度。阮用坐标表示，是为了复数的计算更好理解吧1+旋转90度就等于旋转45度？为什么一个旋转加上一个数就等于另一个旋转呢？
的话：1+旋转90度就等于旋转45度？为什么一个旋转加上一个数就等于另一个旋转呢？哎呀，好久不见。最近怎么样啊
智能科学专业
这个真的能叫有意义么。。。。还是些灌输的概念啊。。。如果讲一讲相位、微分方程，貌似会比较好吧。。。（目测）果壳随机门（v1.0）：
的话：觉得讲的不太对劲。。。乘法性质里的旋转应该是先定义了复数乘法才出来的，而复数乘法的定义就来自于i的性质。事实上，把（复）当作二维中的向量进行旋转也得先定义复平面。所以看到加粗字体里的“虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。”一下子就蛋疼了。。。找出个比较直观的性质，就说这是XX的本质云云，真的没问题吗？况且就算在直观上这篇文章也不怎么样：体现乘法性质最直观的是指数表达式，这篇文章只字未提，反而是用三角公式推了半天。实际上，复数的指数形式也是通过三角函数的形式推出来的
实例不就是向量么？
的话：实际上，复数的指数形式也是通过三角函数的形式推出来的但是指数形式本身的运用根本用不到三角函数的运算，在指数形式下两个复数相乘表现为角度相加模相乘简直就是一目了然，这篇文章从直观性角度出发，结果最核心的问题又讲的极不直观。。。sigh
的话：但是指数形式本身的运用根本用不到三角函数的运算，在指数形式下两个复数相乘表现为角度相加模相乘简直就是一目了然，这篇文章从直观性角度出发，结果最核心的问题又讲的极不直观。。。sigh指数形式的话要用到微积分才能解释清楚，不然你怎么解释底数是e。三角函数直接算就行了。
的话：指数形式的话要用到微积分才能解释清楚，不然你怎么解释底数是e。三角函数直接算就行了。所以说从直观的角度讲。。。用三角函数算也没什么，但是一点不提指数函数就说不过去。文章一开头就说i是旋转量，旋转角度是相乘之类的，也没给一点解释，举出个直观性质就说这是虚数的意义云云（其实连直观这一点也没完全做到），槽点主要在这里。
我觉得我就不该进这个贴，数学早忘光了=.=曾经的文科狗表示当年好像完全没学虚数…那个年头可能还没划入考试范围～不懂的地方主要是2点：1，为什么2个90度是相乘？2，为什么（1，i）是45度？3i是什么……i表示旋转量那3i是270度？而如果i是纵坐标，它在纵坐标的高度是多少？（1，i）表示45度我会觉得i=1啊……嘛，楼上有人说初中也能懂，相当于零基础呗，但我表示完全不懂～向量那部分懂了一点
的话：哎呀，好久不见。最近怎么样啊呵呵，还好，毕业了！
但是，这个当年我记得数学课上是讲过的呀，而且当时就马上把它跟矢量联系上了。我也忘了是老师讲解还是自己意淫出来的（当时我代数不咋滴，但物理和几何还是不错的）。
作为一个已经忘了高中数学内容的工科人表示，这样的讲解比当年课本上的生动。
话说乘i表示旋转90°这种东西，已经被用烂了吧，一点新意都没有
的话：今天看到知乎有人问虚数幂是否有意义，有的话其轻易是什么呢？例如：(2+i)^(1+i) 是否有意义呢？请看复变函数去
这是高中数序么
45度应该是(1+i)除以根号2，原文的回复里有纠正。
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