已知：如图，在三角形abc ab ac中，角A=36°，AB=AC，BD是∠B的平分线 求证： 若AC=a 求AD

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-11-24 21:55 标签：
已知：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线。（1）求证：AD 2 =CD·AC；（2）若AC=a，求AD。
（1）证明：如图，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵BD是角平分线， ∴∠CBD=∠A=36°，又∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴
&，即BD?BC=CD?AB．易证BD=BC=AD，又∵AB=AC， ∴AD 2 =CD?AC．（2）若AC=a， AD2=CD*AC AD2=（AC-AD）*AC=AC2-AD*AC=a2-aAD AD2+aAD-a2=0 AD1=[-a+√（a2+4a2）]/2=（-a+a
）/2； AD2=[-a-√（a2+4a2）]/2=（-a-a
）/2，（负值，舍去）。
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然然﹋jhgo
⑴、∵AB=AC,∴∠B=∠C=﹙180°－36°﹚／2=72°∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A,∴AD=BD由△内角和定理得：∠BDC=72°∴BD=BC.∴AD=BC.∴△ABC∽△BCD∴AB／BC=BC／CD∴BC²=AB×CD即：AD²=CD×AC⑵、设AD=x,由上面的结论得：x²=a×﹙a－x﹚∴x²＋ax－a²=0∴x=[－a±√﹙a²＋4a²﹚]／2∵x＞0∴x=½﹙√5－1﹚a即AD=½﹙√5－1﹚a
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如图， △ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC。（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长。
题型：解答题难度：中档来源：湖南省中考真题
解：（1）∵DE垂直平分AC ，∴CE=AE。∴ ∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°， ∵∠ECD =36°，∴∠BCD=∠ACB-∠ECD=72°-36°=36°， ∴∠BEC=72°=∠B，∴BC=EC=5。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，..”主要考查你对&&三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线等腰三角形的性质，等腰三角形的判定
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长：
ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；
mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2& ；
mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2& 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）
3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。&& 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。&& 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。&& 垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。垂直平分线的尺规作法：方法一：1、取线段的中点。2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。3、连接这两个交点。原理：等腰三角形的高垂直等分底边。方法二：1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点。原理：圆的半径处处相等。2、连接这两个交点。原理：两点成一线。 垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
发现相似题
与“如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，..”考查相似的试题有：
17876121529123111319058288377295750初三一道相似的证明题已知：如图。△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角B的平分线求 1 AD的平方=CD×AC2 若AC=a，求AD初三下西城练习册 P42页 17题。
叛逆的恋0922
（1）∵∠A=36°AB=AC∴∠ABC=72°∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=36°∴AD=BD∠CBD=∠A=36°∵∠C=∠C∴△BCD∽△ABC∴BC比AC=CD比BC∴BC²=CD*AC∵∠ABD=∠A=36°∴∠BDC=∠C=72°∴BC=BD∵AD=BC∴AB=BC即AD²=CD*AC(2)设AD=x则CD=a-x∴x²=（a-x）*a
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在△ABC中,∠A=36°,∠B=∠C=（180°-∠A）÷2=72°.∵BD是∠B的平分线,∴∠DBA=∠DBC=72°÷2=36°=∠A.∴在△ABD中 BD=AD..∵在△DBC中,∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°=∠C,∴在△BDC中BD=BC.于是BD=BC=AD.另外,∵△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形,∴△ABC∽△BDC,AC/BC=BC/DC,或BC²=AC·DC,也就是AD²=AC·DC.设AC=m,AD=x,则DC=m-x,上式化为x²=m(m-x),即x²+mx-m²=0,解得x=（1/2)（√5-1）m.（舍去负值）∴x/m=(1/2)(√5-1).就是AD/AC=(1/2)(√5-1）.
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