证明：当b>a>0,时，（b-a)/a>ln(b/a)>(b-a)/b

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-11-26 09:48 标签： 龙珠gt65勇气的证明
设0＜a＜b,证明（lnb-lna）/(b-a)＜1/√ab？
如果用函数单调性，函数该怎么构造
解：∵0＜a＜b,∴b-a＞0不等式两边同时乘以（b-a），不等式不变号得lnb-lna＜(b-a)/√ab而lnb-lna=ln(b/a)(b-a)/√ab=.√（b/a）-√(a/b)由于0＜a＜b,所以b/a＞1令b/a=x，x＞1则原不等式等价于lnx＜.√x-.√（1/x）其中x＞1以下证明利用函数单调性证明即可，故略、证明不等式（a+b）ln(a+b/2)&alna+blnb,a,b&0.a不等于b_百度知道
证明不等式（a+b）ln(a+b/2)&alna+blnb,a,b&0.a不等于b
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则f'(t)=1/(a+b)ln[(a+b)/0;2]∴alna+blnb&0);2f[(a+b)/2]ln[(a+b)&#47.故f(t)为下凸函数;2]∴原不等式得证;alna+blnb&gt，f&2]&#8660，a≠b时f(a)+f(b)&t&gt、b&0;0，依Jensen不等式得a&(t)=lnt+1构造函数f(t)=tlnt (t&2·[(a+b)&#47
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太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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出门在外也不愁请教高数证明题设f(x)为【a,b】上的连续函数证明：[1/(b-a)]*∫[a→b]ln[f(x)]dx≤ln{[1/(b-a)]*∫[a→b]f(x)dx}设f(x)为【a，b】上的连续正函数。_百度作业帮
请教高数证明题设f(x)为【a,b】上的连续函数证明：[1/(b-a)]*∫[a→b]ln[f(x)]dx≤ln{[1/(b-a)]*∫[a→b]f(x)dx}设f(x)为【a，b】上的连续正函数。
请教高数证明题设f(x)为【a,b】上的连续函数证明：[1/(b-a)]*∫[a→b]ln[f(x)]dx≤ln{[1/(b-a)]*∫[a→b]f(x)dx}设f(x)为【a，b】上的连续正函数。
证明如下：当前位置：
＞＞＞已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）..
已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（a+b2）＜（b-a）ln2．
题型：解答题难度：中档来源：黑龙江
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．f′(x)=11+x-1．令f′（x）=0，解得x=0．当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．（Ⅱ）证明：g(a)+g(b)-2g(a+b2)=alna+blnb-(a+b)lna+b2=aln2aa+b+bln2ba+b．由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），由题设0＜a＜b，得b-a2a＞0，-1＜a-b2b＜0，因此ln2ba+b=-ln(1+b-a2a)＞-b-a2a，ln2ba+b=-ln(1+a-b2b)＞-a-b2b，所以aln2aa+b+bln2ba+b＞-b-a2-a-b2=0．又2aa+b＜a+b2b，aln2aa+b+bln2ba+b＜alna+b2b+bln2ba+b．=（b-a）ln2ba+b＜（b-a）ln2综上0＜g(a)+g(b)-2g(a+b2)＜(b-a)ln2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的最值与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）..”考查相似的试题有：
262541274410299525591603486443296243设a&b&0,证明(a-b)/a&ln(a/b)&(a-b)/b(用拉格朗日中值定理）_百度知道
设a&b&0,证明(a-b)/a&ln(a/b)&(a-b)/b(用拉格朗日中值定理）
我有更好的答案
a 所以(a-b)/b)=1/lnx&成立
第二个&成立
微分中值定理 令f(x)=lnx f'0 第一个&0 第二个&c*(a-b) 那么ln(a/x-1 x&a f(a)-f(b)=f'号 令f(x)=x-1-lnx 求导1-1/c*(a-b) 其中b&c&x(1-1/x^2=1/(x)=1/x 由拉格朗日中值定理 存在b&c&1 第一个&x&b=x 就变成1-1/x-1/(a-b)/0 所以f(x)递增 最小值是f(1)=0 所以f(x)&a&x-1 求导1/x&号 令f(x)=lnx+1/b)&0 递增 f(1)=0 所以f(x)&ln(a/(c)(a-b) lna-lnb=1/x)&gt设a&#47
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