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设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a＜0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）函数f(x)的单调区间。
题型：解答题难度：中档来源：重庆市高考真题
解：(Ⅰ)因，所以， 即当时，f′（x）取得最小值， 因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，所以，解得a=±3，由题设a＜0，所以a=-3。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知a=-3，因此，，，令f′（x）=0，解得，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数；当x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，-1）上为减函数；当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数，由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调递减区间为（-1，3）。
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a＜0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，导数的概念及其几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系导数的概念及其几何意义
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．
发现相似题
与“设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a＜0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直..”考查相似的试题有：
274379816352786683792088760357814272如何求某个曲线函数的平均值呢?如上图所示，图中的蓝线是y与x函数绘制而成的（我们并不知道Y=F(X)函数形式），想在想知道当X在0-1.0之间，Y的平均值。我查到了一种方式是利用积分，然后除以X的范围，可是并不知道函数形式，当然积分也无从谈起了。又没有什么办法来求得Y的平均值呢？在线等！！！谢谢！！！
图上不是有吗，平均值为1.073 若想得到函数表达式，可以采用曲线拟合的方法.
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扫描下载二维码已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求实数a的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入点斜式进行化简，化为一般式方程；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f′（x），再将题意转化为x1，x2是方程g（x）=0的两个实根，再求出g′（x），对a进行分类分别求出g（x）的单调区间以及最大值，再令最大值大于零，列出关于a的不等式求解；（Ⅲ）由题意先构造函数h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，转化为h（x）≥0在[0，+∞）恒成立问题，再求出h（x）的单调性和最小值，关键是对a进行分类后，得到“当a=0时，ex≥1+x”这一结论在后面的应用．解答：心理年龄解：（Ⅰ）由题意得，当a=1时，f（x）=x2﹣ex，∴f′（x）=2x﹣ex，则切线的斜率为f′（0）=﹣1，∵f（0）=﹣e0=﹣1，∴所求的切线方程为：x+y+1=0；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax﹣ex，由题意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）的两个实根，则g′（x）=2a﹣ex，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根，当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递增，当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递减，∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a，∵方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）有两个实根，∴2aln2a﹣2a＞0，解得2a＞e即，（Ⅲ）设h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，则由题意得h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，则h′（x）=ex﹣2ax﹣1，当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立，∴h′（x）=ex﹣2ax﹣1≥1+x﹣2ax﹣1=x（1﹣2a），当1﹣2a≥0时，即a≤，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=e0﹣0﹣1=0，即h（x）≥0，因而a≤时，h（x）≥0，下面证明a＞时的情况：由ex≥1+x得，e﹣x≥1﹣x，即x≥1﹣e﹣x，∴h′（x）=ex﹣1﹣2ax≤ex﹣1﹣2a（1﹣e﹣x）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a）当ex＜2a时，即0＜x＜ln2a，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，从而h（x）＜0，因此，对于x≥0，f（x）≤﹣x﹣1不恒成立，综上所得，a的最大值为．点评：本题考查了导数的几何意义，方程的根与函数零点的关系，导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用，考查了转化思想、分类讨论思想以及分析、解决问题的能力．天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题解析版答案
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意求出′（），再求出′（）和（）的值，代入点斜式进行化简，化为一般式方程；（Ⅱ）先构造函数（）′（），再将题意转化为，是方程（）的两个实根，再求出′（），对进行分类分别求出（）的单调区间以及最大值，再令最大值大于零，列出关于的不等式求解；（Ⅲ）由题意先构造函数（）﹣﹣﹣，转化为（）≥在，∞）恒成立问题，再求出（）的单调性和最小值，关键是对进行分类后，得到“当时，≥”这一结论在后面的应用．解答：心理年龄解：（Ⅰ）由题意得，当时，（）﹣，∴′（）﹣，则切线的斜率为′（）﹣，∵（）﹣﹣，∴所求的切线方程为：；（Ⅱ）设（）′（）﹣，由题意得，，是方程（）（即﹣）的两个实根，则′（）﹣，当≤时，′（）＜，（）在定义域上递减，即方程（）不可能有两个实根，当＞时，由′（），得，当∈（﹣∞，）时，′（）＞，则（）在（﹣∞，）上递增，当∈（，∞）时，′（）＜，则（）在（﹣∞，）上递减，∴（）（）﹣，∵方程（）（即﹣）有两个实根，∴﹣＞，解得＞即，（Ⅲ）设（）﹣﹣﹣，则由题意得（）﹣﹣﹣≥在，∞）恒成立，则′（）﹣﹣，当时，′（）≥，（）在，∞）上单调递增，∴（）≥（），即≥，当且仅当时，等号成立，∴′（）﹣﹣≥﹣﹣（﹣），当﹣≥时，即≤，此时′（）≥，（）在，∞）上单调递增，∴（）≥（）﹣﹣，即（）≥，因而≤时，（）≥，下面证明＞时的情况：由≥得，﹣≥﹣，即≥﹣﹣，∴′（）﹣﹣≤﹣﹣（﹣﹣）﹣（﹣）（﹣）当＜时，即＜＜，则当∈（，）时，′（）＜，从而（）＜，因此，对于≥，（）≤﹣﹣不恒成立，综上所得，的最大值为．点评：本题考查了导数的几何意义，方程的根与函数零点的关系，导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用，考查了转化思想、分类讨论思想以及分析、解决问题的能力．相关试题已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．-数学试题及答案
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1、试题题目：已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．（1）设曲线y=f（x）在点..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．
&&试题来源：和平区三模
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：高中
&&考察重点：函数的单调性与导数的关系
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）依题意有x＜2，f′(x)=a+1x-2（1分）过点（1，f（1））的直线斜率为a-1，所以过（1，a）点的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）（2分）又已知圆的圆心为（-1，0），半径为1∴|1-a+1|(a-1)2+1=1，解得a=1（3分）（2）f′(x)=ax-2a+1x-2=a[x-(2-1a)]?1x-2当a＞0时，2-1a＜2（5分）令f′（x）＞0，解得x＜2-1a，令f′（x）＜0，解得2-1a＜x＜2所以f（x）的增区间为(-∞，2-1a)，减区间是(2-1a，2)（7分）（3）当2-1a≤0，即0＜a≤12时，f（x）在[0，1]上是减函数所以f（x）的最小值为f（1）=a（9分）当0＜2-1a＜1即12＜a＜1时f（x）在(0，2-1a)上是增函数，在(2-1a，1)是减函数所以需要比较f（0）=ln2和f（1）=a两个值的大小（11分）因为e12＜312＜2＜e，所以12＜ln3＜ln2＜lne=1∴当12＜a＜ln2时最小值为a，当ln2≤a＜1时，最小值为ln2（12分）当2-1a≥1，即a≥1时，f（x）在[0，1]上是增函数所以最小值为ln2．综上，当0＜a＜ln2时，f（x）为最小值为a当a≥ln2时，f（x）的最小值为ln2（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．（1）设曲线y=f（x）在点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。
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