等比数列an中 a1{an}，a1=2， n（an+1）=（n+1）an +2 求an

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-11-27 09:41 标签： 等比数列an中 a1
数列{an}中,a1=2,a（n+1）=an+n.求数列a20=？_百度知道
数列{an}中,a1=2,a（n+1）=an+n.求数列a20=？
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因为An+1=An + n,
所以An+1 - An = n,
An - An-1 = n - 1
An-1 - An-2 = n - 2
......（2）
A2 - A1 = 1
......(n-1)
将（1）、（2）......（n-1）式相加得：
An - A1 = n(n-1)/2,
又A1 = 2 ,
所以An = n(n-1)/2 + A1 = n(n-1)/2 + 2 = [n(n-1)+4]/2
所以将n=20 代入（#）式,
得A20 = 192.
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出门在外也不愁在数列{an}中，a1=2，an=2an-1+2^n+1 求an和Sn_百度知道
在数列{an}中，a1=2，an=2an-1+2^n+1 求an和Sn
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解：n≥2时，an=2a(n-1) +2^(n+1)an -2a(n-1)=2^(n+1)等式两边同除以2^(n+1)an/2^(n+1) -a(n-1)/2ⁿ =1，为定值。a1/2²=2/4=1/2数列{an/2^(n+1)}是以1/2为首项，1为公差的等差数列。an/2^(n+1) =1/2 +1×(n-1)=(2n -1)/2an=2^(n+1)×[(2n-1)/2]=(2n-1)×2ⁿn=1时，a1=(2-1)×2=2，同样满足。数列{an}的通项公式为an=(2n-1)×2ⁿ an=(2n-1)×2ⁿ=n×2^(n+1) -2ⁿSn=a1+a2+...+an=[1×2²+2×2³+...+n×2^(n+1)]-(2+2²+2³+...+2ⁿ)令Cn=1×2²+2×2³+...+n×2^(n+1)则2Cn=1×2³+2×2⁴+...+(n-1)×2^(n+1)+n×2^(n+2)Cn-2Cn=-Cn=2²+2³+...+2^(n+1) -n×2^(n+2)=4×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+2)=(1-n)×2^(n+2)
-4Cn=(n-1)×2^(n+2) +4Sn=Cn -(2+2²+...+2ⁿ)=(n-1)×2^(n+2) +4 -2×(2ⁿ-1)/(2-1)=(2n-1)×2^(n+1)
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你真棒，学习了
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解答：an=2an-1+2^n+1两边同时除以2^(n)得到 an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+2∴
an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=2∴ {an/2^n}是等差数列，首项为a1/2=1,公差为2∴ an/2^n=1+2(n-1)=2n-1∴
an=(2n-1)*2^n利用错位想减求SnSn
=1*2+3*2^2+5*2^3+........+(2n-3)*2^(n-1)+(2n-1)*2^n
----------------------(1)
同乘以22Sn
1*2^2+3*2^3+..............................+(2n-3)*2^n+(2n-1)*2^(n+1)
------ (2)(1)-(2)-Sn =2+2[2^2+2^3+.......................................+2^n]-(2n-1)*2^(n+1)-Sn=2+2*[4-2^(n+1)]/(1-2)-(2n-1)*2^(n+1)-Sn=2+2*2^(n+1)-8-(2n-1)*2^(n+1)
Sn=6+(2n-3)*2^(n+1)
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an/2^(n+1)=a(n-1)/2^n+1故：an/2^(n+1)是公差为1，首项=1/2的等差数列an/2^(n+1)=1/2+(n-1)an=2^(n+1)[1/2+(n-1)] an=2a(n-1)+2^(n+1),从2加到n得：Sn-S1=2Sn-2an+4(1-2^n)/(1-2)Sn=2an+4(1-2^n)-2
两边除以2^(n+1)an/2^(n+1)=a(n-1)/2^n+1所以an/2^(n+1)是等差数列，d=1所以an/2^(n+1)=a1/2^(1+1)+1*(n-1)=n-1/2所以an=(n-1/2)*2^(n+1)即an=(2n-1)*2^n Sn=1*2^1+3*2^2+5*2^3+……+(2n-1)*2^n2Sn=1*2^2+3*2^3+5*2^4+……+(2n-3)*2^n+(2n-1)*2^(n+1)Sn-2Sn=1*2^1+(3-1)*2^2+(5-3)*2^3+……+[(2n-1)-(2n-3)]*2^n-(2n-1)*2^(n+1)=2+2*(2^2+2^3+……+2^n)-(2n-1)*2^(n+1)=2+2*4*[1-2^(n-1)]/(1-2)-(2n-1)*2^(n+1)=2+8*2^(n-1)-8-(2n-1)*2^(n+1)=-(2n-3)*2^(n+1)-6所以Sn=(2n-3)*2^(n+1)+6
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＞＞＞已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3…..
已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3…），求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式（Ⅲ）设cn=2nanoan+1，求证：数列{cn}的前n项和Sn＜13．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）证明：∵an+1=2an-1（n≥1）∴两边同时减去1，得an+1-1=2（an-1）又a1-1=2，bn=an-1∴{bn}是以a1-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=2n，∴an=2n+1（n∈N*）（Ⅲ）证明：cn=2nanoan+1=12n+1-12n-1+1∴Sn=（121+1-122+1）+（122+1-123+1）+…+（12n+1-12n-1+1）=13-12n-1+1＜13即Sn＜13
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3…..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等比数列的定义及性质
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
与“已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3…..”考查相似的试题有：
473794454793874661858965869837519767您还未登陆，请登录后操作！
已知数列｛an｝的前n项为Sn，且满足an+2Sn*Sn-1=0（n》=2）a1=0.5，求an
由题中的等式可得1/Sn-1/S(n-1)=2.数列{1/Sn}是首项为2，公差为2的等差数列，1/Sn=2n,故an=1/2n-1/2(n-1)=-1/2n(n-1)。
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