设随机变量X1,X2相互独立，且X1,X2的概率密度分别为f1(x)=2e^-2x,x&0 0其他_百度知道
设随机变量X1,X2相互独立，且X1,X2的概率密度分别为f1(x)=2e^-2x,x&0 0其他
设随机变量X1,X2相互独立，且X1,X2的概率密度分别为f1(x)=2e^-2x,x&0 0其他f2(x)=3e^-3x,x&0 0 其他 求E(2X1-3X2^2)
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指数分布：λe^(-λx)所以：f1(x1) ：λ = 2，E(X1) = 1/λ = 1/2f2(x) ：λ = 4 ，E(X2) = 1/λ = 1/4 ，D(x2) = 1/λ^2 = 1/16E(X2^2) = D(X2) + [E(X2)]^2 = 1/16-1/16 = 1/81）E(X1+X2) = E(X1)+E(X2) = 3/42）E(2X1 - 3X2^2) = 2*E(X1)-3*E(X2^2) = 2*1/2-3*1/8 = 5/83）E(X1X2) = E(X1)*E(X2) = 1/2 * 1/4 = 1/ 8
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由题意，知 X_1~E(2), X_2~E(3)，所以E(2X_1-3X_2^2)=2EX_1-3E(X_2^2)=2*1/2-3*(1/9+1/9)=1/3. 注：指数分布E(a), a&0的期望为1/a, 方差1/(a^2)
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数学实验第六次作业实验报告
　　实验目的：　　　　 1.掌握MATLAB优化工具箱的基本用法，对不同算法进行初步分析、比较。　　 2.练习用无约束优化方法建立和求解实际问题的模型（包括非线性最小二乘法拟合）。　　实验内容：　　2. 取不同的处置计算下列非线性规划，尽可能求出所有局部极小点，进而找出全局极小点，并对不同算法（搜索方向、搜索不长、数值梯度与分析梯度等）的结果进行分析、比较。　　2). min⁡〖z=e^(-x_1-x_2 ) 〗 (2x_1^2+3x_2^2 ).　　解答：　　 解析法： 　　dz/(dx_1 )=e^(-x_1-x_2 ) (-2x_1^2-3x_2^2+4x_1 )=0　　dz/(dx_2 )=e^(-x_1-x_2 ) (-2x_1^2-3x_2^2+6x_2 )=0　　　　-2x_1^2-3x_2^2+4x_1=0　　-2x_1^2-3x_2^2+6x_2=0　　
x_1=1.5x_2　　　　⇒ x_1=0
x_1=1.2　　
x_2=0.8　　所以二元函数z(x1,x2)有两个极点，分别为
(x_1=0, x_2=0)
(x_1=1.2, x_2=0.8)　　其中z(0,0)=0 , z(1.2,0.8)=4.8/e2=0.6496，所以全局极小点为(x_1=0, x_2=0)，此时z=0.　　 用MATLAB求解。　　先画出x从0到10，y从0到10时，z(x,y)的图像，程序如下：　　for j=1:100　　
x(j)=0.1*j;　　
for k=1:100　　
y(k)=0.1*k;　　
A(j,k)=exp(-x(j)-y(k))*(2*x(j)^2+3*y(k)^2);　　
end　　end　　[x1,y1]=meshgrid(0.1:0.1:7,0.1:0.1:7);　　mesh(x,y,A)　　xlabel('x')　　ylabel('y')　　zlabel('z')　　title('x从0到10，y从0到10时，z(x,y)的图像')　　　　画出图像如左下，右下方为旋转后的图像 　　（ 见相册中
功课\01.jpg）　　　　再画出x从-3到10，y从-3到10时，z(x,y)的图像，程序如下：　　for j=1:130　　
x(j)=0.1*j-3;　　
for k=1:130　　
y(k)=0.1*k-3;　　
A(j,k)=exp(-x(j)-y(k))*(2*x(j)^2+3*y(k)^2);　　
end　　end　　[x1,y1]=meshgrid(-2.9:0.1:7,-2.9:0.1:7);　　mesh(x,y,A)　　xlabel('x')　　ylabel('y')　　zlabel('z')　　title('x从-3到10，y从-3到10时，z(x,y)的图像')　　　　画出图像如左下，右下方为旋转后的图像 　　（见相册中
功课\02.jpg）　　由以上四幅图像可知:z(x,y)在第二、三、四象限无极点，(0,0)是它的一个极点，而其它位置可能有极点，当x或y较大时，z趋向于零，当x或y足够大是，梯度向量近似为(0,0)。　　　　分别取初值为（1，1），（1.2,0.8），(3,3)，用MATLB求z(x,y) 的极点，程序如下：　　x01=[1,1];
%初值　　x02=[1.2,0.8];
%初值　　x03=[3,3];
%初值　　[x1,v1,exit1,out1]= fminunc(@ex02,x01);　　[x2,v2,exit2,out2]= fminunc(@ex02,x02);　　[x3,v3,exit3,out3]= fminunc(@ex02,x03);　　x0=[x01;x02;x03];
%初值　　solutions=[x1;x2;x3];
%极小点　　funvalues=[v1;v2;v3];
%极小点的函数值　　iterations=[out1.funcCout2.funcCout3.funcCount];
%目标函数调用次数　　[x0,solutions,funvalues,iterations]　　　　输出结果如下： 　　ans =　　　　
69.0000　　
3.0000　　
54.0000　　　　把上述结果列表如下：　　初值x1 初值x2 最优解x1 最优解x2 最优解函数值 目标函数调用次数　　
54　　•　　•在上表中，初值为(1,1)的情况下，最优解为(0,0),与解析解相符，是正确的。初值为(1.2,0.8)的情况下，最优解为(1.2,0.8),与解析解相符，是正确的。初值为(3,3)的情况下，最优解为（10.4），此时梯度极小，小于MATLAB判断依据，导致发生错误，所以这个最优解是错误的。　　•综上所述，全局最小点为（0,0）。以下对不同算法的结果进行比较。用4种搜索方向（BFGS,DFP,GillMurray和最速下降法），两种步长搜索（混合二、三次插值和三次插值）及两种梯度（数值梯度和分析梯度）计算，取初值为(1,1)，程序如下：　　　　function [f,g]=ex02(x)　　
%建立含梯度的ex02.m文件　　f=exp(-x(1)-x(2))*(2*x(1)^2+3*x(2)^2);　　
%计算函数值　　if nargout>1　　
%当函数用两个输出参数调用时　　
g(1)=exp(-x(1)-x(2))*(-2*x(1)^2-3*x(2)^2+4*x(1));　　
g(2)=exp(-x(1)-x(2))*(-2*x(1)^2-3*x(2)^2+6*x(2));　　
%计算梯度值　　end　　　　% 比较不同算法,4种搜索方向（BFGS,DFP,GillMurray和最速下降法），两种步长　　%搜索（混合二、三次插值和三次插值）及两种梯度（数值梯度和分析梯度）　　x0=[1,1];　　%情形1：搜索方向为BFGS，步长搜索为混合二、三次插值，梯度为数值梯度　　opt1=optimset('LargeScale','off','MaxFunEvals',1000');　　[x1,v1,exit1,out1]=fminunc('ex02',x0,opt1);　　%情形2：搜索方向为BFGS，步长搜索为混合二、三次插值，梯度为分析梯度　　opt2=optimset(opt1,'GradObj','on');　　[x2,v2,exit2,out2]=fminunc('ex02',x0,opt2);　　%情形3：搜索方向为DFP，步长搜索为混合二、三次插值，梯度为数值梯度　　opt3=optimset(opt1,'HessUpdate','dfp');　　[x3,v3,exit3,out3]=fminunc('ex02',x0,opt3);　　%情形4：搜索方向为DFP，步长搜索为混合二、三次插值，梯度为分析梯度　　opt4=optimset(opt2,'GradObj','on');　　[x4,v4,exit4,out4]=fminunc('ex02',x0,opt4);　　%情形5：搜索方向为GillMurray，步长搜索为混合二、三次插值，梯度为数值梯度　　opt5=optimset(opt1,'HessUpdate','gillmurray');　　[x5,v5,exit5,out5]=fminunc('ex02',x0,opt5);　　%情形6：搜索方向为GillMurray，步长搜索为混合二、三次插值，梯度为分析梯度　　opt6=optimset(opt5,'GradObj','on');　　[x6,v6,exit6,out6]=fminunc('ex02',x0,opt6);　　%情形7：搜索方向为SteepDesc，步长搜索为混合二、三次插值，梯度为数值梯度　　opt7=optimset(opt1,'HessUpdate','steepdesc');　　[x7,v7,exit7,out7]=fminunc('ex02',x0,opt7);　　%情形8：搜索方向为SteepDesc，步长搜索为混合二、三次插值，梯度为分析梯度　　opt8=optimset(opt7,'GradObj','on');　　[x8,v8,exit8,out8]=fminunc('ex02',x0,opt8);　　%情形9：搜索方向为BFGS，步长搜索为三次插值，梯度为数值梯度　　opt9=optimset(opt1,'LineSearchType','cubicpoly');　　[x9,v9,exit9,out9]=fminunc('ex02',x0,opt9);　　%情形10：搜索方向为BFGS，步长搜索为三次插值，梯度为分析梯度　　opt10=optimset(opt9,'GradObj','on');　　[x10,v10,exit10,out10]=fminunc('ex02',x0,opt10);　　%情形11：搜索方向为DFP，步长搜索为三次插值，梯度为数值梯度　　opt11=optimset(opt9,'HessUpdate','dfp');　　[x11,v11,exit11,out11]=fminunc('ex02',x0,opt11);　　%情形12：搜索方向为DFP，步长搜索为三次插值，梯度为分析梯度　　opt12=optimset(opt11,'GradObj','on');　　[x12,v12,exit12,out12]=fminunc('ex02',x0,opt12);　　%情形13：搜索方向为GillMurray，步长搜索为三次插值，梯度为数值梯度　　opt13=optimset(opt9,'HessUpdate','gillmurray');　　[x13,v13,exit13,out13]=fminunc('ex02',x0,opt13);　　%情形14：搜索方向为GillMurray，步长搜索为三次插值，梯度为分析梯度　　opt14=optimset(opt13,'GradObj','on');　　[x14,v14,exit14,out14]=fminunc('ex02',x0,opt14);　　%情形15：搜索方向为SteepDesc，步长搜索为三次插值，梯度为数值梯度　　opt15=optimset(opt9,'HessUpdate','steepdesc');　　[x15,v15,exit15,out15]=fminunc('ex02',x0,opt15);　　%情形16：搜索方向为SteepDesc，步长搜索为三次插值，梯度为分析梯度　　opt16=optimset(opt15,'GradObj','on');　　[x16,v16,exit16,out16]=fminunc('ex02',x0,opt16);　　%最优解　　solutions=[x1;x2;x3;x4;x5;x6;x7;x8;x9;x10;x11;x12;x13;x14;x15;x16];　　%最优值　　funvalues=[v1;v2;v3;v4;v5;v6;v7;v8;v9;v10;v11;v12;v13;v14;v15;v16];　　%目标函数调用次数　　iterations=[out1.funcCout2.funcCout3.funcCout4.funcCout5.funcCout6.funcCout7.funcCout8.funcCout9.funcCout10.funcCout11.funcCout12.funcCout13.funcCout14.funcCout15.funcCout16.funcCount];　　[solutions,funvalues,iterations]　　　　计算结果如下：　　ans =　　　　
69.0000　　
23.0000　　
90.0000　　
23.0000　　
69.0000　　
23.0000　　
87.0000　　
27.0000　　
69.0000　　
23.0000　　
90.0000　　
30.0000　　
69.0000　　
23.0000　　
87.0000　　
27.0000　　整理成表格如下：（懒猫在此数次排版，奈何天涯显示实在不整，懒猫最后把此表格以图片形式发到了 相册:
功课\数学实验第六次作业2（2）表格.jpg）情况 搜索方向 步长搜索
最优解x1 最优解x2 最优值 目标函数调用次数　　1 bfgs
混合二、三次插值 数值梯度 0.0 0.0000 69　　2
分析梯度 0.0 0.0000 23　　3 dfp
数值梯度 0.0 0.0000 90　　4
分析梯度 0.0 0.0000 23　　5 gillmurray
数值梯度 0.0 0.0000 69　　6
分析梯度 0.0 0.0000 23　　7 steepdesc
数值梯度 0.0 0.0000 87　　8
分析梯度 0.0 0.0000 27　　9 bfgs
数值梯度 0.0 0.0000 69　　10
分析梯度 0.0 0.0000 23　　11 dfp
数值梯度 0.0 0.0000 90　　12
分析梯度 0.0 0.0000 30　　13 gillmurray
数值梯度 0.0 0.0000 69　　14
分析梯度 0.0 0.0000 23　　15 steepdesc
数值梯度 0.0 0.0000 87　　16
分析梯度 0.0 0.0000 27　　由上表可知：　　 搜索方向： BFGS性能最好，GILLMURRAY次之，STEEPDESC 和DFP效果并不好。　　 步长搜索： 在这里，混合二、三次插值和三次插值性能相近，无明显差别。　　 梯度：
分析梯度性能优于数值梯度。　　　　 4. 某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和居住的人数R如表7.7所示。现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？　　　　居民点 1
1100　　　　模型与解答：设服务中心坐标为（x,y）,所有居民到服务中心的距离之和为z　　z=∑[R(k)*√((x-x_k )^2+〖（y-y_k)〗^2 )]
k=1~12　　本题就是要求zmin，这是一个无约束极小问题。　　用MATLAB求解程序如下：　　function z=ex04(x,x0,y0,R)　　z=0;　　for i=1:12　　
z=z+R(i)*sqrt((x(1)-x0(i))^2+(x(2)-y0(i))^2);　　end　　　　X=[0,
5.55];　　Y=[0,
7.88];　　R=[600, 1000,
1100];　　[x,fv]=fminunc(@ex04,[0,0],[],X,Y,R)　　　　求得的结果为：　　x =　　　　
6.5142　　　　　　fv =　　　　
4.　　所以当服务中心的坐标为(3.2)时，所有居民到服务中心的距离之和最小，为44236。　　所以服务中心应该建在坐标为(3.2)的点处。　　　　8.给药方案设计需要依据药物吸收与排除过程的原理。药物进入机体后随血液输送到全省，不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外。药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称血药浓度。在最简单的一室模型中，将整个机体看作一个房室，称中心室，室内的血药浓度是均匀的。这里我们用一室模型，讨论在口服给药方式下血药浓度的变化规律，及根据实验数据拟合参数的方法。　　口服给药方式相当于先有一个将药物从肠胃系收入血液的过程，这个过程可简化为在药物进入中心室之前有一个吸收室（如图7.5所示），记中心室和吸收室的容积分别为V,V1，而t时刻的血药浓度分别为c(t),c1(t);中心室的排除速率为k，吸收速率为k1(这里k和k1分别是中心室和吸收室血药浓度变化率与浓度本身的比例系数，设t=0时刻口服剂量为d 的药物，容易写出吸收室的血药浓度c1(t)的微分方程为　　(dc_1)/dt=-k_1*c_1　　c_1 (0)=d/V_1 　　中心室血药浓度c(t)的变化率由两部分组成：与c成正比的排除（比例系数k）;与c1成正比的吸收（比例系数k1）.　　再考虑到中心室和吸收室的容积分别为V,V1,得到c(t)的微分方程为　　dc/dt=-k*c+V_1/V*k_1*c_1　　c(0)=0　　由以上两个微分方程不难结出中心室血药浓度　　c(t)=(d/V)*(k_1/(k_1-k))*(e^(-k*t)-e^(-k_1*t) ).　　在制定给药方案时必须知道这种药物的3个参数k1,k,b(=d/V),实际中通常通过实验数据确定。设t=0时刻口服一定剂量的药物，表7.11是实验数据c(t),请由此确定k,k1,b.t 0.083 0.167 0.25 0.50 0.75 1.0 1.5c(t) 10.9 21.1 27.3 36.4 35.5 38.4 34.8t 2.25 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0c(t) 24.2 23.6 15.7 8.2 8.3 2.2 1.8　　　　模型与解答：这是一个非线性拟合问题，可以用lsqcurvefit求解。MATLAB程序如下：　　function f=ex08(x,t)　　f=x(3)*x(1)/(x(1)-x(2))*(exp(-x(2)*t)-exp(-x(1)*t));　　　　　　x0=[2,3,4];　　t=[0.083,
12.0];　　c=[10.9,
1.8];　　[x1,norm1,res]=lsqcurvefit(@ex08,x0,t,c);　　[x2,norm2,res]=lsqcurvefit(@ex08,x1,t,c);　　[x3,norm3,res]=lsqcurvefit(@ex08,x2,t,c);　　[x4,norm4,res]=lsqcurvefit(@ex08,x3,t,c);　　[x5,norm5,res]=lsqcurvefit(@ex08,x4,t,c);　　[x6,norm6,res]=lsqcurvefit(@ex08,x5,t,c);　　[x7,norm7,res]=lsqcurvefit(@ex08,x6,t,c);　　[x8,norm8,res]=lsqcurvefit(@ex08,x7,t,c);　　[x9,norm9,res]=lsqcurvefit(@ex08,x8,t,c);　　[x10,norm10,res]=lsqcurvefit(@ex08,x9,t,c);　　[x11,norm11,res]=lsqcurvefit(@ex08,x10,t,c);　　[x12,norm12,res]=lsqcurvefit(@ex08,x11,t,c);　　[x13,norm13,res]=lsqcurvefit(@ex08,x12,t,c);　　[x14,norm14,res]=lsqcurvefit(@ex08,x13,t,c);　　[x15,norm15,res]=lsqcurvefit(@ex08,x14,t,c);　　[x16,norm16,res]=lsqcurvefit(@ex08,x15,t,c);　　[x17,norm17,res]=lsqcurvefit(@ex08,x16,t,c);　　[x18,norm18,res]=lsqcurvefit(@ex08,x17,t,c);　　[x19,norm19,res]=lsqcurvefit(@ex08,x18,t,c);　　[x20,norm20,res]=lsqcurvefit(@ex08,x19,t,c);　　
%多次迭代，使求解更精确　　A=[x1;x2;x3;x4;x5;x6;x7;x8;x9;x10;x11;x12;x13;x14;x15;x16;x17;x18;x19;x20];　　B=[norm1;norm2;norm3;norm4;norm5;norm6;norm7;norm8;norm9;norm10;norm11;norm12;norm13;norm14;norm15;norm16;norm17;norm18;norm19;norm20];　　[A,B]　　　　求得的结果如下：　　ans =　　　　
73.8909　　
39.6316　　
35.1695　　
34.4100　　
34.2674　　
34.2335　　
34.2334　　
34.2334　　
34.2334　　
34.2333　　
34.2333　　
34.2333　　
34.2332　　
34.2332　　
34.2332　　
34.2332　　
34.2331　　
34.2331　　
34.2331　　
34.2330　　　　所以，求得：k1=3.6263,
b=46.7886。误差的平方res=34.2330。　　实验收获：　　 掌握了用MATLAB 优化工具箱的基本用法，对不同算法进行了初步分析、比较。　　 练习了用无约束优化方法建立和求解实际问题的模型（包括非线性拟合）。　　　　
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