2012年广东中考总复习第四章　三角形与四边形.rar&&共用
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第二部分　&空间与图形 第四章　三角形与四边形 第1讲　相交线和平行线 & A级　基础题 1．如图X4－1－1，AB∥CD，直线l分别与AB、CD相交，若∠1＝130°，则∠2＝(&C&) & 图X4－1－1 A．40°&&&B．50°&&C．130°&&&D．140° 2．如图X4－1－2，在所标识的角中，同位角是(&C&) & 图X4－1－2 A．∠1和∠2&&B．∠1和∠3&& C．∠1和∠4&&D．∠2和∠3 3．(2011年四川南充)如图X4－1－3，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝60°，下列结论成立的是(&B&) & 图X4－1－3 A．∠C＝60°　&&&B．∠DAB＝60° C．∠EAC＝60°　&&&D．∠BAC＝60° 4．(2011年重庆江津)下列说法不正确是(&B&) A．两直线平行，同位角相等 B．两点之间直线最短 C．对顶角相等 D．半圆所对的圆周角是直角 5．(2011年山东日照)如图X4－1－4，已知直线AB∥CD，∠C＝125°，∠A＝45°，那么∠E的大小为(&B&) & 图X4－1－4 A．70°　　　&&B．80°　　&&C．90°　　　　&&&D．100° 6．(2011年浙江丽水)如图X4－1－5，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是(&B&) 　　& 图X4－1－5 A．30°　　　　&&B．25°　　　　&&C．20°　　　　&&D．15° 7．如图X4－1－6，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝(&C&) A．20°&&&B．60°&&&C．30°&&&D．45° & 图X4－1－6 解析：由题意得∠AEF＝90°，又AB∥CD，故∠2＝90°－60°＝30°. 8．如图X4－1－7，下列条件中，不能判断l1∥l2的是(&B&) & 图X4－1－7 A．∠1＝∠3&&&&&&&&&&&&&&&B．∠2＝∠3&&&& C．∠4＝∠5&&&&&&&&&&&&&&&D．∠2＋∠4＝180 9．(2011年湖北孝感)如图X4－1－8，直线AB、CD相交于点O，OT⊥AB于点O， CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝30°，则∠DOT＝(&C&) A．30°　　&&B．45°　　&&C.&60°　　&&D.&120° & 图X4－1－8 10．(2011年浙江义乌)如图X4－1－9，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于(&C&) 　　　& 图X4－1－9 A.&60°　　&&B.&25°　&&C.&35°　&&D.&45° 11．下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路变直，就能缩短路程．其中可用公理“两点之间，线段最短”来解决的现象有(&D&) A．①②&&&B．①③&&&C．②④&&&&&D．③④ 12．(2010年安徽)如图X4－1－10，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为(&C&) & 图X4－1－10 A．50°&&&&B．55°&&&&C．60°&&&D．65° 解析：∠3＝180°－55°－65°＝60°. B级　中等题 13．一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即AB∥CD，如图X4－1－11)，如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么∠C应是(&B&)& & 图X4－1－11 A．180°&&&&&&&&B．140°&&&&&&&&&C．100°&&&&&&&&&D．40° 解析：两直线平行，内错角相等． 14．(2010年山东威海)如图X4－1－12，在△ABC中，∠C＝90°.若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是(&C&) & 图X4－1－12 A．40°&&&&B．60°&&&&C．70°&&&&D．80° 解析：由题意可得∠EAB＋∠DBA＝180°，又由∠C＝90°可得，∠CAB＋∠CBA＝90°，于是∠CAE＋∠DBC＝90°，故∠CAE&＝90°－∠DBC＝70°. 15．如图X4－1－13，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于(&C&) 　& 图X4－1－13 A．70°&&&&B．65°&&&&&C．50°&&&D．25° 解析：∠D′EF＝∠DEF＝∠EFB＝65°，于是∠AED′＝180°－∠D′ED＝50°. C级　拔尖题 16．如图X4－1－14，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平&分∠AOC，ON平分 ∠BOC. (1)求∠MON的度数；& (2)如果(1)中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；&& (3)如果(1)中，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数； (4)从(1)、(2)、(3)的结果中，你能看出什么规律？ & 图X4－1－14 解：(1)∠MON＝∠COM－∠CON＝12∠AOC－12∠BOC＝12×120°－12×30°＝45°. (2)∠MON＝∠COM－∠CON＝12∠AOC－12∠BOC＝12(α＋30°)－12×30°＝12α. (3)∠MON＝∠COM－∠CON＝12∠AOC－12∠BOC＝12(90°＋β)－12β＝45°. (4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，与∠BOC的大小无关． 2012年预测 17．如图X4－1－15，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于(&D&) & 图X4－1－15 A．60°　　　&&B．50°　　　&&&C．45°　　　&&D.&40° 18．如图X4－1－16，一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为(&A&) & 图X4－1－16 A．45°&&&&&&&&&&&&B．60°&&& &C．75°&&&&&&&&&&&&D．80° 解析：如图D31，过点O作OD⊥OC，根据平面镜反射定律可得，∠AOD＝∠BOD.又∵AO垂直于水平面，OB平行于水平面，∴∠AOB＝90°，∴∠AOD＝∠BOD＝45°.又∵OD⊥OC，∴∠BOC＝90°－∠BOD＝45°，由OB平行于水平面可得，∠1＝∠BOC＝45°. & 图D31 第2讲　三角形 第1课时　三角形 & A级　基础题 1．如图X4－2－1，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于(&C&) & 图X4－2－1 A．100°&&B．120°&&C．130°&&D．150° 2．已知如图X4－2－2中的两个三角形全等，则α度数是(&D&) & 图X4－2－2 A．72°&&B．60°&&C．58°&&&D．50° & 3．(2011年江苏宿迁)如图X4－2－3，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是(&B&) & 图X4－2－3 A．AB＝AC&&B．BD＝CD C．∠B＝∠C&&D．∠&BDA＝∠CDA 4．(2011年上海)下列命题中，真命题是(&D&) A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等 5．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是(&D&) A．SAS&&&B．ASA&&C．AAS&&D．SSS 6．(2011年安徽芜湖)如图X4－2－4，已知△ABC中，∠ABC＝45°，&F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为(&B&) A．2&2　&&B．4　　&&C．3&2　　&&D．4&2 & 图X4－2－4 7．到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的(C) A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 8．以三条线段3,4，x－5为边组成三角形，则x的取值范围为6&x&12. 解析：由题意可得1&x－5&7，解得6&x&12. 9．若△ABC的周长为a，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为a2. 解析：由题意可得△DEF的三边为△ABC的中位线，故其周长为a2. 10．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠A＝45°，&∠B＝60°. 11．(2011年江西)如图X4－2－5，两块完全相同的含30°的直角三角形叠放在一起，且∠DAB＝30°.有以下四个结论：①AF⊥BC&；②△ADG≌△ACF;&③O为BC的中点；&④AG∶DE＝3：4，其中正确结论的序号是①②③④(错填得0分，少填酌情给分)． & 图X4－2－5 12．(2011年福建福州)如图X4－2－6，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC＝DC.求证：AB＝ED. & 图X4－2－6 (1)证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠D＝90°. 在△ABC和△EDC中， &， ∴△ABC≌△EDC， ∴AB＝ED. B级　中等题 13．(2011年山东威海)在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、&DF、EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等(&C&) A．EF∥AB　　&&B．BF＝CF C．∠A＝∠DFE　　&&D．∠B＝∠DFE 14．若△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的最大边长为(&C&) A．4&&B．3&&C．5&&D．2 解析：三角形另外两边的边长之和为11－4＝7，由题意，两边长的选取只可能是2,5或3,4，故最大边长为5. 15．(&2011年浙江)如图X4－2－7，点D、E分别在AC&、AB上． & 图X4－2－7 (1)&已知BD＝CE，CD＝BE，求证：AB＝AC； (2)&分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE”&记为②，“AB＝AC”记为③.添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是真命题，命题2是假_命题(选择“真”或“假”填入空格)． 解：(1)连接BC，∵&BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB. ∴&△DBC≌△ECB&(SSS)， ∴&∠DBC＝∠ECB， ∴&AB＝AC. C级　拔尖题 16．(2011年湖南衡阳)如图X4－2－8，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为7. 　　& 图X4－2－8 解析：因为△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，所以EC＝AE，故△ABE的周长为AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC＝3＋4＝7. 2012年预测 17．已知三角形的两边长为6,9，则第三边的长度可以是答案不唯一，在3到15之间的数都可(写出一个即可)． 18．如图X4－2－9，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F.求证：BE＝CF. & 图X4－2－9 证明：∵在△ABC中，AD是中线， ∴BD＝CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠CFD＝∠BED＝90°， 在△BED与△CFD中， ∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF. & 第2课时　等腰三角形与直角三角形 & A级　基础题 1．(2010年浙江东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(&C&) A．40°&&&&&&&&&&B．100°&& C．40°或100°&&&D．70°或50° 解析：分顶角为40°或底角为40°两种情况． 2．等腰直角三角形的一个底角的度数是(&B&) A．30°&&&&&&B．45°&&&&&&&C．60°&&&&&&D．90° 3．(2011年浙江舟山)如图X4－2－10，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为(&B&) & 图X4－2－10 A．2&3　　　　&&B．3&3　　　　&&C.&4&3　　　　　　&&D.&6&3 4．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(&C&) A．7&&B．9&&C．12&&D．9或12 解析：另一边长为2或5，但2＋2&5，不合题意，故另一边为5，所求周长为2＋5＋5＝12. 5．如图X4－2－11，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为(&D&) & 图X4－2－11 A．50°&&&&&&&&B．60°&&&&&&&&C．30°&&&&&&&&&D．40°& 解析：∠B＝∠EFC＝90°－∠CEF＝40°. 6．(2011年河北)如图X4－2－12，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(&B&) 　　& 图X4－2－12 A.12　　　&&B．2　　　&&C．3　　　&&D．4& 7．(2010年江苏无锡)下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是(&B&) A．两边之和大于第三边&&&&&&&&&&&& B．有一个角的&平分线垂直于这个角的对边 C．有两个锐角的和等于90° D．内角和等于180° 8．已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60度． 9．(2011年四川凉山州)把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：如果三角形三边长a、b、c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 10．(2011年江苏无锡)如图X4－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝5&cm. & 图X4－2－13 11．(2011年山东烟台)等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为4或6. 12．(2011年山东德州)下列命题中，其逆命题成立的是①④(只填写序号)． ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． B级　中等题 13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为(&A&) A．75°或15°&&&&&&B．36°或60°&& &C．75°&&&&&&&D．30° 解析：三角形的高可在三角形内、三角形外，于是可得等腰三角形的顶角为30°或150°，故底角为75°或15°. 14．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是7或8. 解析：方程的两个解是2,3，故等腰三角形的三边长为2,2,3或2,3,3，故周长为7或8. 15．(2011年山东枣庄)如图X4－2－14，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： & 图X4－2－14 (1)画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD； (2)线段AC的长为2&5，CD的长为5，AD的长为5； (3)△ACD为直角三角形，四边形ABCD的面积为10； (4)若E为BC中点，则tan∠CAE的值是12. 解：(1)如图D32： & 图D32 C级　拔尖题 16．(2011年山东枣庄)如图X4－2－15，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝14&cm，则阴影部分的面积是492cm2. & 图X4－2－15 2012年预测 17．等腰三角形的一个角等于20°，&则它的另外两个角等于(&B&) A．20°，140°&&B．20°，140°或80°，80° C．80°，80°&&&D．20°，80° 18．已知：如图X4－2－16，锐角△ABC的两条高CD、BE相交于点O，且OB＝OC， (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由． & 图X4－2－16 解：(1)如图D33，证明：∵OB＝OC， 　　　& 图D33 ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CD、BE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 又∵BC＝CB， ∴△BDC≌△CEB(AAS)． ∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． (2)点O是在∠BAC的角平分线上．连接AO. ∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB， ∵OB＝OC，∴&OD＝OE， 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)， ∴∠DAO＝∠EAO， ∴点O是在∠BAC的角平分线上． 第3讲　四边形与多边形 第1课时　多边形与平行四边形 & A级　基础题 1．(2011年湖南邵阳)如图X4－3－1，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是(&A&) & 图X4－3－1 A．AC⊥BD　　&&B．AB＝CD　　　 C．BO＝OD　　　&&D．∠BAD＝∠BCD 2．(2010年广东湛江)小亮的父亲想购买同种大小、形状相同的地板砖铺设地面，小亮根据所学知识告诉父亲，为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设，购买的地板砖形状不能是(&C&) A．正三角形&&B．正方形 C．正五边形&&D．正六边形 3．如图X4－3－2，▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为(&C&) & 图X4－3－2 A．3&&&B．6&&&&&C．12&&&&&&&D．24 4．(2010年四川成都)已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD； ③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有(&C&) A．6种&&B．5种&&C．4种&&&&D．3种 5．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是(&D&) A．5&&&B．6&&C．7&&&&&&&D．8 解析：∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的内角和为360×3＝1&080°.设多边形有n条边，则有(n－2)&#°＝1&080°，解得n＝8. 6．(2011年山东德州)如图X4－3－3，D、E、F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为3. & 图X4－3－3 7．(2011年山东聊城)如图X4－3－4，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3&cm，则AD的长是6cm. & 图X4－3－4 8．(2011年山东临沂)如图X4－3－5，▱ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为6. & 图X4－3－5 9．(2011年四川广安)若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是6. 10．如图X4－3－6，AB和CD是夹在两平行线l1、l2之间的平行线段，则AB＝CD(填“＞”或“＜”或“＝”)． 　　　& 图X4－3－6 11．(2011年江苏淮安)如图X4－3－7，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2. 求证：△ABE≌△CDF. & 图X4－3－7 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝DC， 又∵∠1＝∠2， ∴△ABE≌△CDF(ASA)． 12．(2011年四川宜宾)如图X4－3－8，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG. 求证：GF∥HE.& & 图X4－3－8 证明：∵在平行四边形ABCD中，OA＝OC， 由已知：AF＝CE， ∵AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE. 同理得：OG＝OH. ∴四边形EGFH是平行四边形， ∴GF∥HE. B级　中等题 13．(2011年浙江金华)如图X4－3－9，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 2&3. 提示：△EFD的面积与△EHD的面积相等． & 图X4－3－9 14．(2011年重庆潼南)如图X4－3－10，在平行四边形&ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF;&③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是(&B&) A．①②　　　　&&B．②③&&C．②④　　　　&&D．③④ 　& 图X4－3－10 15．(2011年山东威海)如图X4－3－11，在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝(&A&) & 图X4－3－11 A．1∶2　　&&B．1∶3&&C．2∶3　&&D．2∶5 C级　拔尖题 16．如图X4－3－12，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，&∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、&DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为(&C&) & 图X4－3－12 A.&100°　　&&B．110° C.&120°　&&D.&130° 2012年预测 17．如图X4－3－13，已知四边形ABCD是平行四边形． & 图X4－3－13 (1)求证：△MEF&∽△MBA； (2)若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线，求证DF＝EC. 证明：(1)在▱ABCD中，CD∥AB， ∴∠MEF＝∠MBA，∠MFE＝∠MAB， ∴△MEF&∽△MBA. (2)∵在▱ABCD中，CD∥AB， ∠DFA＝∠FAB， 又∵AF是∠DAB的平分线， ∴∠DAF＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF. 同理可得EC＝BC， ∵在▱ABCD中，AD＝BC， ∴DF＝EC. 18．如图X4－3－14，已知E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC. 　　& 图X4－3－14 (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠FCD， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△ABE≌△CDF&(AAS)． (2)①△ABC≌△CDA，②△BCE≌△DAF. 第2课时　特殊的平行四边形 & A级　基础题 1．(2011年江苏淮安)在菱形ABCD中，AB＝5&cm，则此菱形的周长为(&C&) A.&5cm　　　　&&&B.&15cm&&C.&20cm　　　　&&&D.&25cm 2．(2011年四川绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是(&D&) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 3．(2011年江苏无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是(&A&) A．对角线互相垂直　&&&B．对角线相等 C．对角线互相平分　　&&D．对角互补 4．(2011年湖北襄阳)顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是(&D&) A．菱形 B．对角线互相垂直的四边 C．矩形 D．对角线相等的四边形 5．如图X4－3－15，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是(&B&) & 图X4－3－15 A．2&&B．4&&C．2&3&&D．4&3 6．如图X4－3－16，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos∠A＝35，则tan∠DBE的值是(&B&) 　　　& 图X4－3－16 A.12&&&&&&&&&&&&&&&&B．2&&&&&&&C.52&&&&&&&&&&&&&&&&D.55 解析：∵cosA＝35，设AD＝5x，AE＝3x， ∴DE＝4x.在菱形ABCD中，AB＝AD＝5x， ∴BE＝2x.∴tan∠DBE＝DEBE＝2. 7．(2011年湖南益阳)如图X4－3－17，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是(&B&) & 图X4－3－17 A．矩形　　&&B．菱形　　&&C．正方形　　&&D．等腰梯形 8．(2011年江苏淮安)在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，写出一种即可)_(写出一种即可)． 9．(2011年江苏南京)如图X4－3－18，菱形ABCD的边长是2&cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为2&3cm2. 　　　& 图X4－3－18 10．(2010年四川眉山)如图X4－3－19，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD. (1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由； (2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积． & 图X4－3－19 解：(1)四边形OCED是菱形．理由如下： ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵在矩形ABCD中，OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形.& (2)连接OE.由菱形OCED得， CD⊥OE,&∴OE∥BC. 又∵CE∥BD，∴四边形BCEO是平行四边形． ∴OE＝BC＝8. ∴S四边形OCED＝12OE•CD＝12×8×6＝24. 11．(2010年安徽)如图X4－3－20，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC. (1)求证：四边形BCEF是菱形； (2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE. & 图X4－3－20 证明：(1)∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.∴BF＝EF. ∵BF＝BC，∴BC＝EF. ∴四边形BCEF是平行四边形． ∵BF＝BC，∴四边形BCEF是菱形． (2)∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE， ∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形， ∴AF＝BE，FC＝ED. 又∵AC＝2BC＝BD，∴△ACF≌△BDE. B级　中等题 12．(2011年四川宜宾)如图X4－3－21，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为(&D&) & 图X4－3－21 A．3　　&&B．4　　　&&C．5　　　&&D．6& 13．(2010年山东聊城)如图X4－3－22，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(&A&) 　　& 图X4－3－22 A.125&&&&&&&&&&&&&&&&B.65&&&&&&&&&C.245&&&&&&&&&&&D．不确定 解析：连接OP，设PE、PF为点P到两对角线的距离．∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，∴AO＝DO＝52，S△AOD＝3.又∵S△AOD＝S△APO＋S△OPD＝12(AO•PE＋DO•PF)＝ 12AO(PE＋PF)＝54(PE＋PF)，∴PE＋PF＝125&. 14．(2011年四川广安)如图X4－3－23，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E.求证：DE＝12BE. & 图X4－3－23 证明：∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴BC＝AC＝AD. 又∵DE∥AC，∴ACED为平行四边形， ∴CE＝AD＝BC，DE＝AC， ∴DE＝CE＝BC， ∴DE＝12BE. C级　拔尖题 15．(2010年山东青岛)已知：如图X4－3－24，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF. (1)求证：BE＝DF； (2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论． & 图X4－3－24 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°. ∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF. ∴BE＝DF. (2)四边形AEMF是菱形．证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC. ∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF，即CE＝CF， ∴OE＝OF. ∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形． ∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形． 2012年预测 16．如图X4－3－25，在菱形ABCD中，已知AB＝8，AC＝10，那么菱形ABCD的面积为1039. & 图X4－3－25 解析：在RtΔABO中，& BO＝AB2－AO2＝82－52＝39， S菱形ABCD＝12AC•BD＝12×10×239＝1039. 17．如图X4－3－26，已知四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形． 　　& 图X4－3－26 证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF＝12AC，HG＝12AC，FG＝12BD， EH＝12BD. ∴EF＝HG＝12AC，FG＝EH＝12BD. 又∵AC＝BD，∴EF＝HG＝FG＝EH. ∴四边形EFGH是菱形． 第3课时　梯形 & A级　基础题 1．(2011年江苏扬州)已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有(&B&) A.&1个　　&&&B.&2个　　&&&C．　3个　　&&&D.&4个 2．(2011年山东滨州)如图X4－3－27，在一张△ABC纸片中，&∠C＝90°，&∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为(&C&) A．1　　&&B．2　&&C．3　&&D．4 & 图X4－3－27 3．(2011年湖北武汉)如图X4－3－28，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是(&C&) 　　　& 图X4－3－28 A．40°　　&&B．45° C．50°&&&D．60° 4．(2011年湖北宜昌)如图X4－3－29，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论一定正确的是(&D&) & 图X4－3－29 A.&∠HGF＝∠GHE　　　&&B.&∠GHE＝∠HEF& C.&∠HEF＝∠EFG　　　&&&D.&∠HGF＝∠HEF 5．(2011年浙江台州)如图X4－3－30，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线BD、AC相交于点O.下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是(&B&) 　& 图X4－3－30 A．∠1＝∠4　　　　&&B.&∠1＝∠3 C．∠2＝∠3　　　&&D．OB2＋OC2＝BC2 6．(2011年福建福州)如图X4－3－31，直角梯形ABCD中，AD∥BC&，∠C＝90°，则 ∠A＋∠B＋∠C＝270度． & 图X4－3－31 7．(2011年重庆江津)在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线长为5，高为6，则它的面积是30. 8．(2011年江苏南京)等腰梯形的&腰长为5&cm，它的周长是22&cm，则它的中位线长为6cm. 9．(2011年湖南邵阳)如图X4－3－32，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2&cm，则上底DC的长是2cm. 　　　　& 图X4－3－32 10．(2011年浙江湖州)如图X4－3－33，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD＝1，则BC的长是3. & 图X4－3－33 11．(2011年江苏宿迁)如图X4－3－34，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7&cm，BC＝8&cm，则AB的长度是15cm. 　　　& 图X4－3－34 12．(2011年浙江温州)如图X4－3－35，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点． 求证：△ADM≌△BCM. & 图X4－3－35 证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， ∴AD＝BC，∠A＝∠B， ∵点M是AB的中点， ∴&MA＝MB， ∴△ADM≌△BCM. B级　中等题 13．(2010年湖北随州)如图X4－3－36，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6&cm，则等腰梯形ABCD的面积为18cm. & 图X4－3－36 14．(2011年江苏苏州)如图X4－3－37，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E. (1)求证：△ABD≌△ECB； (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． & 图X4－3－37 (1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC. 又∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠CEB. 在△ABD和△ECB中， ∠A＝∠CEB∠ADB＝∠EBCBD＝CB， ∴△ABD≌△ECB. (2)解法一：∵∠DBC＝50°，BC＝BD， ∴∠&EDC＝65°. 又∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°. ∴∠DCE＝90°－∠EDC＝25°. 解法二：∵∠DBC＝50°，BC＝BD， ∴∠BCD＝65°. 又∵∠BEC＝90°，∴∠BCE＝40°. ∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝25&°. 15．(2011年山东菏泽)如图X4－3－38，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4,&E为AB中点，EF∥DC交BC于点F,&求EF的长． & 图X4－3－38 解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴GC＝AD， ∴BG＝BC－GC＝4－1＝3， 在Rt△ABG中， AG＝2BG2＝3&2， ∵EF∥DC∥AG， ∴EFAG＝BEAB＝12， ∴EF＝12AG＝3&22. C级　拔尖题 16．(2010年辽宁丹东)如图X4－3－39，把长为8&cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6&cm2，则打开后梯形的周长是(&A&) & 图X4－3－39 A．(10＋213)cm&&B．(10＋13)cm C．22&cm&&D．18&cm 解析：∵剪掉部分的面积为6&cm2，∴矩形的宽为2&cm，即梯形的高为2&cm.结合图形知梯形的腰长为32＋22＝13(cm)．∴梯形的周长为8×2－3×2＋213＝(10＋213)cm. 17．(2011年山东枣庄)如&图X4－3－40，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF. (1)证明：EF＝CF； (2)当tan∠ADE＝13时，求EF的长． & 图X4－3－40 解：(1)如图D34，过D作DG⊥BC于G. 由已知可得&，四边形ABGD为正方形.& ∵DE⊥DC， ∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG， ∴∠ADE＝∠GDC&. 又∵∠A＝∠DGC，且AD＝GD， ∴△ADE≌△GDC&. ∴DE＝DC，且AE＝GC. 在△EDF和△CDF中， ∠EDF＝∠CDF，DE＝DC，DF为公共边， ∴△EDF≌△CDF. ∴EF＝CF&.& & 图D34 (2)∵tan∠ADE＝AEAD＝13，&∴AE＝GC＝2. 设EF＝x，则BF＝8－CF＝8－x，BE＝6－2＝4.& 由勾股定理，得x2＝(8－x)2＋42. 解得x＝5,&即EF＝5.& 2012年预测 18．如图X4－3－41，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC，求证：AC是∠DAB的平分线． & 图X4－3－41 证明&：∵AB∥CD,&∴∠CAB＝∠DCA. ∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA&. ∴∠DAC＝∠CAB&,&即AC是∠DAB的平分线． 19．如图X4－3－42，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，连接AE、DE，求证：AE＝DE. & 图X4－3－42 证明：∵AD∥BC，AB＝DC，且AB不平行CD， ∴梯形ABCD是等腰梯形， ∴∠B＝∠C， ∵E是BC的中点，∴BE＝EC. 在△ABE和△DCE中， AB＝DC∠B＝∠CBE＝EC， ∴△ABE≌△&DCE， ∴AE＝DE.
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