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【数学导航】2016届高考数学（文）大一轮复习参考：第七章 立体几何3 空间点直线平面之间的位置关系
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【数学导航】2016届高考数学（文）大一轮复习参考：第七章 立体几何3 空间点直线平面之间的位置关系
【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第讲 空间点、直线、平面之间的位置关系习题-课件
2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平
面之间的位置关系习题
A组 基础巩固
一、选择题
1．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 (
①P∈a，P∈α?a?α； ②a∩b＝P，b?β?a?β；
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α； ④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b. A．①② C．①④ [答案] D
[解析] 当a∩α＝P，时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；
B．②③ D．③④
a∩β＝P时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P?a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b?α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确． 2．以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是导学号 (
) A．0 C．2 [答案] B
[解析] ①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段
不共面，故只有①正确．
3．(2015?山西大同一中上学期期末)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AC的公垂线，则直线PQ与BD1的位置关系为导学号
A．平行 C．相交 [答案] B
[解析] 也可能相交，③不正确；过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直，正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．故选B.
4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则导学号 (
) A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 [答案] B
[解析] 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条．
5．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1
所成角的余弦值为导学号 (
1B 53D 5B．异面 D．无法判断
[解析] 连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)．设
AB＝1，则BE＝2，BA1＝5，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝
6．(2015?浙江金丽衢十二校二联)已知a，b，c为三条不同的直线，且a?平面M，b?平面N，M∩N＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是导学号 (
A．0 C．2 [答案] C
[解析] 命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当
b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.
二、填空题
7．(教材改编)如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与
c，b与c的位置关系是____________________.导学号
[答案] a∥b∥c
[解析] ∵a∥b，a?α，b?α，∴b∥α. 又∵b?β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.
8．(2013?江西改编)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥
CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，
n，那么m＋n＝
____________________.导学号
[解析] 取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.
9．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连
接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有____________________对.导学号
[解析] 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的12×4
面对角线有12＝24(对)．
10．(2015?浙江)如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，
N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是
____________________.导学号
[解析] 如图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则ME∥AN， 则异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN＝1，AN＝2，∴ME＝2.
CM2＋EM2－CE28＋2－3
又CM＝2，DN＝22，NE2，∴CE3，则cos∠CME＝2CM×EM2×22×2
三、解答题
11．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEwEB＝CFwFB＝2w1，CGwGD＝3w1，过E、F、G的平面交AD于点H.导学号
(1)求AHwHD；
(2)求证：EH、FG、BD三线共点． [答案] (1)AHwHD＝3w1 (2)略
[解析] (1)解：∵＝2，∴EF∥AC， ∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH， 平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH，∴AC∥GH. ∴＝3.∴AHwHD＝3w1.
(2)证明：∵EF∥GH，且，
∴EF∥GH，∴EFGH为梯形．
令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH?平面ABD， 又P∈FG，FG?平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．
12．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.导学号
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小． 86
[答案] (1)
[解析] (1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，所以，四棱锥O－ABCD的体积V18
＝×4×2＝. 33
(2)连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，
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&&& Oaba’b’a’b’ab
&&& cos&0-
1. ABCDBDMNMNBDMENFMENF
&&& MENFNFME
2. AC1MNA1B1B1B
&&& 3AMBD1
&&& AB=4CNPAMCN
&&& 2BDB1D1MGGA1D1
&&& AMGAMBD
&&& 3BEFCB1E1F1C1
&&& B1E1HAM//BH
3. ABCDEFGHABBCCDDA
&&& 2AC=BDEFGH
&&& 3ACBDEFGH
1. abc//acb&&&
&&& A. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
&&& C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
&&& A. 4&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
&&& C. 6&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
3. ABCD-A1B1C1D1AB160&&&
&&& A. 2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
&&& C. 5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
&&& A. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
&&& C. &&&&&&&& D.
6. PQRSPQRS&&&
7. ABCDABBCCDDAEFGHEFHGM&&&
&&& A. MAC
&&& B. MBD
&&& C. MACBD
&&& D. MACBD
&&& 3ABMN60
9. ablab&&&
10. ABCDA1B1C1D1EFGABBCCC1EFBG&&&
11. ABCDEFABBCEFAD
12. ABCDAB//CDABBCDCADEFGHEFGH
13. ABC2ABCPBPDEBCAECD
& 1. D&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2.
C&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3.
B&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4.
& 5. B&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6.
C&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7.
A&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8.
& 11. EFAD
&&& ABCDABCD(本小题满分14分)如图，已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.
(1) 求证：HG∥平面ABC；(2) 请在面ABD内过点E作一条线段垂直于AC，并给出证明．
(1) 证明：因为BD∥平面EFGH，平面BDC∩平面EFGH＝FG，所以BD∥FG.同理BD∥EH，又EH＝FG，&所以四边形EFGH为平行四边形，&所以HG∥EF.又HG?平面ABC，EF?平面ABC，&所以HG∥平面ABC.&
&&(6分)(2) 在平面ABC内过点E作EP⊥AC，且交AC于点P，在平面ACD内过点P作PQ⊥AC，且交AD于点Q，连结EQ，则EQ即为所求线段．&& (10分)
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训练手册A组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲4，6，8选择题（每小题5分，共20分）1、（2013?烟台模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（D） A.α⊥β，m?αB.m⊥α，α⊥βC.m⊥n，n?βD.m∥n，n⊥β解析：根据线面垂直的判断和性质可知，D正确，选D.2、如图，PD⊥菱形ABCD所在的平面，M是PB上一动点.若平面MAC⊥平面PCB，则M满足条件（A）A.AM⊥PBB.PM＝MBC.PM＝ABD.PD＝BM解析：连接BD，由四边形ABCD为菱形，得AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，得AC⊥PD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，∴AC⊥PB，当AM⊥PB时，有PB⊥平面AMC，PB?平面PBC，∴平面MAC⊥平面PCB.3、（2013?全国高考）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则（D）A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l解析：∵m，n为异面直线，∴在空间找一点P，作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′，即l垂直于m′与n′确定的平面γ，又m⊥平面α，n⊥平面β，∴m′⊥平面α，n′⊥平面β，∴平面γ既垂直平面α，又垂直平面β，∴α与β相交，且交线垂直于平面γ，故交线平行于l，故选D.4、与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点（D）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个解析：在直线B1D上任取一点P，分别作PO1，PO2，PO3垂直于B1D1，B1C，B1A于O1，O2，O3，则PO1⊥平面A1B1C1D1，PO2⊥平面BB1C1C，PO3⊥平面AA1B1B.过O1，O2，O3分别作O1N⊥A1D1，O2M⊥CC1，O3Q⊥AB，垂足分别为M，N，Q，连接PM，PN，PQ，由线面垂直的判定和性质定理可得PN⊥A1D1，PM⊥CC1，PQ⊥AB.由于正方体中各个表面、对等面全等，∴PO1＝PO2＝PO3，O1N＝O2M＝O3Q，∴PM＝PN＝PQ，即P到三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等.∴有无穷多个点满足条件，故选D.二、填空题（每小题5分，共10分）5、如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是 垂直 .解析：AD＝DC，AB＝BC，E为AC的中点，则DE⊥AC且BE⊥AC.故AC⊥平面BDE.故平面ADC⊥平面BDE.6、（2013?河北质检）已知ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P－AD－C为60°，则点C到平面PAB的距离为 .解析：易得∠PDC就是二面角P－AD－C的平面角，则△PDC为正三角形，且平面PDC与平面ABCD垂直，取CD的中点O，AB的中点M，连接OM，PM，过点O作OH⊥PM于点H.易证OH⊥平面PAB，故点C到平面PAB的距离即为OH的长.计算得PO＝，又OM＝2，则PM＝，故OH＝＝.三、解答题（共20分）7、（10分）如图①所示，在直角三角形ABC中，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于点F，如图①所示.将△ABD沿BD折起，二面角A－BD－C的大小记为θ，如图②所示.（1）求证：平面AEF⊥平面BCD；（2）当cosθ为何值时，AB⊥CD.解析：（1）在图①中，∵D为Rt△ABC斜边AC的中点，∠ACB＝30°，∴AD＝AB.又E为BD的中点，∴BD⊥AE，BD⊥EF.（2分）在图②中，BD⊥AE，BD⊥EF，AE∩EF＝E，∴BD⊥平面AEF.又BD?平面BCD，∴平面AEF⊥平面BCD.（4分）（2）过A作AO⊥EF，交EF的延长线于点O，连接BO交CD的延长线于点G.由（1）知，平面AEF⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，∴BO即为AB在平面BCD上的射影.（6分）要使AB⊥CD，只需BG⊥CD.∴∠AEF＝θ，∠AEO＝π－θ.令BG⊥CD，易算得OE＝AE，（8分）∴cos∠AEO＝＝，即cos（π－θ）＝，∴当cosθ＝－时，AB⊥CD.（10分）、8、（10分）（2013?东北三校模拟）如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.（1）求证：CF∥平面AB1E；（2）求三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高.解析：（1）取AB1的中点G，连接EG，FG.∵F，G分别是AB，AB1的中点，∴FG∥BB1，FG＝BB1.∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，（3分）∴CF∥EG，∵CF?平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.（5分）（2）∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.又AC?平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，（7分）∴VA－EB1C＝S△EB1C?AC＝××1＝.（8分）∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝，∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高为＝.（10分）B组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲3，4，8一、选择题（每小题5分，共20分）1、（2014?嘉兴一中模拟）设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（A） A.当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件B.当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D.当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件解析：当m?α时，若n∥α可得m∥n或m，n异面；若m∥n可得n∥α或n?α，∴“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，故选A.2、（2013?广东高考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（D）A.若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥nB.若α∥β，m?α，n?β，则m∥nC.若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中α与β可能平行.3、（2013?北京高考）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（B）3个B.4个C.5个D.6个解析：设棱长为1，∵BD1＝，∴BP＝，D1P＝.连接AD1，B1D1，CD1，得△ABD1△CBD1△B1BD1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝，连接AP，PC，PB1，则有△ABP△CBP△B1BP，∴AP＝CP＝B1P＝，同理DP＝A1P＝C1P＝1，∴P到各顶点的距离的不同取值有4个.4、如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于点B1的点，F为线段BB1上异于点B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（D）A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台解析：∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，∴EH∥B1C1.又EH?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，∴EH∥平面BCC1B1.又EH?平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG，∴EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，∴选项A，C正确；∵A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，∴EH⊥平面ABB1A1.又EF?平面ABB1A1，故EH⊥EF，∴选项B也正确，故选D.二、填空题（每小题5分，共10分）5、三棱锥P－ABC的两侧面PAB，PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝a，则二面角A－PB－C的大小为 60° .解析：设PB的中点为M，连接AM，CM，则AM⊥PB，CM⊥PB，∠AMC是二面角A－PB－C的平面角.由已知易得AM＝CM＝a，∴△AMC是正三角形，∴∠AMC＝60°.6、（2013?江南十校联考）已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点.给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA＝PB＝PC；③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC的内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为.其中正确命题的序号是 ①②④ .（把你认为正确命题的序号都填上）解析：对于①，如图，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，故四个面都是直角三角形.∴①正确；对于②，当PM⊥平面ABC时，PA2＝PM2＋MA2，PB2＝PM2＋BM2，PC2＝PM2＋CM2，又M是AB的中点，∴BM＝AM＝CM，故PA＝PB＝PC，∴②正确；对于③，当PC⊥平面ABC时，S△PCM＝PC?CM＝×5?CM.又CM的最小值是C到边AB的垂线段，长度为.∴S△PCM的最小值是×5×＝6，∴③错误；对于④，设△ABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，则有PO2＋OC2＝PC2，又内切圆半径r＝（3＋4－5）＝1，∴OC＝，PO2＝PC2－OC2＝25－2＝23，故PO＝，∴④正确.综上，正确的命题有①②④.三、解答题（共20分）7、（10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E为BD的中点，点F在AC1上，且AC1＝4AF.（1）求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；（2）求证：EF∥平面ABB1A1.解析：（1）∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.而AD?平面ABC，∴CC1⊥AD.（2分）又AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BC∩CC1＝C，BC?平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，（4分）∵AD?平面ADF，∴平面ADF⊥平面BCC1B1.（5分）（2）连接CF并延长交AA1于点G，连接GB.∵AC1＝4AF，AA1∥CC1，∴CF＝3FG，又D为BC的中点，E为BD的中点，∴CE＝3EB，∴EF∥GB.（8分）又EF?平面ABB1A1，GB?平面ABB1A1，∴EF∥平面ABB1A1.（10分）8、（10分）如图，三棱锥A－BCD中，DC⊥BC，BC＝2，CD＝AC＝2，AB＝AD＝2.（1）证明：平面ABC⊥平面ACD；（2）求点C到平面ABD的距离.解析：（1）在△ACD中，AC＝CD＝2，AD＝2，∴AC2＋CD2＝AD2，故AC⊥CD.（2分）又DC⊥BC，AC∩BC＝C，∴DC⊥平面ABC.∵DC?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.（4分）（2）在△ABC中，AC＝2，AB＝2，BC＝2，∴BC2＝AB2＋AC2，故BA⊥AC.在Rt△ABC中，S△ABC＝×AB×AC＝×2×2＝2，由（1）可知DC⊥平面ABC，故VD－ABC＝S△ABC×DC＝×2×2＝.（6分）在Rt△BDC中，BD＝＝＝4，在△ABD中，AB＝AD＝2，∴AB2＋AD2＝BD2，故AB⊥AD.故S△ABD＝×AB×AD＝×2×2＝4.（8分）设点C到平面ABD的距离为h，∴VC－ABD＝S△ABD×h＝h，又VD－ABC＝VC－ABD，∴h＝，解得h＝.∴点C到平面ABD的距离为.
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对于答案A，
2向量FG*向量CA=2*向量(AC/2)*向量CA=向量AC*向量CA=-a^2
对于答案B，
2向量EF*向量CB=...
分别连接对角的顶点
可得各三角形中位线平行且等于相应的对角顶点连线的一半（平行四边）
在将空间四边形对角线所分成的任意两三角形作垂线，
...
Ai(Xi,Yi,Zi)，i=1,2,3,4四点构成平行四边形的充要条件是——
三个向量A1A2、A1A3、A1A4中某个向量是其他两个向量的和向量。
血压长期增高致肾脏细小动脉硬化，会逐渐影响肾脏功能。高血压病早期仅有肾小动脉痉挛，而临床上一般没有明显的泌尿系统症状;到后期，高血压可促进肾小动脉发生玻璃样变性或肾小...
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