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已知f（x）=x2-2ax+1，x∈[-1，1]，记函数f（x）的最大值为g（a），a∈R．（1）求g（a）的表达式；（2）若对一切a∈R，不等式g（a）≥ma-a2恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f（x）=（x-a）2+1-a2，x∈[-1，1]，∴当a≥0时，g（a）=f（-1）=2+2a；当a＜0时，g（a）=f（1）=2-2a；∴g(a)=2+2aa≥02-2aa＜0…（6分）（对一个式子得3分）（2）∵对一切a∈R，不等式g（a）≥ma-a2恒成立，∴当a=0时，g（a）≥ma-a2恒成立，m∈R…（8分）当a＞0时，2+2a≥ma-a2恒成立，解得m≤a+2a+2恒成立∵a+2a+2的最小值为22+2，（1分）∴m≤22+2…（10分）当a＜0时，2-2a≥ma-a2恒成立，解得m≥a+2a-2恒成立，（12分）∵a+2a-2的最大值为-22-2∴m≥-22-2综上所述&m∈[-22-2，22+2]．（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知f（x）=x2-2ax+1，x∈[-1，1]，记函数f（x）的最大值为g（a），a∈R．..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性函数解析式的求解及其常用方法
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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与“已知f（x）=x2-2ax+1，x∈[-1，1]，记函数f（x）的最大值为g（a），a∈R．..”考查相似的试题有：
878928861395453649564032490823522815解：（1）由于函数g（x）的对称轴为直线x=1，a＞0，所以g（x）在[2，3]上单调递增，则，即，解得a=1，b=0；（2）由（1）知，f（x）=x+-2，f′（x）=1-，当x时，f′（x）＜0，当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，所以f（x）在[，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，当x=1时f（x）取得最小值，当x=或x=2时f（x）取得最大值，，其值域为[0，]；（3）因为x∈[-1，1]，所以，f（2x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等价于f（x）min≥k在[，2]上恒成立，由（2）知，k≤0；分析：（1）由函数g（x）的对称轴可知其在[2，3]上的单调性，根据单调性可表示出g（x）的最大、最小值，分别令其等于4，1可得方程组，解出即可；（2）先由（1）得到函数f（x），利用导数可判断f（x）在[，2]上的单调性，据单调性可得函数的最大值、最小值，从而得值域；（3）f（2x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等价于f（x）min≥k在[，2]上恒成立，借助（2）问可得答案；点评：本题考查二次函数的性质、复合函数的单调性，利用导数求函数的最值等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．
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科目：高中数学
已知函数g（x）=x3-3ax2-3t2+t（t＞0）（1）求函数g（x）的单调区间；（2）曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直，若方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，求实数t的取值范围．
科目：高中数学
已知函数g（x）=lnx，0＜r＜s＜t＜1则（　　）A．无法确定B．g(t)t＜g(s)s＜g(r)rC．g(r)r＜g(s)s＜g(t)tD．g(s)s＜g(t)t＜g(r)r
科目：高中数学
已知函数f（x）=a+lnxx，且f（x）+g（x）=(x+1)lnxx，（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）在[1，e]上的最小值为32，求实数a的值．
科目：高中数学
（;淄博一模）已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜-2时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当-3＜a＜-2时，若对?λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）-f（λ2）|＜（m+ln3）a-2ln3恒成立，求m的取值范围．
科目：高中数学
（;济宁二模）已知函数g（x）=xlnx，f（x）=g（x）-ax（a＞0）．（I）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅲ）当a≥14时，若?x1，x2∈[e，e2]使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．求函数f（x）=-x2+2ax-1，x∈[-2，2]的最大值g（a），并求g（a）的最小值．
由f（x）=-x2+2ax-1=-（x-a）2+a2-1，-2≤x≤2，∴当-2≤a≤2时，g（a）=f（a）=a2-1；当a＜-2时，g（a）=f（-2）=-4a-5；当a＞2时，g（a）=f（2）=4a-5；∴g（a）=2-1(-2≤a≤2)4a-5(a＞2)，∴当-2≤a≤2时，g（a）=a2-1，∴-1≤g（a）＜3；当a＞2时，g（a）=4a-5，∴g（a）＞3；当a＜-2时，g（a）=-4a-5，∴g（a）＞3；综上所得：g（a）≥-1，故g（a）的最小值为-1，此时a=0．
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把二次函数的解析式f（x）化为顶点形式，找出抛物线的对称轴，然后根据对称轴在区间的左边，中间及右边分三种情况，根据二次函数的图象与性质分别求出最大值g（a）并求出此时a的范围，得到g（a）与a为分段函数，然后分别在三段函数上分别利用二次函数和一次函数的性质求出各自g（a）的范围，即可得到g（a）的最小值．
本题考点：
二次函数在闭区间上的最值．
考点点评：
此题考查学生掌握二次函数及一次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．
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已知函数f（x）=x2-2ax-1在区间[0，2]上的最大值为g（a），最小值为h（a）．（a∈R）（1）求g（a）和h（a）；（2）作出g（a）和h（a）的图象，并分别指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各为多少？
题型：解答题难度：中档来源：不详
解（1）f（x）=x2-2ax-1=（x-a）2-（1+a2）∵x∈[0，2]①当a≤0时，g（a）=f（2）=3-4a，h（a）=f（0）=-1②当0＜a≤1时，g（a）=f（2）=3-4a，h（a）=f（a）=-（1+a2）③当1＜a≤2时，g（a）=f（0）=-1，h（a）=f（a）=-（1+a2）④当a≥2时，g（a）=f（0）=-1，h（a）=f（2）=3-4a综上可得，g（a）=3-4a，a≤1-1，a＞1h（a）=-1，a≤0-(1+a2)，0＜a＜23-4a，a≥2（2）函数g（a）与h（a）的图象如图所示由图象可知，y=g（a）的最小值为-1由图象知，函数y=h（a）的最大值为-1
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x2-2ax-1在区间[0，2]上的最大值为g（a），最小值为h..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，函数零点的判定定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用函数零点的判定定理
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．
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与“已知函数f（x）=x2-2ax-1在区间[0，2]上的最大值为g（a），最小值为h..”考查相似的试题有：
261262561437403007272274559875568737