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2013年高考第二轮复习数学山东理科专题六解析几何第1讲直线与圆
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2010届高考数学二轮复习跟踪测试4
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直线和圆的方程
第一篇:直线和圆的方程单元检测(七 单元检测 七) 直线和圆的方程 (满分 满分:150 分 时间 时间:120 分钟 分钟) 满分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若直线 x+ay-a=0 与直线 ax-(2a-3)y-1=0 垂直,则 a 的值为( ) A.2 B.-3 或 1 C.2 或 0 解析解析：当 a=0 时,显然两直线垂直;a≠0 时,则 ? 答案答案：C
1 a ? = ?1 ,得 a=2.故选 C. a 2a ? 3
2.集合 M={(x,y)|y= 1 ? x ,x、y∈R},N={(x,y)|x=1,y∈R},则 M∩N 等于(
A.{(1,0)} C.{1,0}
B.{y|0≤y≤1} D.
解析解析：y= 1 ? x 表示单位圆的上半圆,x=1 与之有且仅有一个公共点(1,0). 答案答案：A 3.菱形 ABCD 的相对顶点为 A(1,-2),C(-2,-3),则对角线 BD 所在直线的方程是 …( A.3x+y+4=0 B.3x+y-4=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 解析：由菱形的几何性质,知直线 BD 为线段 AC 的垂直平分线,AC 中点 O (? 解析上, k AC = 答案答案：A 4.若直线 )
1 5 ,? ) 在 BD 2 2
1 ,故 k BD = ?3 ,代入点斜式即得所求. 3 x y + = 1 经过点 M(cosα,sinα),则 ……( a b
) B.a2+b2≥1
A.a2+b2≤1 C.
1 1 1 1 + 2 ≤1 D. 2 + 2 ≥ 1 2 a b a b x y 解析：直线 + = 1 经过点 M(cosα,sinα),我们知道点 M 在单位圆上,此问题可转化为直线 解析a b x y + = 1 和 圆 x2+y2=1 有 公 共 点 , 圆 心 坐 标 为 (0,0), 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 , 有 a b
| ?1 | 1 1 ≤ 1 ? 2 + 2 ≥ 1. a b 1 1 + 2 2 a b
答案答案：D 5.当圆 x2+y2+2x+ky+k2=0 的面积最大时,圆心坐标是( A.(0,-1) B.(-1,0) C.(1,-1)
) D.(-1,1)
4 + k 2 ? 4k 2 3 解析=1? k2 , 解析：r = 4 4
∴当 k=0 时,r2 最大,从而圆的面积最大. 此时圆心坐标为(-1,0),故选 B.
答案答案：B 6.过直线 y=x 上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2 的两条切线 l1,l2,当直线 l1,l2 关于 y=x 对称时,它们 之间的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析解析：由已知,得圆心为 C(5,1),半径为 2 ,设过点 P 作的两条切线的切点分别为 M,N,当 CP 垂 直 于 直 线 y=x 时 ,l1,l2 关 于 y=x 对 称 ,|CP| 为 圆 心 到 直 线 y=x 的 距 离 , 即 |CP|=
| 5 ?1| = 2 2 ,|CM|= 2 ,故∠CPM=30°,∠NPM=60°. 1+1
答案答案：C 7.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内,若是目标函数 z=ax+y(a&0)取得最 大值的最优解有无数个,则 a 的值等于( )
解析解析：将 z=ax+y 化为斜截式 y=-ax+z(a&0),则当直线在 y 轴上截距最大时,z 最大. ∵最优解有无数个,∴当直线与 AC 重合时符合题意.又 kAC=-1, ∴-a=-1,a=1. 答案答案：B 8.已知直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在(0, 围是( A.(0,1) ) B. (
)内变动时,a 的取值范
3 ,1)∪(1, 3 ) 3
解析解析：结合图象,如右图,
其中 α=45°-15°=30°,β=45°+15°=60°. 需 a∈(tan30°,1)∪(1,tan60°), 即 a∈(
3 ,1)∪(1, 3 ). 3
答案答案：C 9. 把 直 线 x-2y+λ=0 向 左 平 移 1 个 单 位 , 再 向 下 平 移 2 个 单 位 后 , 所 得 直 线 正 好 与 圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数 λ 的值为( ) A.3 或 13 B.-3 或 13 C.3 或-13 D.-3 或-13 解析解析：直线 x-2y+λ=0 按 a=(-1,-2)平移后的直线为 x-2y+λ-3=0,与圆相切,则圆心(-1,2)到直线的 距离 d =
|λ ?8| = 5 ,求得 λ=13 或 3. 5
答案答案：A 10.如果直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x+y=0 对称,
?kx ? y + 1 ≥ 0, ? 则不等式组 ?kx ? my ≤ 0, 表示的平面区域的面积是( ?y ≥ 0 ?
解析解析：由题中条件知 k=1,m=-1,易知区域面积为 答案答案：A 11.两圆 ?
? x = ?3 + 2 cos β , ? x = 3 cos θ , 与? 的位置关系是( ? y = 4 + 2 sin β ? y = 3 sin θ
A.内切 B.外切 C.相离 2 2 2 2 解析解析：两圆化为标准式为(x+3) +(y-4) =4 和 x +y =9,圆心 C1(-3,4),C2(0,0). 两圆圆心距|C1C2|=5=2+3.∴两圆外切. 答案答案：B 12.方程 9 ? x =k(x-3)+4 有两个不同的解时,实数 k 的取值范围是(
7 ,+∞) 24
7 2 , ] 24 3
解析解析 设 y= 9 ? x ,其图形为半圆;直线 y=k(x-3)+4 过定点(3,4),由数形结合可知,当直线
y=k(x-3)+4 与半圆 y= 9 ? x 有两个交点时,
7 2 &k≤ . 24 3
∴选 D. 答案答案：D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
? x + y ≥ 0, ? 13.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y + 3 ≥ 0, 则 z=2x-y 的最大值为__________. ?0 ≤ x ≤ 3, ?
解析解析：作出可行域如图所示.
当直线 z=2x-y 过顶点 B 时,z 达到最大,代入得 z=9. 答案答案：9 14.在 y 轴上截距为 1,且与直线 2x-3y-7=0 的夹角为
的直线方程是_________.
解析解析：由题意知斜率存在,设其为 k,则直线方程为 y=kx+1.
2 | π 3 .解得 k=5 或 ? 1 . 则 tan = 5 4 |1+ 2 k | 3 1 ∴直线方程为 y=5x+1 或 y= ? x + 1 , 5 |k?
即 5x-y+1=0 或 x+5y-5=0. 答案答案：5x-y+1=0 或 x+5y-5=0 15.设 A(0,3),B(4,5),点 P 在 x 轴上,则|PA|+|PB|的最小值是________,此时 P 点坐标是_______. 解析解析：点 A 关于 x 轴的对称点为 A′(0,-3), 则|A′B|=4 5 为所求最小值. 直线 A′B 与 x 轴的交点即为 P 点,求得 P( 答案答案：4 5 (
16.已知圆 M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题①对任意实数 k 与 θ,直线 l 和圆 M 相切; ②对任意实数 k 与 θ,直线 l 和圆 M 有公共点; ③对任意实数 θ,必存在实数 k,使得直线 l 和圆 M 相切; ④对任意实数 k,必存在实数 θ,使得直线 l 和圆 M 相切.
其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号) 解析解析：圆心 M(-cosθ,sinθ)到直线 l:kx-y=0 的距离 d =
| ? k cos θ ? sin θ | k +1
| k cos θ + sin θ | k2 +1
| k 2 + 1 sin(? + θ ) | k2 +1
=|sin(φ+θ)|(其中 tanφ=k) ≤1=r, 即 d≤r,故②④正确. 答案答案：②④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)已知△ABC 的三个顶点 A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求(1)AC 边上的高 BD 所在直线的方程; (2)BC 的垂直平分线 EF 所在直线的方程; (3)AB 边的中线的方程. 解：(1)易知 kAC=-2,∴直线 BD 的斜率 kBD= BD 的方程为 x-2y+4=0. (2)∵kBC=
1 .又 BD 直线过点 B(-4,0),代入点斜式易得直线 2
4 , 3 3 ∴kEF= ? . 4 5 ,2), 2 3 5 (x + ) . 4 2
又线段 BC 的中点为( ?
∴EF 所在直线的方程为 y-2= ?
整理得所求的直线方程为 6x+8y-1=0. (3)∵AB 的中点为 M(0,-3), ∴直线 CM 的方程为
y+3 x = . 4 + 3 ?1
整理得所求的直线方程为 7x+y+3=0(-1≤x≤0). 18.(本小题满分 12 分)已知圆 C 与 y 轴相切,圆心 C 在直线 l1:x-3y=0 上,且截直线 l2:x-y=0 的弦 长为 2 2 ,求圆 C 的方程. 解：∵圆心 C 在直线 l1:x-3y=0 上, ∴可设圆心为 C(3t,t). 又∵圆 C 与 y 轴相切, ∴圆的半径 r=|3t|. ∴(
3t ? t 2 ) + ( 2 ) 2 = 3 | t |2 ,解得 t=±1. 2
∴圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为 3. ∴所求的圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 19.(本小题满分 12 分)已知等边△ABC 的边 AB 所在的直线方程为 3 x+y=0,点 C 的坐标为
(1, 3 ),求边 AC、BC 所在的直线方程和△ABC 的面积.
解：由题意,知直线 AC、BC 与直线 AB 均成 60°角,设它们的斜率为 k,则 |
? 3?k |= 3 ,解 1 ? 3k
得 k=0 或 k= 3 .故边 AC、BC 所在的直线方程为 y= 3 ,y= 3 x,如图所示,故边长为 2,高为
1 × 2× 3 = 3 . 2
20.(本小题满分 12 分)圆 C 经过不同的三点 P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆 C 在 P 点的切线斜 率为 1,试求圆 C 的方程. 解：设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
?k + 2 = ? D , ? 将 P、Q、R 的坐标代入,得 ?2k = F , ? E + F + 1 = 0. ?
∴圆的方程为 x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心为 (
k + 2 2k + 1 , ). 2 2
又∵kCP=-1, ∴k=-3. ∴圆的方程为 x2+y2+x+5y-6=0. 21.(本小题满分 12 分)过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解法一:设点 M 的坐标为(x,y), 解法一 ∵M 为线段 AB 的中点, ∴A 的坐标为(2x,0),B 的坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且 l1、l2 过点 P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA?kPB=-1.
4?0 4 ? 2y , kPB= (x≠1), 2 ? 2x 2?0 2 2? y ? ∴ = ?1 (x≠1). 1? x 1
而 kPA= 整理,得 x+2y-5=0(x≠1). ∵当 x=1 时,A、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4), ∴线段 AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0.
解法二:设 M 的坐标为(x,y),则 A、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结 PM, 解法二 ∵l1⊥l2, ∴2|PM|=|AB|. 而|PM|= ( x ? 2) + ( y ? 4) ,
|AB|= ( 2 x) + ( 2 y ) ,
∴ 2 ( x ? 2) + ( y ? 4) =
4x2 + 4 y2 .
化简,得 x+2y-5=0,即为所求的轨迹方程. 解法三:设 M 的坐标为(x,y),由 l1⊥l2,BO⊥OA,知 O、A、P、B 四点共圆, 解法三 ∴|MO|=|MP|,即点 M 是线段 OP 的垂直平分线上的点.
4?0 = 2 ,线段 OP 的中点为(1,2), 2?0 1 ∴y-2= ? (x-1), 2
∵kOP= 即 x+2y-5=0 即为所求. 22.(本小题满分 12 分)实系数方程 f(x)=x2+ax+2b=0 的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求(1)
b?2 的值域; a ?1
(2)(a-1)2+(b-2)2 的值域; (3)a+b-3 的值域.
? f (0) & 0, ?b & 0, ? ? 解：由题意 ? f (1) & 0, 即?a + 2b + 1 & 0, ? f (2) & 0. ?a + b + 2 & 0. ? ?
易求 A(-1,0)、B(-2,0).
?a + 2b + 1 = 0, ∴C(-3,1). ?a + b + 2 = 0,
b?2 b?2 1 &kPA,即 ∈( ,1). a ?1 a ?1 4
(1)记 P(1,2),kPC&
(2)|PC|2=(1+3)2+(2-1)2=17,|PA|2=(1+1)2+(2-0)2=8,|PB|2=(1+2)2+(2-0)2=13. ∴(a-1)2+(b-2)2 的值域为(8,17). (3)令 u=a+b-3,即 a+b=u+3. -2&u+3&-1,即-5&u&-4. ∴a+b-3 的值域为(-5,-4).
第一篇:直线和圆的方程高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解1、倾斜角：①找α ：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α =0°； ③范围：0°≤α ＜180° 。2、斜率：①找 k ：k=tanα （α ≠90°） ； ②垂直：斜率 k 不存在； ③范围斜率 k ∈ R 。3、斜率与坐标k ? tan ? ?
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1
①构造直角三角形（数形结合） ； ②斜率 k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。4、直线与直线的位置关系l1 y ? k 1 x ? b1 , l 2 y ? k 2 x ? b 2 ①相交：斜率 k 1 ? k 2 （前提是斜率都存在） 特例----垂直时：&1& l1 ? x 轴，即 k 1不存在，则
&2& 斜率都存在时k 1 ? k 2 ? ? 1 。②平行：&1& 斜率都存在时k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ； &2& 斜率都不存在时：两直线都与 x 轴垂直。③重合斜率都存在时k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ； 二、方程与公式1、直线的五个方程①点斜式y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ②斜截式y ? kx ? b
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1
将已知点 ( x 0 , y 0 ) 与斜率 k 直接带入即可； 将已知截距 ( 0 , b ) 与斜率 k 直接带入即可；
③两点式带入即可；
， ( 其中 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) 将已知两点 ( x1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) 直接
④截距式：
将已知截距坐标 ( a , 0 ), ( 0 , b ) 直接带入即可；
⑤一般式Ax ? By ? C ? 0 ，其中 A、B 不同时为 0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
3、距离公式①两点间距离P1 P2 ? ②点到直线距离d ?
( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
Ax 0 ? By 0 ? C A ?B
③平行直线间距离d ?
C1 ? C 2 A ? B
4、中点、三分点坐标公式：已知两点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ①AB 中点 ( x 0 , y 0 ) (
x1 ? x 2 2 , y1 ? y 2 2 2 x1 ? x 2 2 y 1 ? y 2 , ) 靠近 A 的三分点坐标 3 3 x ? 2 x 2 y1 ? 2 y 2 ( 1 , ) 靠近 B 的三分点坐标 3 3 )
②AB 三分点 ( s1 , t1 ), ( s 2 , t 2 ) (
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。5.直线的对称性问题 已知点关于已知直线的对称:设这个点为 P（x0，y0）,对称后的点坐标为 P’（x，y） ，则 pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且 pp’的中点坐标在已知直线上。三、解题指导与易错辨析1、解析法（坐标法） ①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上） ，进行有关代数运算，并得出相关结果； ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明” 。y 2、动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题” ① PA ? PB 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示② PA ? PB 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边” ； ③ PA
的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴” 。
3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 =& y=(a-1)(x+2)+3 令：x+2=0 =& 必过点(-2,3) ②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 =& m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 =& 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析① 讨论斜率的存在性解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：&1&斜率不存在时，是否满足题意； &2&斜率存在时，斜率会有怎样关系。② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
③ 直线到两定点距离相等，有两种情况&1& 直线与两定点所在直线平行； &2& 直线过两定点的中点。
圆的方程 1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称 为圆的圆心，定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法第一种：圆的一般方程―― x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 半径 r
D ? E ?4 F 2
其中圆心 C ? ?
当 D 2 ? E 2 ?4 F 当 D 2 ? E 2 ?4 F 当 D 2 ? E 2 ?4 F
? 0 ? 0 ? 0
时，方程表示一个圆， 时，方程表示一个点 ? ? ?
时，方程无图形.
第二种：圆的标准方程―― ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 .其中点 C ( a , b ) 为圆心， r 为半径的 圆 第三种：圆的参数方程――圆的参数方程?
注：圆的直径方程：已知 A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) ?
? x ? a ? r cos ? ? y ? b ? r sin ?
（ ? 为参数）
( x ? x 1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0
( x ? a) ?( y ? b) ?r
3. 点和圆的位置关系：给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C ① M 在圆 C 内 ?
( x 0 ? a ) ? ( y 0 ?b) ? r
② M 在圆 C 上 ?（ x 0 ? a ) 2 ? ( y 0 ? b ) 2 ? r 2 ③ M 在圆 C 外 ?
( x 0 ? a ) ? ( y 0 ?b) ? r
4. 直线和圆的位置关系设圆圆 C ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 ( r
? By ? C ? 0 ( A ? B ? 0 ) ；
圆心 C ( a , b ) 到直线 l 的距离 d ①d ②d ③d
Aa ? Bb ? C A ?B
时， l 与 C 相切； r 时， l 与 C 相交； ， r 时， l 与 C 相离.
5、圆的切线方程2 ①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x C a)(x0 C a)+(y C b)(y0 C b)=R . 特别地， 过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y 有一条)
.(注:该点在圆上，则切线方程只
? y1? y 0 ? k (x1? x 0 ) ? b ? y 1 ? k (a ? x 1 ) ,y0)不在圆上， 圆心为(a,b)则 ? R ? ? 2 R ?1 ?
， 联立求出 k
切线方程. （注：
过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于 X 轴的直线。） 6.圆系方程过 两 圆 的 交 点 的 圆 方 程 假 设 两 圆 方 程 为 C1:x +y +D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 则 过 两 圆 的 交 点 圆 方 程 可 设 为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ
（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0
过两圆的交点的直线方程：x +y +D1x+E1y+F1- x +y +D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方 程就是直线方程） 7.与圆有关的计算2 2 弦长的计算：AB=2*√R -d 其中 R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离 2 AB=（√1+k ）*OX1-X2O 其中 k 是直线的斜率，X1 与 X2 是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根 过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题 ①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径 ③假设 P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与 该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的 最值。④假设 P x， 是在某个圆上的动点， （ y） 则求 x+y 或 x-y 的最值可以转化为T=x+y 或 T=x-y， 设 在圆上找到点(X,Y)使得以 y=x+T 或 y=x-T 在 Y 轴上的截距最值化。9.圆的对称问题 ①已知圆关于已知的直线对称， 则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的， 只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆， 则这个直线必过某定点， 且该定点是圆的圆 心坐标
第一篇:直线和圆的方程【考试大纲要求】 考试大纲要求】
1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条 件熟练地求出直线的方程． 2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法． 5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程. 6．掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题. 直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程， 从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程．
【基础知识归纳】 基础知识归纳】
1．直线方程 （1）直线的倾斜角 直线倾斜角的取值范围是0 ≤ α & 180 .
（2）直线的斜率 k = tan α (α ≠ 90°) . 倾斜角是 90°的直线没有斜率；倾斜角不是 90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）. (3)直线的方向向量 (3)直线的方向向量 设 F1（x1，y1） 2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量 F1 F2 =（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量 、F 向量
y ? y1 1 F1 F2 =（1， 2 ）=（1，k）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率.特别地，垂直于 x 轴的直 x 2 ? x1 x 2 ? x1
线的一个方向向量为 a ＝(0,1) . 说明说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的． 每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系． （4）直线方程的五种形式 点斜式y ? y 0 = k ( x ? x0 ) ，(斜率存在) 两点式斜截式y = kx + b (斜率存在) 截距式：
y ? y1 x ? x1 = ，(不垂直坐标轴) y 2 ? y1 x 2 ? x1
x y + = 1 (不垂直坐标轴,不过原点) a b
一般式Ax + By + C = 0 . 引申引申：过直线 l1 A1 x + B1 y + C1 = 0 ,
l2 A2 x + B2 y + C2 = 0 交点的直线系方程为：
A1 x + B1 y + C1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 （λ∈R）(除 l2 外)．
2．两条直线的位置关系 （1）直线与直线的位置关系 存在斜率的两直线 l1 y = k1 x + b1 ； l2 y = k 2 x + b2 .有① l1 l2 ? k1 = k2 且 b1 ≠ b2 ； ② l1 ⊥ l2 ? k1 ? k2 = ?1 ； ③ l1 与 l2 相交 ? k1 ≠ k2；④ l1 与 l2 重合 ? k1 = k2 且 b1 = b2 . 0 一般式的直线 l1 A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 A2 x + B2 y + C2 = 0 . 有① l1 l2 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 ；且 B1C2 ? C2 B1 ≠ 0 ; ② l1 ⊥ l2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 ;
③ l1 与 l2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ≠ 0 ;④ l1 与 l2 重合 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 ；且 B1C2 ? C2 B1 = 0 （2）点与直线的位置关系 若点 P ( x0 , y0 ) 在直线 Ax + By + C = 0 上，则有 Ax0 + By0 + C = 0 ； 若点 P ( x0 , y0 ) 不在直 Ax + By + C = 0 上，则有 Ax0 + By0 + C ≠ 0 ，此时点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的 距离为 d =
Ax0 + By 0 + C A2 + B 2
平行直线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 之间的距离为 （3）两条直线的交点
C1 ? C 2 A2 + B 2
直线 l1 A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 A2 x + B2 y + C2 = 0 的公共点的坐标是方程 ? 相交 ? 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行 ? 方程组无解. 重合 ? 方程组有无数解. 3．曲线与方程 4. 圆的方程 (1)圆的定义 (2)圆的方程 标准式( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 ，其中 r 为圆的半径， (a, b) 为圆心． 一般式x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 （ D + E ? 4 F & 0 ）.其中圆心为
? A1 x + B1 y + C1 = 0 ? A2 x + B2 y + C2 = 0
? D E ? ，半径为 1 D2 + E 2 ? 4F ?? ,? ? 2 2? ? 2
? x = r cos α ? x = a + r cos α ，? 参数方程? ? y = r sin α ? y = b + r sin α
5. 点与圆的位置关系 判断点 P ( x, y ) 与圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 的位置关系代入方程看符号. 6.直线与圆的位置关系 6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交. 有两种判断方法（1）代数法（判别式法） ? & 0, ? = 0, ? & 0 时分别相离、相交、 相切. （2）几何法：圆心到直线的距离 7．弦长求法 （1）几何法：弦心距 d，圆半径 r，弦长 l，则 d 2 + ? （2）解析法：用韦达定理，弦长公式. 8．圆与圆的位置关系
(α 是参数）. 消去θ可得普通方程
d & r , d = r , d & r 时相离、相交、相切.
?l? 2 ? =r ． ?2?
题型 1：直线的倾斜角 1． （07?上海）直线 4 x + y ? 1 = 0 的倾斜角 θ = 答案π ? arctan 4 解析：∵ 直线 4 x + y ? 1 = 0 可化为 y = 4 x ? 1 ， ．
k = tan θ = ?4 　 ∈ ，π） ,θ （ 2 ∴
∴ θ = π ? arctan 4 ．
题型 2 ：直线的斜率
2 2 2． （08?安徽卷）若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) + y = 1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为
A． [ ? 3, 3] 答案：C
B． (? 3, 3)
? 3 3? , ?? ? 3 3 ? ? C．
? 3 3? ?? ? 3 , 3 ? ? ? D． ?
解析：记圆心为 D (2, 0) ,记上、下两切点分别记为 B、C ，则
0 0 ? ? ∠BAD = 30° = ∠CAD ，∴ l 的斜率 k ∈ ? tan150 , tan 30 ? ,
? 3 3? k ∈ ?? , ? ? 3 3 ?. 即
题型 3 直线的方程 ） 3． （07?浙江）直线 x ? 2 y + 1 = 0 关于直线 x = 1 对称的直线方程是 （ Ａ． x + 2 y ? 1 = 0 Ｃ． 2 x + y ? 3 = 0 答案：D 解析：(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 x = 1 对称点为(2-x, y)在直线 x ? 2 y + 1 = 0 上, 即 2 ? x ? 2 y + 1 = 0 ，化简得答案 D. 直线方程的综合题 题型 4：直线方程的综合题 4． （08?江苏卷）在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P（0，p）在线 段 AO 上（异于端点） ，设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别交 AC , AB 于点 E ,F ，一同学已正确算的 OE 的 Ｂ． 2 x + y ? 1 = 0 Ｄ． x + 2 y ? 3 = 0
? 1 1? ?1 1? ? ? ?x+? ? ?y = 0 b c? ? p a? 方程? ，请你求 OF 的方程? 1 1? ?1 1? ? ? ?x+? ? ? y = 0 c b? ? p a? 答案?
___________________.
x y + =1 解析：直线 AB 的方程为 b a
x y + =1 c p 直线 CP 的方程为
? 1 1? ?1 1? ? ? ?x+? ? ? y = 0 c b? ? p a? ②-①得 ? ，
直 线 AB 与 CF 的 交 点 F 坐 标 满 足 此 方 程 ， 原 点 O 的 坐 标 也 满 足 此 方 程 ， 所 以 OF 的 方 程 为
? 1 1? ?1 1? ? ? ?x+? ? ? y = 0 ?c b? ? p a? .（若敢于类比猜想，交换 x 的系数中 b、c 的位置，便很快可得结果.）
题型 5：直线与直线的位置关系 5． （06? 福建） 已知两条直线 y = ax ? 2 和 y = ( a + 2) x + 1 互相垂直， a 等于 则 A．2 答案 D 解析：两条直线 y = ax ? 2 和 y = (a + 2)x +1互相垂直，则 a ( a + 2) = ?1 ，∴ a=－1，选 D. 题型 6：点与直线的位置关系
2 2 6 ． 06 ? 湖 南 ） 圆 x + y ? 4 x ? 4 y ? 10 = 0 上 的 点 到 直 线 x + y ? 14 = 0 的 最 大 距 离 与 最 小 距 离 的 差 是 （
) A．36 答案 C
2 2 解析：圆 x + y ? 4x ? 4y ?10 = 0 的圆心为(2，2)，半径为 3 2 ，
| 2 + 2 ?14| =2 5 x + y ?14= 0 的距离为 2 &3 2 ， 圆心到直线
圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 2 ，选 C. 题型 7：平行线间的距离 【例 7】 （07?四川）如图， 1 、 2 、 3 是同一平面内的三条平行直线， 1 与 2 间的距离是 1， 2 与 3 间的距离是 2， 正三角形 ABC 的三顶点分别在 1 、
上，则△ ABC 的边长是
A． 2 3 【答案】D
3 17 4 6 B． 3 C． 4
2 21 D． 3
【解析】过点Ｃ作 2 的垂线 4 ，以 2 、 4 为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系．设 A( a,1) 、 B (b, 0) 、 C (0, ?2) ，由
2 2 2 2 2 2 AB = BC = AC 知 (a ? b) + 1 = b + 4 = a + 9 = 边长 2 ，检验 A(a ? b) + 1 = b + 4 = a + 9 = 12 ，无解；
检验 B(a ? b) + 1 = b + 4
= a2 + 9 =
32 3 ，无解； 28 3 ，正确.
2 2 检验 D(a ? b) + 1 = b + 4
= a2 + 9 =
题型 8：动点的轨迹方程 8． （08?上海）如图，在平面直角坐标系中， ? 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C、D 的定圆 所围成的区域（含边界） ，A、B、C、D 是该圆的四等分点．若点 P ( x，y ) 、点 P ( x ，y ) 满足 x ≤ x′ 且 y ≥ y ，则称 P 优 于 P′ ． 如 果 ? 中 的 点 Q 满 足 不 存 在 ? 中 的 其 它 点 优 于 Q ， 那 么 所 有 这 样 的 点 Q 组 成 的 集 合 是 劣 弧 y ( ) A Ａ．弧 AB B．弧 BC C．弧 CD 答案 D D．弧 DA D O
解析：分别在弧 AB、弧 BC、弧 CD、弧 DA 上任意取一点 Q，只有在弧 DA 上的点 Q 满足不存在 ? 中的其它点优于 Q， 故选 D． 题型 9：圆的方程 9. (06? 重庆)以点 （2， －1） 为圆心且与直线 3 x ? 4 y + 5 = 0 相切的圆的方程为
2 2 A． ( x ? 2) + ( y + 1) = 3 2 2 C． ( x ? 2) + ( y + 1) = 9 2 2 B． ( x + 2) + ( y ? 1) = 3 2 2 D． ( x + 2) + ( y ? 1) = 3
答案 C 解析 r =
|3 × 2－4 × 1）＋5| （－ 32＋42
＝3，故选 C.
? x = 1 + cos θ ? y = ?2 + sin θ （ θ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围 10.。（08?福建)若直线 3x+4y+m=0 与圆 ?
是 . 解析：将圆化成标准方程得
( x ? 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 ，圆心 (1,?2) ，半径 r = 1 . 直线与圆相离，
3 ? 1 + 4 ? (?2) + m
，∴ m & 0或m & 10 .
10题型 10：直线与圆的位置关系 11.（09?辽宁）已知圆 C 与直线 x－y＝0 及 x－y－4＝0 都相切，圆心在直线 x＋y＝0 上，则圆 C 的方程为 （ ）
2 2 A. ( x + 1) + ( y ? 1) = 2 2 2 B. ( x ? 1) + ( y + 1) = 2
( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 2
2 2 D. ( x + 1) + ( y + 1) = 2
答案 B 解析：圆心在 x＋y＝0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. 题型 11：圆与圆的位置关系 1112． （07?山东）与直线 x + y ? 2 = 0 和曲线 x + y ? 12 x ? 12 y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是
2 2 答案 ( x ? 2) + ( y ? 2) = 2
【解析】曲线化为
( x ? 6) + ( y ? 6) = 18 ，其圆心到直线 x + y ? 2 = 0 的距离为
所求的最小圆的圆心在直线 y= x 上，其到直线的距离为
2 ， 圆 心 坐 标 为 (2, 2). 标 准 方 程 为
( x ? 2)2 + ( y ? 2) 2 = 2 .
【重点方法提炼】在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面重点方法提炼】在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：
（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围． （2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴 上的“截距相等” “截距互为相反数” “在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的 m 倍（m＞0） ”等时，采用截距 式就会出现“零截距” ，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解． （3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率” ，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的 切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率 两种情况进行讨论． （4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质， 这样可以使问题简化． （5） 对独特的数学方法――坐标法要引起足够重视． 要注意学习如何借助于坐标系， 用代数方法来研究几何问题， 体会这种数形结合的思想． （6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数 问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终． 1.（2004 年湖北，文 2）已知点 M1（6，2）和 M2（1，7） ，直线 y=mx－7 与线段 M1M2 的交点 M 分有向线段 M1M2 的比为 3∶2，则 m 的值为 A.－
3 解析：设 M（x，y） ，点 M 分 M1M2 所成比为λ= . 得 x= 2
3 3 6+ ×7 2 =3，y= 2 =5. 代入 y=mx－7，得 m=4. 3 3 1+ 1+ 2 2 6+
答案：D 2.（2003 年辽宁）在同一直角坐标系中，表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是
解：根据 a 的符号和表示直线的位置特征，显见 C 正确，因为当 a&0 时，y=ax 表示过原点且下降的直线，y=x+a 表示纵截距小于零且上升的直线.故选 C. 答案：C 3.（2005 年春季北京，6）直线 x+ 3 y－2=0 被圆（x－1）2+y2=1 所截得的线段的长为 A.1 B. 2 C. 3 D.2
解析：圆心（1，0） ，r=1 到直线 x+ 3 y－2=0 的距离 d=
|1 + 0 ? 2 | 12 + ( 3 ) 2
1 1 3 . 则 弦长= .∴弦长为 3 . 2 2 2
答案：C 4.（2004 年湖北，4）圆 C1：x2+y2+2x+2y－2=0 与圆 C2：x2+y2－4x－2y+1=0 的公切线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 答案：B 5.（2004 年天津，理 7）若 P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 A.x－y－3=0 B.2x+y－3=0 C.x+y－1=0 D.2x－y－5=0 2 2 解：由（x－1） +y =25 知圆心为 Q（1，0）.据 kQP?kAB=－1， ∴kAB=－
=1（其中 kQP=
?1? 0 =－1）. 2 ?1
∴AB 的方程为 y=（x－2）－1=x－3，即 x－y－3=0. 答案：A 6. 2002 年全国新课程） （ 平面直角坐标系中， 为坐标原点， O 已知两点 A （3， 、 （－1， ， 1） B 3） 若点 C 满足 OC =α OA +
β OB ，其中α、β∈R，且α+β=1，则点 C 的轨迹方程为
A.（x－1）2+（y－2）2=5 B.3x+2y－11=0 C.2x－y=0 D.x+2y－5=0
解析：设 C 点坐标为（x，y） ，则 OC =（x，y） OA =（3，1） OB =（－1，3） ， ， ， 所以（x，y）=α? （3，1）+β? （－1，3）=（3α－β，α+3β）. x=3α－β， 所以 y=α+3β，
3x + y ， 10
3y ? x 3x + y 3 y ? x . 因为α+β=1，所以 + =1，即 x+2y－5=0.故选 D. 10 10 10 7.把直线 x－2y+λ=0 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得直线正好与圆 x2+y2+2x－4y=0 相切，则实 数λ的值为 A.3 或 13 B.－3 或 13 C.3 或－13 D.－3 或－13 解析：直线 x－2y+λ=0 按 a=（－1，－2）平移后的直线为 x－2y+λ－3=0，与圆相切，易得λ=13 或 3. 答案：A 8.（2004 年春季北京）若直线 mx+ny－3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点，则 m、n 满足的关系式为____________；以
（m，n）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆
x2 y2 + =1 的公共点有____________个. 7 3
解析：将直线方程代入圆方程中“Δ＜0”即可. 答案：0＜m2+n2＜3 2 9.（2001 年上海，理）已知两个圆：①x2+y2=1；②x2+（y－3）2=1，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.将 上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例. 推广命题为____________. 解析：设两圆方程为（x－a）2+（y－b）2=r2①和（x－c）2+（y－d）2=r2.② 由①－②得两圆的对称轴方程为 2（c－a）x+2（d－b）y+a2+b2－c2－d2=0. 所以推广命题为：已知两个圆：①（x－a）2+（y－b）2=r2；②（x－c）2+（y－d）2=r2. 则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程. 答案：已知两个圆：①（x－a）2+（y－b）2=r2；②（x－c）2+（y－d）2=r2.则由①式减去②式可得两圆的对称轴 方程.
2 2 2 2 ， 10.已知两圆 x + y = 10 和 ( x ? 1) + ( y ? 3) = 20 相交于 A B 两点，则直线 AB 的方程是
答案x + 3 y = 0
2 2 11．圆 x + y ? 2 x ? 1 = 0 关于直线 2 x ? y + 3 = 0 对称的圆的方程是（
( x + 3 ) 2 + ( y ? 2) 2 =
( x ? 3 ) 2 + ( y + 2) 2 =
2 2 Ｃ． ( x + 3 ) + ( y ? 2) = 2
2 2 Ｄ． ( x ? 3 ) + ( y + 2) = 2
， 12． 圆心为 (11) 且与直线 x + y = 4 相切的圆的方程是
( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 2
13．若 x，y 满足约束条件 (A) （ ?1 ，2 ）
?x + y ≥ 1 ? ? x ? y ≥ ?1 ?2 x ? y ≤ 2 ?
，目标函数 z = ax + 2 y 仅在点（1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围是 (C) (?4, 0] (D) ( ?2, 4)
y I 4 I1 3 G1
(B) （ ?4 ，2 ）
B1 答案：B 解析：根据图像判断，当 a=0 时，显然成立；当 a&0 时，直线 ax+2y-z=0 的斜率
k=-a/2&kAC= -1,a&2;当 a&0 时，k=-a/2&kAB=2,a&-4,综合得 a 的取值范围是（ ?4 ，2 ）
2 1 0 1 2 3 4 G x
14 ． 2008 全 国 2 ， 11 ） 等 腰 三 角 形 两 腰 所 在 直 线 的 方 程 分 别 为 x + y ? 2 = 0 与 （
x ? 7 y ? 4 = 0 ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（
A．3 B．2 C． ?
15.（2010 福建，8）设不等式组
所表示的平面区域是 ?1 ，平面区域 ?2 与 ?1 关于直线 3x-4y-9 对称。
对于 ?1 中的任意点 A 与 ?2 中的任意点 B，OABO的最小值等于 A.
? x + 3 y ? 3 ≥ 0, ? 16． （2010 浙江，7）若实数 x, y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ≤ 0, 且 x + y 的最大值为 9，则实数 m = ? x ? my + 1 ≥ 0, ?
（A）-2 （B）-1 （C）1 （D）2
17． （2009 安徽 7）若不等式组 ? x + 3 y ≥ 4 所表示的平面区域被直线 y = kx + 分为面积相等的两部分，则 k 的值是 ? 3
?3x + y ≤ 4 ?
?2 x + y ≥ 4, ? 18. (2009 宁夏海南 6)设 x, y 满足 ? x ? y ≥ 1, 则 z = x + y ? x ? 2 y ≤ 2, ?
（A）有最小值 2，最大值 3 （C）有最大值 3，无最小值 （B）有最小值 2，无最大值 （D）既无最小值，也无最大值
【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由 z＝x＋y，得 y＝－x＋z，令 z＝0，画出 y＝－x 的图象，当它的 平行线经过 A（2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B
?x + y ?1 ≥ 0 ? 19．(2009 福建 9)在平面直角坐标系中，若不等式组 ? x ? 1 ≤ 0 （ α 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 2， ?ax ? y + 1 ≥ 0 ?
则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m
【解析】 如图可得黄色即为满足 x ? 1 ≤ 0与x + y ? 1 ≥ 0的可行域，而ax ? y + 1 = 0 的 直线恒过（0，1） ，故看作直线绕点（0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封闭区域， 当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是
3 ；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选 D. 2
20．(2008 山东 11)已知圆的方程为 x 2 + y 2 ? 6 x ? 8 y = 0. 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD， 则四边形 ABCD 的面积为 （A）10 6 （B）20 6 （ ） （D）40 6
21．(2010 江苏 9)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x 2 + y 2 = 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1， 则实数 c 的取值范围是_________ 【解析】考查圆与直线的位置关系。圆半径为 2，
圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1，
|c| & 1 ， c 的取值范围是（-13，13） 。13
22． （2009， 上海， 已知双曲线 C 的中心是原点， 22） 右焦点为 F 的直线 l 的方向向量 e = (1, k ) 。（1） 求双曲线 C 的方程；
3， ， 0 一条渐近线 mx+ 2 y = 0 ,设过点 A (?3 2, 0)
（2） 若过原点的直线 a // l ，且 a 与 l 的距离为 6 ，求 K 的值； （3） 证明：当 k &
2 时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6 . 2
【解析】 （1）设双曲线 C 的方程为 x 2 ? 2 y 2 = λ (λ & 0)
x2 ∴ λ + = 3 ，解 λ = 2 双曲线 C 的方程为 ? y 2 = 1 2 2
（2）直线 l kx ? y + 3 2k = 0 ，直线 a kx ? y = 0 由题意，得
| 3 2k | 1+ k 2
= 6 ，解得 k = ±
（3） 【证法一】设过原点且平行于 l 的直线 b kx ? y = 0
则直线 l 与 b 的距离 d = 直线 b 的右下方，∴ 到直线 l 的距离为 6
3 2|k| 1+ k 2
2 时， & 6 又双曲线 C 的渐近线为 x ± 2 y = 0 ∴ 双曲线 C 的右支在 d 2
双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 。故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ，使之
【证法二】假设双曲线 C 右支上存在点 Q ( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ，
? | kx0 ? y0 + 3 2k = 6 (1) ? 则? 1+ k 2 ? 2 2 (2) ? x0 ? 2 y0 = 2
由（1）得 y0 = kx0 + 3 2k ± 6 ? 1 + k 2 设 t = 3 2k ± 6 ? 1 + k ，当 k &
2 2 时， t = 3 2k + 6 ? 1 + k & 0 ； 2 2k 2 ? 1
t = 3 2k + 6 ? 1 + k 2 = 6 ×
3k 2 + 1 + k 2
将 y0 = kx0 + t 代入（2）得 (1 ? 2k ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t + 1) = 0 ∵ k &
2 ,t & 0 ， 2
∴1 ? 2k 2 & 0, ? 4kt & 0, ? 2(t 2 + 1) & 0
∴ 方程 (*) 不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ，使之到直线 l 的距离为 6
圆的切线方程圆的切线方程 (x-a)(x 0 -a)+(y-b)(y 0 -b)=r
2 2 椭圆的切线方程 (x?x 0 )/a + (y?y 0 )/b =1.
双曲线的切线方程(x?x 0 )/a - (y?y 0 )/b =1. 双曲线的切线方程 抛物线切线方程 y?y 0 = p?（x+x 0 ）
【高考实战演习】 高考实战演习】
一．选择题 1． （09?湖南重点中学联考）过定点 P ( 2,1) 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴正向于 A、B 两点，若使△ABC（O 为 坐标原点）的面积最小，则 l 的方程是 A. x + y ? 3 = 0 B. x + 3 y ? 5 = 0 （ ） C. 2 x + y ? 5 = 0 D. x + 2 y ? 4 = 0
2． （09?湖北重点中学联考）若 P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 （ ） A.x－y－3=0 B.2x+y－3=0 C.x+y－1=0 D.2x－y－5=0 3.（09?陕西）过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x + y ? 4 y = 0 所截得的弦长为（
4.（09?宁夏海南）已知圆 C1 ( x + 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 = 0 对称，则圆 C2 的方程 为 ( )
A. ( x + 2) + ( y ? 2) =1
B. ( x ? 2) + ( y + 2) =1 C. ( x + 2) + ( y + 2) =1
D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
5.（09?重庆）直线 y = x + 1 与圆 x 2 + y 2 = 1 的位置关系为
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 6.（09?重庆）圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为 A． x 2 + ( y ? 2) 2 = 1 B． x 2 + ( y + 2) 2 = 1
） D． x 2 + ( y ? 3) 2 = 1
C． ( x ? 1) 2 + ( y ? 3) 2 = 1
7 ．（ 08 ? 湖 北 ） 过 点 A(11, 2) 作 圆 x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y ? 164 = 0 的 弦 ， 其 中 弦 长 为 整 数 的 共 有 （ ） A.16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条
8． （08?北京）过直线 y = x 上的一点作圆 ( x ? 5) 2 + ( y ? 1) 2 = 2 的两条切线 l1，l2 ，当直线 l1，l2 关于 y = x 对称时， 它们之间的夹角为 A． 30 B． 45 C． 60 D． 90 （ ）
二．填空题 9． （07?上海）已知 l1 2 x + my + 1 = 0 与 l2 y = 3 x ? 1 ，若两直线平行，则 m 的值为____________. 10.（08? 天津）已知圆 C 的圆心与点 P ( ?2,1) 关于直线 y = x + 1 对称．直线 3 x + 4 y ? 11 = 0 与圆 C 相交于 A, B 两 点，且 AB = 6 ，则圆 C 的方程为____________． 11.（09?四川）若⊙ O1 x + y = 5 与⊙ O2 ( x ? m) + y = 20( m ∈ R ) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的
切线互相垂直，则线段 AB 的长度是
12.（09?全国）若直线 m 被两平行线 l1 x ? y + 1 = 0与l2 x ? y + 3 = 0 所截得的线段的长为 2 2 ，则 m 的倾斜 角可以是① 15 ② 30
③ 45 ④ 60 ⑤ 75 其中正确答案的序号是
.（写出所有正确答案的序号）
13.（09?天津）若圆 x + y = 4 与圆 x + y + 2ay ? 6 = 0 （a&0）的公共弦的长为 2 3 ，则 a=___________ . 14． （09?辽宁）已知圆 C 与直线 x－y＝0 及 x－y－4＝0 都相切，圆心在直线 x＋y＝0 上，则圆 C 的方程为 _____________. 三．解答题 15． （09?广西重点中学第一次联考）设直线 l 过点 A（2，4） ，它被平行线 xCy +1=0 与 x-y-l=0 所截得的线段 的中点在直线 x+2y-3=0 上，求直线 l 的方程.
16． （08?北京）已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x 2 + 3 y 2 = 4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1． （Ⅰ）当直线 BD 过点 (0， 时，求直线 AC 的方程； 1) （Ⅱ）当 ∠ABC = 60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值． 17． （08? 江苏） 设平面直角坐标系 xoy 中， 设二次函数 f ( x ) = x + 2 x + b ( x ∈ R ) 的图象与两坐标轴有三个交点，
经过这三个交点的圆记为 C．求（Ⅰ）求实数 b 的取值范围； （Ⅱ）求圆 C 的方程； （Ⅲ）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论． 18．(08?海淀一模)如图，在平面直角坐标系中，N 为圆 A( x + 1) 2 + y 2 = 16 上的一动点，点 B（1，0） ，点 M 是 BN 中点，点 P 在线段 AN 上，且 MP ? BN = 0. （Ⅰ）求动点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）试判断以 PB 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 =4 的位置关系，并说明理由. 19． （08?年西城一模）在面积为 9 的 ?ABC 中， tan ∠BAC = ?
∠BAC 的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系，如图所示.
4 ，且 CD = 2 DB .现建立以 A 点为坐标原点，以 3
（Ⅰ）求 AB、AC 所在的直线方程； (Ⅱ)求以 AB、AC 所在的直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程； (Ⅲ)过 D 分别作 AB、AC 所在直线的垂线 DF、DE（E、F 为垂足） ，求 DE ? DF 的值. 20.（08?朝阳一模）已知点 A, B 分别是射线 l1 y = x ( x ≥ 0 ) ， l2 y = ? x
( x ≥ 0 ) 上的动点， O 为坐标原点，且 ?OAB
（Ⅱ）过点 N ( 0, 2 ) 作直线 l ，与曲
的面积为定值 2．
(Ⅰ）求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程；
线 C 交于不同的两点 P, Q ，与射线 l1 , l2 分别交于点 R, S ，若点 P, Q 恰为线段 RS 的两个三等分点，求此时直线 l 的方 程．
一．选择题 1． 答案】D 【答案】 【解析】由题设，可知 S ?ABC = 解析】 解析
1 2 1 ab ，且 + = 1 ， 2 a b
∴ ab = a + 2b ≥ 2 a ? 2b = 2 2 ? ab ? 当且仅当 ?
ab ≥ 2 2 ? ab ≥ 8.
?a = 2b ?a = 4 x y ?? 时， ab = 8 .∴ l 的方程为+ = 1 ? x + 2 y ? 4 = 0. ∴应选D. 4 2 ?2b + a = ab ?b = 2
2． 答案】A 【答案】 【解析】由（x－1）2+y2=25 知圆心为 Q（1，0）.据 kQP?kAB=－1， 解析】 解析 ∴kAB=－
=1（其中 kQP=
?1? 0 =－1）. 2 ?1
∴AB 的方程为 y=（x－2）－1=x－3， 即 x－y－3=0.∴ 应选 A. 3. 【答案】D 答案】 【解析】直线方程 y = 解析】 解析
3 x ,圆的方程为x 2 + ( y ? 2) 2 = 4 3×0?2 ( 3) + (?1)
∴ 圆心 (0, 2) 到直线的距离 d =
4.【答案】B 【答案】
= 1 ，由垂径定理知所求弦长为 d * = 2 22 ? 12 = 2 3 ，选 D.
? a ?1 b +1 ? 2 ? 2 ?1 = 0 ? 解析】 ，则依题意，有 ? ， 【解析】设圆 C2 的圆心为（a，b） ? b ? 1 = ?1 ? a +1 ?
?a = 2 ，对称圆的半径不变，为 1. ?b = ?2
5.【答案】B 答案】 答案 【解析】圆心 (0, 0) 为到直线 y = x + 1 ，即 x ? y + 1 = 0 的距离 d = 解析】
1 2 = ， 2 2
而0 & 6.【答案 答案】A 答案
2 & 1 ，选 B. 2
【解法 解法】设圆心坐标为 (0, b) ，则由题意知 (o ? 1) + (b ? 2) = 1 ，解得 b = 2 ， 解法
故圆的方程为 x 2 + ( y ? 2) 2 = 1 . 7． 答案】C 【答案】 【解析】由已知得圆心为 P(-1，2)，半径为 13，显然过 A 点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为 26， 解析】
过 A 点的弦长中最短的是过 A 点且垂直于线段 PA 的弦， 也只有一条， 其长度为 10 PA 的长为 12， （ 弦长=2 13 ? 12 =10） ，
而其它的弦可以看成是绕 A 点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过 A 点的直径对称， 所以所求的弦共有 2（26-10-1）+2=32．故选 C． 8． 答案】C 【答案】 ，半径 【解析】此圆的圆心为 C（5，1） 解析】
r = 2 .设直线 l y = x 上的点 P 符合要求，连结 PC，则由题意知 PC ⊥ l ，
=2 2. 2 .在 Rt?PAC 中，
设 l2 与⊙ C 切于点 A，连结 AC，则 AC =
1 ，∴ ∠APC = 30° ， 2
∴l1 与 l2 的夹角为 60°. 故选 C. 二．填空题 9． 答案】 ? 【答案】
2 3 2 m 1 2 解析】 = ≠ ?m=? . 【解析】 3 ?1 ?1 3
10.【答案】 x 2 + ( y + 1) 2 = 18 . 【答案】
2 2 2 【解析】圆 C 的圆心与 P（－2,1）关于直线 y=x+1 对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为 x + ( y + 1) = R . 设 AB 解析】
中点为 M，连结 CM、CA，在三角形 CMA 中
3 × 0 + 4 × (?1) ? 11 = 3, 5 又 | AM |= 3, CM = ∴ R 2 = CM + MA = 32 + 32 = 18,
故圆的方程为 x 2 + ( y + 1) 2 = 18. 11.【答案】4 【答案】 【解析】由题知 O1 ( 0,0), O 2 ( m ,0) ， 解析】 解析 且 5 &| m |& 3 5 ，又 O1 A ⊥ AO 2 ， 所以有 m 2 = ( 5 ) 2 + ( 2 5 ) 2 = 25 ? m = ±5 ∴ AB = 2 ? 12.【答案】①或⑤ 【答案】 【解析】两平行线间的距离为 d = 解析】 解析
5 ? 20 = 4. 5
| 3?1| 1+1
= 2 ，由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30 o ， l 1 的倾斜角为 45 o ，
所以直线 m 的倾斜角等于 30 + 45 = 75 或 45 ? 30 = 15 .
o 0 0 o 0 0
13.【答案】1 答案】 答案 【解析】由知 x 2 + y 2 + 2ay ? 6 = 0 的半径为 6 + a , 解析】 解析
6 + a 2 ? ( ? a ? 1) 2 = ( 3 ) 2 解之得 a = 1 .
14． 答案 ( x ? 1) + ( y + 1) = 2 【答案 答案】
【解析 解析】圆心在 x＋y＝0 上,结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. 解析 三．解答题 15． 答案】3x-y-2=0 【答案】 【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的中点一定在 y=x 上，将 x+2y-3=0 与 y=x 联立构成方程 解析】 解析 组解得交点的坐标为（1，1）点，又由直线 l 过点 A（2，4）由两点式得直线 l 的方程为：3x-y-2=0. 16． 解析】 【解析 （Ⅰ）由题意得直线 BD 的方 解析】 程为 y = x + 1 ．因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ⊥ BD ．于是可设直线 AC 的方程为 y = ? x + n ．
? x 2 + 3 y 2 = 4， 2 2 得 4 x ? 6nx + 3n ? 4 = 0 ． ? y = ?x + n
因为 A，C 在椭圆上， 所以 ? = ?12n + 64 & 0 ，
4 3 4 3 &n& ． 3 3
设 A，B 两点坐标分别为 ( x1，y1 )， 2，y2 ) ， (x
3n 3n 2 ? 4 ， x1 x2 = ， y1 = ? x1 + n ， y2 = ? x2 + n ． 则 x1 + x2 = 2 4
所以 y1 + y2 =
所以 AC 的中点坐标为 ?
? 3n n ? ，?． ? 4 4?
由四边形 ABCD 为菱形可知， 点?
? 3n n ? ， ? 在直线 y = x + 1 上， ? 4 4?
n 3n = + 1 ，解得 n = ?2 ． 4 4
所以直线 AC 的方程为 y = ? x ? 2 ， 即x+ y+2 =0．
（Ⅱ）因为四边形 ABCD 为菱形， 且 ∠ABC = 60 ， 所以 AB = BC = CA ． 所以菱形 ABCD 的面积 S =
3 2 AC ． 2
由（Ⅰ）可得 AC = ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) =
?3n 2 + 16 2
? 4 3 3 4 3? (?3n 2 + 16) ? ? &n& ?． ? ? 4 3 3 ? ?
所以当 n = 0 时，菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 ． 17． 解析 【解析 解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令 x ＝0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b） ；令 f ( x ) = x + 2 x + b = 0 ，
由题意 b≠0 且Δ＞0，解得 b＜1 且 b≠0． （Ⅱ）设所求圆的一般方程为x + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ，
令 y ＝0 得 x + Dx + F = 0 ．
这与 x + 2 x + b ＝0 是同一个方程，
故 D＝2，F＝ b ． 令 x ＝0 得 y 2 + Ey ＝0，此方程有一个根为 b，代入得出 E＝DbD1． 所以圆 C 的方程为
x 2 + y 2 + 2 x ? (b + 1) y + b = 0 .
（Ⅲ）圆 C 必过定点（0，1）和（－2，1） ． 证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程， 左边＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆 C 必过定点（0，1） ． 同理可证圆 C 必过定点（－2，1） ．
18． 解析】由点 M 是 BN 中点， 【解析 解析】 又 MP ? BN = 0 ，可知 PM 垂直平分 BN.所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|， 所以|PA|+|PB|=4. 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为
x2 y2 + = 1， a2 b2
由 2a=4，2c=2，可得 a2=4，b2=3.
x2 y2 动点 P 的轨迹方程为 + = 1. 4 3
（II）设点 P ( x0 , y 0 ), PB 的中点为 Q， 则 Q(
x0 + 1 y 0 , )， 2 2
2 | PB |= ( x0 ? 1) 2 + y0 2 = x0 ? 2 x0 + 1 + 3 ?
1 2 1 x0 ? 2 x0 + 4 = 2 ? x0 . 4 2 x0 + 1 y 0 1 , ) ，半径为 r1 = 1 ? x0 ， 2 2 4
即以 PB 为直径的圆的圆心为 Q (
又圆 x 2 + y 2 = 4 的圆心为 O（0，0） ，半径 r2=2， 又 | OQ |=
x0 + 1 2 y0 2 ) ?( ) 2 2
1 2 1 1 1 3 2 x0 + x0 + + (3 ? x0 ) 4 2 4 4 4 1 2 1 1 x0 + x0 + 1 = 1 + x0 . 16 2 4
故|OQ|=r2－r1，即两圆内切.
19． 解析】 【解析 （Ⅰ）设 ∠CAx = α 解析】 则由 tan ∠BAC = tan 2α
2 tan α 4 =? . 2 1 ? tan α 3 ∵ α 为锐角，∴ tan α = 2 ， ∴ AC 所在的直线方程为 y=2x =
AB 所在的直线方程为 y= -2x （Ⅱ）设所求双曲线为 4 x 2 ? y 2 = λ , (λ ≠ 0 )
设 C ( x1 , y1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ( x1 & 0, x 2 & 0 ) ， 由 CD = 2 DB 可 D?
? x1 + 2 x 2 2 x1 ? 4 x 2 ? , ? 3 3 ? ?
? x + x 2 ? ? 2 x1 ? 4 x 2 ? ∴ 4? 1 ? ?? ? =λ， 3 ? 3 ? ? ?
32 4 x1 x 2 = λ ,由 tan ∠BAC = ? ， 9 3 4 可得 sin ∠BAC = ，又∵ AB = 5x1 ， AC = 5x 2 ， ( x1 x 2 & 0 ) 5
∴ S ?ABC =
1 AB AC sin ∠BAC 2 1 4 = ? 5 ? x1 x2 ? = 2 x1 x2 = 9. 2 5 9 ，代入（1）得 λ = 16 ， 2 x2 y2 ? =1 4 16
即 x1 x 2 =
∴双曲线方程为
（Ⅲ）由题设可知 & DE , DF &= π ? ∠BAC ， ∴ cos & DE , DF & = cos(π ? ∠BAC ) =
x y 设点 D 为 ( x 0 , y 0 ) ，则 0 ? 0 = 1 4 16
又点 D 到 AB，AC 所在直线距离
2 x0 + y 0 5 ×
2 x0 ? y 0 5
， DE ? DF = DE ? DF ? cos & DE, DF &
2 x0 ? y 0 5
2 x0 + y0 5
3 48 × = . 5 25
20.【解析】 解析】 解析 （I）由题可设 A ( x1 , x1 ) ，
B ( x2 , ? x2 ) ， M ( x, y ) ，其中 x1 & 0, x2 & 0 .
x1 + x2 ? ?x = 2 , ? 则? ? y = x1 ? x2 , ? ? 2
∴ S ?OAB =
∵ ?OAB 的面积为定值 2，
1 1 OA ? OB = 2 2
= x1 x2 = 2. (1)2 ? (2) 2 ，消去 x1 , x2 ，得 x 2 ? y 2 = 2 ．
由于 x1 & 0, x2 & 0 ，∴ x & 0 ，所以点 M 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 = 2 （ x & 0 ） ． （II）依题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y = kx + 2 ．
? y = kx + 2,
? x ? y = 2,
消去 y 得 1 ? k 2 x 2 ? 4kx ? 6 = 0 ，
设点 P 、 Q 、 R 、 S 的横坐标分别是 xP 、 xQ 、 xR 、 xP ，∴由 xP , xQ & 0 得
?1 ? k 2 ≠ 0, ? 2 2 ?? = 16k + 24 (1 ? k ) & 0, ? ? x + x = 4k & 0, ? P Q 1? k 2 ? ?6 ? xP xQ = & 0, ? 1? k 2 ?
解之得? 3 & k & ?1 ． ∴ xP ? xQ
( xP + xQ ) ? 4 xP xQ =
2 6 ? 2k 2 . k 2 ?1
? y = kx + 2, 2 消去 y 得xR = ， 1? k ? y = x, ? y = kx + 2, 2 消去 y 得xS = ， ?1 ? k ? y = ? x,
∴ xR ? xS =
由于 P, Q 为 RS 的三等分点， ∴ xR ? xS = 3 xP ? xQ . 解之得 k = ?
5 . 3 5 x+2. 3
经检验，此时 P, Q 恰为 RS 的三等分点，故所求直线方程为 y = ?
本文标题：直线和圆的方程