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为兴趣而生，贴吧更懂你。或浅谈高三学生数学解题中存在的问题；摘要：学数学最直接的表现就是做数学题；关键词：反思能力新教材思维发展过程解题教学；高三学生通过两年多的学习，对于高中数学的学习方法；一是只管做题目，像猴子摘玉米，过一段时间又不知其；二是遗忘快，学了后面忘了前面；我认为在要求学生解题时，应鼓励学生自我探索，发现；高中数学解题分为四个步骤：（1）弄清问题；（2）；解题出错的原因
浅谈高三学生数学解题中存在的问题
摘要：学数学最直接的表现就是做数学题。数学解题是巩固知识，运用知识解决问题，提高能力的重要途径。也是考察学生数学成绩的主要手段。
关键词：反思能力
过程解题教学
高三学生通过两年多的学习，对于高中数学的学习方法或多或少都有些体会和积累了。他们所面临的问题，也是最困惑他们的问题是：明明会的题，为什么做不对？学生们常常看着不理想的分数沮丧的说：我太粗心了！但事实是，真的是因为他们太粗心吗？我从自己在高三这几年的教学实践出发对导致学生解题错误的情况做了个分析，出现频率较高的主要有以下：
一是只管做题目，像猴子摘玉米，过一段时间又不知其所以然。这类学生往往比较刻苦，只注重做题的数量，而不重视做题的质量；只注重做题结果，而不重视解题的过程及解题后的反思。
二是遗忘快，学了后面忘了前面。这类学生往往只注重知识个体而忽略整体，没有系统性，数学学习靠记忆的成分多；只注重知识学习、注重当前效果，只顾“勇往直前”，却缺乏“回头看”。
我认为在要求学生解题时，应鼓励学生自我探索，发现规律，不断鼓励学生对讲评内容，尤其是自己出错的知识点进行“二次思维”。加深学生对该知识的印象，避免重蹈覆辙。因此，学生在解题中要具备反思的能力和养成反思的习惯，经常进行自我诊断和反思，引导学生反思是有效提高解题效率的重要措施。
高中数学解题分为四个步骤：（1）弄清问题；（2）拟定计划；（3）实施计划；（4）检验回顾。而不少同学在这四个步骤的三个步骤上都存在问题，导致他们解题错误。
解题出错的原因：读题不仔细，审题错误。
怎样才能审好题呢？我认为学生首先要把题目中每一个条件及条件之间的关系弄清楚。再根据条件逐一联想所学知识、方法、类似的题目、及注意点。这样才能发现题目中条件最集中的地方，条件相关的地方以及可以转化的地方，从而逐步入题，找到题目的关键点、突破口。因此，联系所学知识对审题很重要。通过有意识的联系与题目相关的知识、方法进而深入理解题目的本质，为下一步的展开作好准备。
例如1：已知函数f(x)?logax?3x?3。a?0且a?1.当x??m,n?时，f(x)的值域为
a与m的取值范围。 ?1?loga(n?1),1?loga(m?1)?。求实数
大部分学生看到题都会想到要通过函数单调性来解决定义域与值域两个端点的对应关系。然后，学生们都会通过讨论底数a来对函数的单调性进行讨论进而确定a的取值范围。至于m 的范围他们就不知如何入手了。事实上m 的范围就隐含在题目条件之中。学生就是因为审题不清才不知如何去做。由题意可知函数的定义域为???,?3??(3,??)。同时作为对数的真数m&1,n&1。本题中自变量x的范围必须是定义域???,?3??(3,??)的子集。所以m只能满足m&3。
原因二、数学概念不清，解题策略错误
学习数学离不开数学概念的学习，而数学中的概念反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系。在数学学习中，学生经常会遇到一些形似而质异的易混问题，如果概念不清，这样的题是非常容易错的。
例如2：函数f?x??x2?2x，若f(x)?a在?1,3?上有解，求实数a的取值范围。
解：因为f(x)&a 在?1,3?有解，所以只要a&?f(x)?max即可。
辨析：如果将上题改为f(x)?a在?1,3?上恒成立，求a的取值范围。
那么这时应该是a??f(x)?min。貌似差不多的题，其实数学内涵完全不同，学生如果对于“恒
成立”和“有解”这两个数学概念理解错误的话，那整个题就会完全做错。
原因三：解题缺乏计划性
学生中比较普遍存在的情况是：解题就像脚踩西瓜皮，滑到哪里算哪里。尤其在解与三角有关的化简和证明题时，拿起一个三角公式就代，至于用公式的目的是什么，为了达到怎样的目标，是否与要解决的问题更接近了，类似于这样的思考在他们的解题过程中是从未有过的。导致的后果就是一堆公式代下来，做对了也不知道为什么会对，做错了更是不知错在哪里。其实，解题的过程是充满思考的过程。没有人能保证自己的解题思路一直是正确的。学生应该要学会根据已有的演算和推理结论去制定和调整下一步的解题计划。这对于提高解题正确率意义重大。
例3:已知sin??sin??2,cos??cos??2
33,求tan?tan?的值．
分析：怎样利用已知的二个等式？初看好象找不出条件和结论的联系．只好从未知tan?tan?入手，当然，首先想到的是把tan?、tan?分别求出，然后求出它们的乘积，这
cos?cos?是个办法，但是不好求；于是可考虑将tan?tan?写成
cos?cos?，转向求sin?sin?、．
这样把问题转化为下列问题：已知 sin??sin??2 ①，cos??cos??23
求cos(???)、cos(???)的值．
22①+②得2?2cos(???)?10
3,cos(???)?
1②2-①2得cos2??cos2??2cos(???)?
6132?3，cos(???)??． 这样问题就可以解决． 5
再如：已知sin(??)?,cos(?2?)?___
大多数学生想到的是展开求cos?,sin?，再用二倍角公式或直接用二倍角来解题。没有思
考角度之间的联系，若换位令6????，求出?????
62?，代入3?2????2?，题目将变
得一目了然。思考从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力．由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分．所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉。由此产生大量谬误，应该引起重视，加以克制，引以为戒。由此可见，解题反思的积极意义及其重要性，必须引起我们在教与学中的足够重视。审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提．审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力．要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的．
原因四：数学解题的常用方法应用不熟练
高中数学学了三年，对于一些常用的解题方法，大多数学生还是知道的。比如分类讨论，数形结合，等价转化，函数方程等。既然这样，可为什么题还是做不对呢？原因很简单，学生们在上课时只是看老师用这些方法很方便的解题。可是课后他们没有（或是没有能力）去想一想为什么可以用这些方法；什么时候能用，什么时候不适合用；我们知道要理解一种数学方法不难，难的是运用。所以学而不思的结果是很可怕的。如有关于方程的根的个数问题。零点个数问题等常用数形结合法，而方程有解或恒成立问题常用整体思想法。
例如4：已知a?0,a?1,求使方程loga(x?ak)?loga(x2?a2)有解的实数k的取值范围。 2
大部分学生都会选择通过解方程?x?x?ak?0?a?0?
?22?x?ak?x?a22来求k的范围。这种解法是可行的，但较
耗时，也容易做错。其实本题更适合用数形结合的方法，通过图像来解决。令y1?x?ak。令
y2?x?a22。一条曲线是斜率为1的直线。一条是x轴上方的双曲线。同时直线与双曲线
的渐进线平行。因此通过画图很快可知只有k&-1或0&k&1时两曲线才有交点。
原因五：不能正确解读数学符号，抓住问题的本质特征
数学难学的一个重要原因是因为数学是抽象的，而数学符号更是高度抽象。所以当一些数学问题充斥着数学符号时，学生就会完全没了解题思路，只能放弃。究其原因，我认为主要是学生不能通过符号抓住问题的本质特征，不能正确转化符号语言。
例如5：对于下面的命题：
（1）.若f(1-x)=f(x-1)，则f(x)是偶函数。(2）. 若f(x+1)=-f(x)，则f(x)是周期函数。
(3).若函数f(x+1)是偶函数，则f(x)的对称轴是x=1。(4). 函数f(x)?2x?3，f?1(x)是f(x）的反函数。若mn?16(m,n?R)。则f??1(m)?f?1(n）?-2。其中正确的命题是哪些？
对于这样的题，很多学生一点思路也没有，根本无从入手。之所以会这样，就是因为学生无法通过抽象的数学符号看到问题的本质特征。对于命题1：f(1-x)=f(x-1)这个代数式所表达的意思是自变量相反，函数值相同。符合偶函数定义。如果可以发现这个含义，自然可知该命题正确。对于命题2：f(x+1)=-f(x)所表示的本质含义是：自变量差一，函数值相反。那么
容易推得自变量差二，函数值相等。所以该函数的周期为2，命题正确。对于命题3：函数f(x+1)是偶函数即表示x=0为f(x+1)的对称轴。f(x+1)的图像右移一个单位可得f(x)的图像，所以对称轴也相应右移一个单位，因此x=1是f(x)的对称轴。该命题正确。对于命题4：学生只要抓住(a,b)在原函数上，(b,a)在反函数上就能顺利解题了。设点(m,p)和点(n,q)在反函数图像上，所求f-1(m)+f-1(n)的值就是p+q的值。而相应的(p,m),(q,n)在原函数图像上，所以mn=f(p)f(q),可得2p?q?6?16。所以p+q=-2。对于这样的题，学生只要透过表象，找出符号表达式里的数学内涵，解决问题就易如反掌了。
解题的正确率和解题速度直接影响学生的数学得分。学生做错题一定有原因。作为教师，我认为只有先弄清错误的原因，才能在教学中有的放矢，有效提高学生的数学能力。
因此在平时解题教学中,我们应对例题,习题,作业的学习应引导学生深入探究,展示通性,通法,从建构学的角度可以使学生做一个题,明白一类题,抓住一串题,培养学生的解题反思能力,达到举一反三目的.
例如6：（1）设点A，B的坐标分别为（－5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是?
949，求点M的轨迹方程。 （2）设点A，B的坐标分别为（－5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。学生很容易求出轨迹方程,若教师点评到此为止,则失去了课本两
题的典型性和示范性,其实老师可将本例加以改造,展示试题通性、通法,从而培养学生的反思能力。
改为1：:动点M到两点A(a,0)和B(-a,0)连线的斜率的乘积为定值k(k?0), 求动点M的轨
改为2：:动点M到两点A(0，a)和B(0，-a), （a&0）的连线斜率的乘积为定值k(k?0), 求
点M的轨迹?
改为3：:动点M到两点A(m,t)和B(n,t)的连线斜率的乘积为定值k(k?0), 求点M的轨迹?
通过对习题的归类、改造，揭示两题的本质，展示通性、通法，培养学生的反思能力，使学生的解题能力得到螺旋式上升。这样的反思有助于思维合理化、精确化、概括化。
解题教学中若能改变原题的结构或其他方面，往往可使一题变一串，有利于开阔眼界，拓展思路，提高应变能力，防止定势思维的负面影响，并要思考与该题同类的问题，进行对比，分析其解法，找出解答这一类题的技巧和方法。解题后要把解题中所联系到的基础知识与各知识有机地“串联”成知识线，“并联”成知识网，有利于提高分析和归纳的思维能力。
例7：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，恰好8次击中目标的概率？
分析：为了使学生深入理解，使学生处理这类独立重复试验问题不进入程式化硬套公式，我进行以下变式教学，引起学生反思，使学生对知识的深度有更细更好的理解。
变一：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求此人射击6次中3次命中且恰有2次连续命中目标的概率？
变二：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求此人射击6次中3次命中且不连续命中目标的概率？
分析：这是附带条件的独立重复试验问题，三题比较，反思本质，总结独立重复试验概率公式P（n=k）中，n次独立重复试验中这个事件恰好发生哪k次呢？它有几种可能的情况，由以上变式，使学生能通过反思，理解，在解决这类概率问题时，要注意k次有无限制条件，切忌硬套公式。
原因六：解题后不检验
很多学生都认为一道题只要算出结果，这道题就做好了。事实上正是因为有这样的想法使
得不少学生在解题上功亏一篑。在数学推演的过程中经常会出现这样一种情况：前一步和后一步之间并非是充分必要的，也就是我们常说的不等价。这种时候就需要对解题的结果进行检验。在解一些探索性的问题时，有时候我们往往先假设某个情况是存在的，然后通过一些特殊条件去待定未知数。这就需要检验解题结果，因为这个结果是在“假设存在”的前提条件下推导出的。至于是否真的存在还需要验证。
例如8：（1）求过A(1,2)且被A点平分的椭圆x2
2?y?1的弦所在直线方程。 2
直线与圆锥曲线位置关系的问题中，若涉及中点和斜率，可用点差法解决。但是用点差法的前提是所求直线与圆锥曲线有交点。所以解完后一定要验证。
本题中：设所求直线与椭圆的两交点B(x1,y1),C(x2,y2)，代入椭圆方程得：
（x1?x2）?（x1?x2)
2?(y1?y2）?（y1?y2)?0。所以1?4kBC?0。可得：kBC??14。因此，所
求直线方程为：x+4y+9=0。但是通过验证发现，该直线与已知椭圆没有交点。所以事实上符合题意的直线是不存在的。
总而言之，对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，有规律性的发现？能否形成独到的见解，有自己的小发明？点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累，更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量。
解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感。常此以往，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件。
参考文献：
[1]徐永忠．剖析错因,反思教学．数学通报，2003第12页.
[2]龙朝.数学中“悟”的教学策略探索.中学数学，2003年5期第36页.
[3]王长沛.数学教育与素质教育.2003第66页.
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