解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。
∵点O是△ABC的重心，
∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD，
∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，
△OPD∽△CA，= = ,&
（2）点O是是△ABC的重心。
证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知 ，
而 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；
（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别
与AC、AB交于点M、N，
∵点O是△ABC的重心，
∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB，
在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC，
在△AGH中，OM//AH，= ，
在△ACH中，ON//AH，= ，
∴ + = +=1，
+ =1,& + = 3 ,
令= m , = n , m=3-n,
mn-1=(3-n)n-1= -n2
+3n-1= -(n- )2 + ,
∴ 当 = n = ，GH//BC时， 有最大值 。
的另外两种证明方法的作图。
方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。
方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。
下面的图解也能说明问题：
请在这里输入关键词：
科目：初中数学
（;绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究四边形BCHGS△AGH的最大值．
科目：初中数学
来源：2013年初中毕业升学考试（四川绵阳卷）数学（解析版）
题型：解答题
（2013年四川绵阳14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．
科目：初中数学
题型：解答题
我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．
科目：初中数学
来源：2013年四川省绵阳市中考数学试卷（解析版）
题型：解答题
我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！的一个定理，经过一点的两条或多条直线与两条平行线相交，这一点与平行线交点所组成的线段对应的成比例（定理可能不是这么说的，但就是这个意思，知道你能看懂就不画图了）。
上面的都说反了，三角形相似是根据这个定量证出来的。
平行线分线段成比例定理，这里有三个链接，看看你有没有用。
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答案见附件
那不就是三个角都是相等的吗？
那还不是相似三角形是什么啊！
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(window.slotbydup=window.slotbydup || []).push({
id: '2081942',
container: s,
size: '1000,60',
display: 'inlay-fix'（2013o绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究四边形BCHG
的最大值．
（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论；
（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，=，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心；
（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出四边形BCHG
的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．
（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．
∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．
∴DE是中位线，
∴DE∥AC，且DE=AC．
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∵AD=AO+OD，
（2）答：点O是△ABC的重心．
证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．
由（1）可知，=，
∴点Q与点O重合（是同一个点），
∴点O是△ABC的重心．
（3）解：如答图3所示，连接DG．
设S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD，
∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．
为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，
∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．
设OH=koOG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．
∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．
∴四边形BCHG
如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．
∵OF∥BC，
∴OF=CD=BC；
∵GE∥BC，
∵OF∥GE，
∴k=，代入①式得：
四边形BCHG
===-x2+x+1=-（x-）2+，
∴当x=时，四边形BCHG
有最大值，最大值为．求三角形中一类线段之比的方法--《咸宁师专学报》1986年S1期
求三角形中一类线段之比的方法
【摘要】：正 在三角形中线段之比的问题,在国内外数学竞赛中常有出现。如果常规的求比例线段的一些方法不易凑效,而其他方法如三角法或解析法等又涉及知识较多且计算繁冗时,那么我们应用梅涅劳(Menelaus)定理及其推论和塞瓦(Ceva)定理等作为主要工具,则往往可以简化证明过程,给出较为巧妙的证法,下面叙述并举例说明它们的
【关键词】：
【正文快照】：
柏::舶肜rft戏之比的问题,存旧内0p数学矗《r『J常,“"鬯。如果常规的求比铡线段旧一r’警方法小易凑效,而』I地方汝如三角泼或解析豫等义涉他知汉较多儿计弹綮冗时,邢幺我ff』腹用悔渑劳(Menel州s0定理及其靠沦舯褒瓦i Ceva)定理等作为卜j蟹j:填,…住纯可以简化诩i明过r:!,
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