2014年高考数学信息试卷（一） 　　第Ⅰ卷（选择题共50分） 　　[HJ2.3mm]一、 　" />
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2014年高考数学信息试卷(一)
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　　2014年高考数学信息试卷（一） 中国论文网 /9/view-6261932.htm　　第Ⅰ卷（选择题共50分） 　　[HJ2.3mm]一、 　　选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 　　1.已知复数z=3+4i，z表示复数z的共轭复数，则i=（） 　　A.5B.5C.6D.6 　　2.下列说法中正确的是（） 　　A.若命题p为：对x∈R有x2>0，则p：x∈R使x2≤0； 　　B.若命题p为：1x-1>0，则p：1x-1≤0； 　　C.若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件； 　　D.方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是：a=±12 　　3.已知函数f（x）=sinx+acosx的图像关于直线x=5π3对称，则实数a的值为（） 　　A.-3B. -33C.2D.22 　　4.一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为（） 　　A.73πa2 　　B.2πa2 　　C.114πa2 　　D.43πa2 　　5.过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得OC=aOA+bOB（a、b∈R），则以下说法正确的是（） 　　A.点Pa，b一定在单位圆内 　　B.点Pa，b一定在单位圆上 　　C.点Pa，b一定在单位圆外 　　D.当且仅当ab=0时，点Pa，b在单位圆上 　　6.已知某四棱锥的三视图如下图所示，则此四棱锥的体积为（） 　　A.3B.4C.5D.6 　　7.已知函数f（x）=π4-sinx-π4+sinx，则一定在函数y=f（x）图像上的点是（） 　　A.x，f（-x） 　　B.x，-f（x） 　　C.π4-x，-f（x-π4） 　　D.π4+x，-f（π4-x） 　　8.在△ABC中，已知2acosB=c， sinAsinB（2-cosC）=sin2C2+12，则△ABC为（） 　　A.等边三角形 　　B.等腰直角三角形 　　C.锐角非等边三角形 　　D. 钝角三角形 　　9.（理）在Excel中产生[0，1]区间上均匀随机数的函数为“rand（）”，在用计算机模拟估计函数y=sinx的图像、直线x=π2和x轴在区间[0，π2]上部分围成的图形面积时，随机点（a1，b1）与该区域内的点（a，b）的坐标变换公式为（） 　　A.a=a1+π2，b=b1 　　B. a=2（a1-0.5），b=2（b1-0.5） 　　C.a∈（0，π2），b∈[0，1] 　　D.a=πa12，b=b1 　　（文）设a、b是正实数，以下不等式恒成立的序号为（） 　　①ab> 　　2aba+b，②a>|a-b|-b，③a2+b2>4ab-3b2，④ab+2ab>2 　　A.②③ B. ①④ C.①③ D.②④ 　　10.对于函数fx，若a，b，c∈R，fa，fb，fc都是某一三角形的三边长，则称fx为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是（） 　　A.fx=1x∈R不是“可构造三角形函数” 　　B.“可构造三角形函数”一定是单调函数 　　C.fx=1x2+1x∈R是“可构造三角形函数” 　　D.若定义在R上的函数fx的值域是e，e（e为自然对数的底数），则fx一定是“可构造三角形函数” 　　第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 　　二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 　　11.输入正整数n（n≥2）和数据a1，a2，…，an， 　　如果执行右图的程序框图，输出的s是数据a1，a2，…，an的平均数，则框图的处理框★中应填写的是。 　　12.（理）设a=∫π0（cosx-sinx）dx，则二项式（x2+ax）6展开式中的x3项的系数为。 　　（文）已知点（x，y）满足约束条件x+y-2≥03x-y-2≥0x≤3，则x2+y2的最小值是。 　　13.（理）数列{an}的项是由1或2构成，且首项为1，在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，即数列{an}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2014=。 　　（文）若{bn}是等比数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有正确的结论：（bpbn）m?（bmbp）n?（bnbm）p=1。类比上述性质，相应地，若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有正确的结论：。 　　14.已知直线：sinθax+cosθby=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题： 　　①当θ=π4时，S中直线的斜率为ba； 　　②S中所有直线均经过一个定点； 　　③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等； 　　④当a>b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b； 　　⑤S中的所有直线可覆盖整个平面。 　　其中正确的是（写出所有正确命题的编号）。 　　15.（理）选做题：本题共2小题，任选一题作答。 若做两题，则按第①题给分，共5分。 　　①直线l的参数方程是 　　x=22t
　　y=22t+42 　　（其中t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+π4），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是。 　　②若存在实数x，满足不等式|x-3|+|2x-10|<m2-m，则实数m的取值范围是。 　　（文）若不等式|x-2|-|x-3|≥k2-4kk+2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围。 　　三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程。 　　16.（本小题共12分） 　　（理）甲、乙两人参加某种选拔测试。在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的3道题。规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分最低为0分，至少得15分才能入选。 　　（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望； 　　（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率。 　　（文）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片。 　　（Ⅰ）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； 　　（Ⅱ）若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率。 　　17.（本小题满分12分） 　　在凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=3，P、Q为动点，且满足AP=PQ=QB=1。 　　（Ⅰ）写出cosA与cosQ的关系式； 　　（Ⅱ）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积。 　　18.（本小题满分12分） 　　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，E、F分别为PC、BD的中点。 　　（Ⅰ） 求证：EF//平面PAD； 　　（Ⅱ） 求证：面PAB⊥平面PDC； 　　（Ⅲ）（理）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为13？说明理由。 　　（文）求四面体PBEF的体积。 　　19.（本小题满分12分） 　　已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=45x的焦点，离心率是63。 　　（Ⅰ）求椭圆E的方程； 　　（Ⅱ）过点C（-1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A，B两点，请问x轴上是否存在点M，使MA?MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 　　20. （本小题满分13分） 　　数列{an}的各项均为非负实值，a1=0，对任意n∈N*，an+12-1=4an（an+1）都成立。 　　（Ⅰ）求数列an的通项an及前n项和Sn； 　　（Ⅱ）若bn=n4（an+1），求数列bn的前n项和Tn； 　　（理）（Ⅲ）是否存在最小正整数m，使得不等式∑nk=1k+2（Sk+k）?Tk+k+1<m对任意正整数n恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。 　　21.（本题满分14分） 　　（理）已知函数fx=[ax2+a-12x+a-a-12]ex（其中a∈R）。 　　（Ⅰ） 若x=0为fx的极值点，求a的值； 　　（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，解不等式fx>x-112x2+x+1； 　　（Ⅲ） 若函数fx在区间1，2上单调递增，求实数a的取值范围。 　　（文）已知函数g（x）=1xsinθ+lnx在[1，+∞）上为增函数，且0∈（0，π），f（x）=mx-m-1x-lnx（m∈R）。 　　（Ⅰ）求θ的值； 　　（Ⅱ）若f（x）-g（x）在 [1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围； 　　（Ⅲ）设h（x）=2ex，若[1，e]在上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）>h（x0）成立，求m的取值范围。 　　作者：梁懿涛（南昌市外国语学校） 　　责任编辑：蔡志敏 　　2014年高考数学信息试卷（一） 　　1.B2.C3.B4.A5.B6.B7.C8.B9.（理）D（文）D 　　10.D 　　11.（i-1）×s+aii 　　12.（理）-160（文）2 　　13.（理）3983（文）m（ap-an）+n（am-ap）+p（an-am）=0 　　14.③④ 　　15.（理）①26②m>2或m<-1 　　（文） 　　k<-2或1≤k≤2 　　16.（理）解：（Ⅰ）设乙得分为ξ，则ξ=0，15，30， 　　Pξ=0=C05C35C310+C15C25C310=112+512=12， 　　Pξ=15=C25C15C310=512，Pξ=30=C35C05C310=112。 　　ξ的分布列为： 　　ξ01530 　　P 　　Eξ=0×12+15×512+30×112=354 。 　　（Ⅱ）设“甲入选”为事件A，“乙入选”为事件B， 　　则PA==81125， 　　PA=1-， 　　PB=C25C15C310+C35C05C310=12， 　　PB=1-12=12， 　　所求概率P=1-P?=1-PP=103125。 　　（文）解：
　　（Ⅰ）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1，2，3）、（1，2，4）、（1，3，4）、（2，3，4），共4种，其中数字之和大于或等于7的是（1，2，4）、（1，3，4）、（2，3，4），共3种， 　　所以P（A）=34。 　　（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到2”，每次抽一张，连续抽取两张全部可能的结果有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4），共16个。其中事件B包含的结果有（1，2）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、（4，2），共7个， 　　所以P（B）=716。 　　17.解：（Ⅰ）由余弦定理，在△PAB中，PB2=PA2+AB2-2PA?AB?cosA=4-23cosA。在△PQB中，PB2=PQ2+QB2-2PQ?QB?cosQ=2-2cosQ。 　　所以4-23cosA=2-2cosQ，即cosQ=3cosA-1。 　　（Ⅱ） S=12PA?AB?sinA=3sinA2，T=12PQ?QB?sinQ=sinQ2。所以S2+T2=3sin2A4+sin2Q4= 　　3（1-cos2A）4+（1-cos2Q）4=-3cos2A2+3cosA2+34=-32（cosA-36）2+78。当cosA=36时，S2+T2有最大值78，此时SPABQ=S+T=11+34。 　　18.（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=F，ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点。所以在ΔCPA中，EF//PA。 又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF//平面PAD。 　　（Ⅱ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，CD⊥AD，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD。 又PA平面PAD，所以CD⊥PA。 　　又PA=PD=22AD，所以ΔPAD是等腰直角三角形，且∠APD=π2，即PA⊥PD。又CD∩PD=D， 　　且CD、PD面PDC，所以PA⊥面PDC。又PA面PAB， 所以面PAB⊥面PDC。 　　（Ⅲ） （理）如图，取AD的中点O，连结OP，OF， 　　因为PA=PD，所以PO⊥AD。 　　又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， 所以PO⊥平面ABCD。而O，F 　　分别为AD，BD的中点，所以OF//AB。 　　又ABCD是正方形，故OF⊥AD，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz， 　　如图所示，则有A（1，0，0），C-1，2，0，F（0，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1）。若在AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为13，连结PG，DG，设G（1，a，0）（0≤a≤2），则DP=（1，0，1），GD=（-2，-a，0）。由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为PA=（1，0，-1），设平面PGD的法向量为n=（x，y，z），则n?DP=0n?GD=0 ，即x+z=0-2x-ay=0 ，解得z=a2yx=-a2y 。令y=-2，得n=a，-2，-a，所以cos=n?PAnPA=2a2×4+2a2=13，解得a=12（舍去-12）。所以在线段AB上存在点G1，12，0（此时AG=14AB），使得二面角C-PD-G的余弦值为13。 　　（文）VP-EFB=VC-EFB=VE-CFB=18VP-ABCD=18×13×4×1=16。 　　19.解：（Ⅰ）根据条件可知椭圆的焦点在x轴， 　　且a=5，又c=ea=63×5=303， 　　故b=a2-c2=5-103=53， 　　故所求方程为x25+y253=1，即x2+3y2=5。 　　（Ⅱ）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1）， 　　代入E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0。设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=-6k23k2+1，x1x2=3k2-53k2+1。 　　MA?MB=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x1）+k2+m2=m2+2m-13-6m+143（3k2+1），要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=-73，存在点M（-73，0）满足题意。 　　20.解：（Ⅰ）由an+12-1=4an（an+1）， 　　得an+12=（2an+1）2，（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0。由于数列{an}的各项均为非负实数，an+1+2an+1>0，所以an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1）。所以数列{an+1}是等比数列，an+1=（a1+1）?2n-1=2n-1。从而an=2n-1-1，Sn=2n-n-1。 　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n-1-1，所以bn=n4（an+1）=n2n+1。所以Tn=122+223+324+…+n2n+1，12Tn=123+224+…+n-12n+1+n2n+2，两式相减得12Tn=122+123+124+…+12n+1-n2n+2=-12 　　-n2n+2=12-n+22n+2。所以Tn=1-n+22n+1（或写成Tn=1-n2+1?12n，Tn=1-12n-n2n+1均可）。 　　（Ⅲ）（理）k+2（Sk+k）?Tk+k+1=k+22k-1?1-k+22k+1+k+1=12k-1?1-12k+1=2k+12k-1?2k+1-1
　　=212k-1-12k+1-1，所以∑nk=1k+2（Sk+k）?Tk+k+1=∑nk=k+1-1=21-12n+1-1<2。若不等式∑nk=1k+2（Sk+k）?Tk+k+1<m对任意正整数n恒成立，则m≥2，所以存在最小正整数m=2，使不等式∑nk=1k+2（Sk+k）?Tk+k+1<m对任意正整数n恒成立。 　　21.（理）解：（Ⅰ）因为fx=[ax2+a-12x+a-a-12]ex，所以f′x=[2ax+a-12]ex+[ax2+a-12x+a-a-12]ex=[ax2+a2+1x+a]ex.因为x=0为fx的极值点，所以，由f′0=ae0=0，解得a=0。检验，当a=0时，f′x=xex，当x<0时，f′x0时，f′x>0。所以x=0为fx的极值点，故a=0。 　　（Ⅱ）当a=0时，不等式fx>x-112x2+x+1x-1?ex>x-112x2+x+1， 　　整理得x-1ex-12x2+x+1>0，即x-1>0ex-12x2+x+1>0或x-1<0ex-12x2+x+1<0。 　　令gx=ex-12x2+x+1，hx=g′x=ex-x+1，h′x=ex-1，当x>0时，h′x=ex-1>0；当x<0时，h′x=ex-1h0=0，即g′x>0。所以gx在R上单调递增，而g0=0；故ex-12x2+x+1>0x>0； 　　ex-12x2+x+1<0x<0，所以原不等式的解集为xx1。 　　（Ⅲ）当a≥0时，f′x=ax2+a2+1x+a?ex，因为x∈1，2，所以f′x>0，所以fx在1，2上是增函数。 　　当a0。 　　①若a0x∈-1a，-a，由1，2-1a，-a得a≤-2； 　　②若-10x∈-a，-1a，由1，2-a，-1a得-12≤a<0； 　　③若a=-1，f′x=-x-12?ex≤0，不合题意。舍去， 　　综上可得，实数a的取值范围是-∞，-2∪-12，+∞。 　　（文）解：（Ⅰ）由题意：g′（x）=-1x2sinθ+1x≥0在[1，+∞）上恒成立，即xsinθ-1x2sinθ≥0。因为θ∈（0，π），所以sinθ>0，故xsinθ-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只需sinθ-1≥0，只有sinθ=1，所以θ=π2。 　　（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）-g（x）=mx-mx-2lnx，（f（x）-g（x））′=mx2-2x+mx2，由于f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，则mx2-2x+m≥0或mx2-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，即m≥2x1+x2或m≤2x1+x2在[1，+∞）上恒成立，故m≥1或m≤0。综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）。 　　（Ⅲ）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx-mx-2lnx-2ex，当m≤0时，mx-mx≤0，-2lnx-2exh（x0）； 　　当m>0时，F′（x）=m+mx2-2x+2ex2=mx2-2x+m+2ex2。因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx2+m>0。所以F′（x）>0在[1，+∞）上恒成立，故F（x）在x∈[1，e]上单调递增，F（x）max=me-me-4， 　　只要me-me-4>0，解得m>4ee2-1，故m的取值范围是（4ee2-1，+∞）。
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已知向量a=（cosθ,sinθ）,θ∈[0,π],向量b=(根号3，-1)
①当向量a平行向量b时，求θ。②处厂斑肯职厩办询暴墨当向量a垂直向量b时，求θ，③求|2向量a-向量b|的最大值和最小值
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解：（1）题意得
sinθ/cosθ=-1/√3=-√3/3∴θ=kπ-π/6(2)题意得
√3cosθ-sinθ=0
tanθ=√3∴θ=kπ+π/3
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公式A·B=|A||B|cosQ
A、B是向量,Q是两向量夹角，A、B绝对值表示平处厂斑肯职厩办询暴墨方的和开根号。还用到cosQ的平方加上sinQ的平方等于一。估计难点就在根号3的cosQ-sinQ的配方。提取一个2，使系数变为2分之根号3和负二分之一。2分之根号3是cos150度，二分之一就是sin150度，就为2（cosQcos150度-sinQsin150度） 就变为了cos（Q+150度）右边你应该会算的呃，键盘上没有符号，不好打出来，就这样了，不好意思。
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