导读：学年九年级数学第一学期质量检测，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，学年九年级数学第一学期质量检测一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）2．已知，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，则在一定时间段内AB5．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上
学年九年级数学第一学期质量检测
一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
2．已知，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，则在一定时间段内AB
．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边
第3题图 第5题图
7．如图，抛物线y=ax+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1，对于
8．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的
9．甲、乙、丙三人参加央视的“幸运52”．幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙依次取得第2件、第3件礼物．事后他们打开
过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（
第7题图 第8题图 第10题图
二、填空题（每题4分，共24分）
11．如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形= _______ cm．
则使y＜0的x的取值范围为 _________ ．
13．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是 _________ mm．
14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 _________ 米．
第13题图 第14题图
15．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论： ①AD2=AE?AB；②3.6≤AE＜
③当10 时，△ABD≌△DCE；
为直角三角形时，
BD为8或12.5． 其中正确的结论是 _________ ． （把你认为正确结论的序号都填上）
16．如图，已知函数y= x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A．将y=
x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C．若OA=2CB，
则k的值是 _________ ． 第16题图 三．解答题（共7小题）
17．(本小题满分6分 )某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计表，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）这种树苗成活的频率稳定在 _________ ，
成活的概率估计值为 ______
___ ． （2）该地区已经移植这种树苗5万棵． ①估计这种树苗成活 _________ 万棵；
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
18．(本小题满分8分 )已知（1）求
的值； （2）若
19．(本小题满分8分 )如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．
（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
（2）设坐标纸中方格边长为1个单位长度，且P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．
20．(本小题满分10分 )已知抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=2x．．上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
21．(本小题满分10分 )小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
22．(本小题满分12分 )如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当β=36°时，求α的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA，试求α的度数.
23．(本小题满分12分 )如图，等腰△ABC中，BA=BC，AO=3CO=6. 动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连结FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA；
（3）在⑵的基础上，BC边上是否还存在一个点D，使得△EFD≌△FEO？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）进一步探索：动点F移动几分钟，△EFO能成为等腰三角形？
一、选择题(每题3分，共30分)
二、填空题（每题4分，共24分）
三、 解答题（共8大题，66分） 17．（本题6分）
（1） ______
．（2）① ____
_____ ； 解：②
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1.75亿学生的选择
小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=a，EH=b，则四边形风筝的周长是（&&&&）．
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5.3解直角三角形(2011年)
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关键字：.3解直角三角形(2011年
1. (2011 江苏省南通市) 如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD=60 m，则河宽AB为
m(结果保留根号)．
.3 解直角三角形
双基简单应用
2. (2011 广西钦州市) 某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26米，坡角∠BAD=68°．为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长（精确到0.1米）；
（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗？
（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12′≈0.85，tan49°30′≈1.17．）
答案：解：（1）在Rt△ABE中，AB=26，∠BAD=68°，
∵sin∠BAD
∴BE=AB?sin∠BAD=26×sin68°≈24.2（米）．…4分
（2） 过点F作FM⊥AD于点M，连结AF．
∵BE⊥AD，BC∥AD，BF=11，
∴FM= BE= 24.2，EM=BF=11．
在Rt△ABE中，
∵cos∠BAE
∴AE=AB?cos∠BAE=26×cos 68°≈9.62．
∴AM=AE＋EM=9.62＋11=20.62．
在Rt△AFM中，
∵tan∠FAM ≈1.17，
∴∠FAM≈49°30′＜50°．
∴这样改造能确保安全．
.3 解直角三角形
3. (2011 广东省) 如图，小明家在 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 ， 是 到 的小路．现新修一条路 到公路 ，小明测理出 ， ， ．请你帮小明计算他家到公路 的距离 的长度（精确到 ；参考数据： ， ）．
答案：解：在 中，
在 中， ，
答：小明家到公路的距离约为68.3m．
.3 解直角三角形
4. (2011 云南省昭通市) 如图所示，若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的 处沿直线方向开往对岸的 处， 与河岸的夹角是 ，船从 到 处需时间 分钟．求该船的速度．
答案：解：如图，过点 作 垂直河岸，垂足为 ，
则在 中，有
因而速度 ，
答：该船的速度为300米/分钟．
.3 解直角三角形
5. (2011 云南省玉溪市) 张明同学想测量聂耳山上聂耳铜像的高度，于是他爸爸查阅资料后告诉他，聂耳山的高度是12米，铜像（图中 ）高度比底座（图中 ）高度多1米，且聂耳山的高度+铜像高度+底座高度等于聂耳遇难时的年龄．张明随后用高度为1米的测角仪（图中 ）测得铜像顶端点 的仰角β＝51°24′，底座顶端点 的仰角 ＝26°36′．请你帮助张明算出聂耳铜像AB的高度及聂耳遇难时的年龄（把聂耳铜像和底座近似看在一条直线上，它的抽象几何图形如左图）．参考数据：tan26°36′≈0.5，tan51°24′≈1.25
解：设聂耳铜像的高度AB为x米，则BC=(x－2)米.
在Rt△BCF中， ，
在Rt△ACF中，
∴2x－4= .
聂耳遇难时的年龄=12+6+5=23(岁).
答:聂耳铜像的高度是6米, 聂耳遇难时的年龄是23岁.
.3 解直角三角形
6. (2011 浙江省金华市) 生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬. 现在有一长为6米的梯子AB, 试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.
（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，
cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
答案：解：
当α=70°时，梯子顶端达到最大高度,
∵sinα= ,
∴ AC= sin70°×6=0.94×6=5.64
答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米．
.3 解直角三角形
7. (2011 重庆市綦江县) 如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD, 点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E,测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD. （结果保留根号）
答案：解：∵∠CBE=45° CE⊥AE
∴CE=BE=21
AE=21+6=27
在Rt△ADE中，∠DAE=30°
∴DE=AE×tan30°=27× =9
∴CD=CE-DE=21-9
∴该屏幕上端与下端之间的距离CD=21-9
.3 解直角三角形
8. (2011 四川省内江市) 放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处．此时风筝线AD与水平线的夹角为30 ．为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为 ．已知点A、B、C在同一条直线上， ．请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，
，最后结果精确到1米）
答案：解：设CD为x米．
∵∠ACD=90°，
∴在直角△ADC中，∠DAC=30°，AC=CD?cos30°=
x，AD=2x，
在直角△BCD中，∠DBC=45°，BC=CD=x，BD=
∵AC-BC=AB=7米，
∴x=10米，
则小明此时所收回的风筝的长度为：AD-BD=2x-
.3 解直角三角形
9. (2011 江苏省连云港市) 如图，自来水厂 和村庄 在小河 的两侧，现要在 ， 间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出 ， 间的距离．一小船在点 处测得 在正北方向， 位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点 处，测得 位于北偏西49°方向， 位于南偏西41°方向．
（1）线段 与 是否相等？请说明理由；
（2）求 ， 间的距离．（参考数据 ）
答案：解：（1）相等
由图易知，∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°，
∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ＝∠BPQ．
∴BQ＝PQ．
（2）由（1）得，BQ＝PQ＝1200 m．
在Rt△APQ中， ＝12000.75 ＝1600（m）．
又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝ ，
∴在Rt△AQB中，AB＝AQ2＋BQ2 ＝1 ＝2000（m）．
答：A，B间的距离是2000 m．
.3 解直角三角形
10. (2011 重庆市潼南县) 如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD= 30°，∠ACD= 60°，则直径AD=
米.（结果精确到1米）
（参考数据：
.3 解直角三角形
双基简单应用
11. (2011 吉林省) 如图所示，为求出河对岸两棵树 、 间的距离，小坤在河岸上选取一点 ，然后沿垂直于 的直线前进了12米到达点 ，测得 ．取 的中点 ，测得 ， ，求河对岸两树间的距离（提示：过点 作 于点 ）．
(参考数据： ，
答案：解：∵E为CD中点，CD=12，
∴CE=DE=6．
在Rt△ACE中，
∵tan56°= ，
∴AC=CE?tan56°≈6× =9．
在Rt△BDE中，∵tan67°= BDDE ，
∴BD=DE?tan67°≈6× =14
∵AF⊥BD ，
∴AC=DF=9，AF=CD=12，
∴BF=BD DF=14 9=5．
在Rt△AFB中，AF=12，BF=5，
∴两树间距离为13米．
.3 解直角三角形
12. (2011 四川省达州市) 我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破．已知距危房AB水平距离60米（BD＝60米）处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD高15米，在该该住宅楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据: ， )
答案：解：没有危险，理由如下：
在△AEC中，∵∠AEC=90°，∴
∵∠ACE=30°，CE=BD=60，
∴AE= （米）
又∵AB=AE+BE，BE=CD=15，
∴AB （米）
∵ ，即BD AB
∴在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼没有危险
.3 解直角三角形
13. (2011 湖南省益阳市) 如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
(参考数据 ：sin67.4°
,cos67.4°
,tan67.4°
答案：解：（1）在Rt 中， ，
.3 解直角三角形
14. (2011 湖南省常德市) 青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃. (如下图所示)一天，灰太狼在自家城堡顶部A 处观察羊羊们时，发现懒羊羊在大树底下睡懒觉，此时，测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°. 然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°，已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）
答案：解法一:设 米
在Rt△BDC中，∠BCD=60°，
在Rt△ADB中，∠DAB=30°，
解法二：先证明BC=AC
再求BD=BC × ＝40× ＝20
.3 解直角三角形
15. (2011 湖南省长沙市) 如下图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37?角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=4.8米，引桥水平跨度AC=8米．
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，
求两段楼梯AD与BE的长度之比．
（参考数据：取sin37?=0.60，cos37?=0.80，tan37?=0.75）
答案：】．（1）延长BE交AC于F，∵AD∥BE，∴AD∥EF，
又∵DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，
在Rt△BFC中，BC=4.8, ∠BFC=∠A=37?,
∵tan∠BFC= ，∴tan 37?= =0.75，
∴CF=6.4（米）.
AF=AC－CF=8－6.4=1.6（米），
∴DE=1.6（米）.
（2）过点E作EG⊥AC于G，
∵MN⊥AC，DE∥AC，
∴EG=MN=3（米），
又∵BC⊥AC，EG⊥AC，∴EG∥BC
∴△FEG∽△FBC，
∴ = = ，∴ = ，
由（1）知，四边形ADEF是平行四边形，AD=EF，
∴AD:BE=5:3.
.3 解直角三角形
双基简单应用
16. (2011 湖北省襄阳市) 在207国道襄阳段改造工程中，需沿 方向开山修路（如下图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从 上的一点 取 m， ．为了使开挖点 在直线 上，那么 =　　　　m．（供选用的三角函数值： ）
答案：642.8　
.3 解直角三角形
双基简单应用
17. (2011 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 五月石榴红，枝头鸟儿歌.一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处.从A处看房屋顶部C处的仰角为 ,看房屋底部D处的俯角为 ,石榴树与该房屋之间的水平距离为 米，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.
答案：解：作AE⊥CD于点E．
由题意可知：∠CAE =30°，∠EAD =45°，AE= 米．
在Rt△ACE中，tan∠CAE= ，即tan30°= ．
∴CE= = (米)，
∴AC=2CE=2×3 =6(米)．
在Rt△AED中，∠ADE=90°-∠EAD =90°-45°= 45°，
∴DE=AE= (米)．
∴DC=CE+DE=（3+ ）米．
答：AC=6米，DC=（3+ ）米．
.3 解直角三角形
18. (2011 湖北省武汉市) 如下图，铁路 和公路 在点 处交汇， 公路 上 处距离 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 上沿 方向以 72千米/时的速度行驶时， 处受噪音影响的时间为（　　）
A．12秒　　　Ｂ．16秒　　　Ｃ．20秒　　　Ｄ．24秒
.3 解直角三角形
19. (2011 湖北省十堰市) 如下图，一架飞机从 地飞往 地，两地相距600km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成 的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？
（参考数据： ，要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数）
答案：解：过点 作 于点 ，
在 中， ，在 中， ．
747-600=147（km）．
答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km．
.3 解直角三角形
20. (2011 湖北省荆州市) 在 中， ， ，则 的值是（　　）
A． 　　Ｂ． 　　Ｃ． 　　Ｄ．
.3 解直角三角形
双基简单应用
21. (2011 湖北省黄冈市) 如下图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡 的坡比 （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且 ．身高为 的小明站在大堤 点，测得高压电线杆顶端点 的仰角为 ．已知地面 宽30m，求高压电线杆 的高度（结果保留三个有效数字， ）．
答案：解：过 作 于 ．
.3 解直角三角形
22. (2011 湖北省恩施自治州) 正在修建的恩黔高速公路某处需要打通一条隧道，工作人员为初步估算隧道的长度．现利用勘测飞机在与A的相对高度为1500米的高空C处测得隧道进口A处和隧道出口B处的俯角分别为53o和45o（隧道进口A和隧道出口B在同一海拔高度），计算隧道AB的长．
（参考数据： o ， o ）
答案：解：如图，过点 作 于 ，
由题设知， ，
由 得， ，
所以， （米）．
答：隧道 的长是2625米．
.3 解直角三角形
23. (2011 黑龙江省大庆市) 如图所示，一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30o方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西45o方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时求此时轮船与灯塔C的距离(结果精确到0.1海里，参考数据2≈1.41，3≈1.73)．
答案：解：设 ．
在 中， 得 ．
又因为 ，所以 ．
在 中， ．
所以 即 ．
得 （海里）
所以当轮船到达灯塔 的正东方向的 处时，轮船与灯塔 的距离为 海里．
.3 解直角三角形
24. (2011 河南省) 如图所示，中原福塔（河南广播电视塔）是世界第一高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点 处，测得地面上点 的俯角 为 ，点 到 的距离 为10米；从地面上的点 沿 方向走50米到达点 处，测得塔尖 的仰角 为 ．请你根据以上数据计算塔高 ，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．（参考数据： ．结果精确到0.1米）
由题意知四边形 是矩形，
在Rt 中， ，
即计算结果与实际高度的误差约为6.9米．
.3 解直角三角形
25. (2011 浙江省丽水市) 生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当 时（ 为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子 ，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度 ．
（结果保留两个有效数字，
答案：当 时，梯子顶端达到最大高度，
答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米．
.3 解直角三角形
26. (2011 云南省大理市) 如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，求乙船的速度（ ）．
答案：解：由题意得 （海里）
乙船的速度是： （海里/时）
答：乙船的速度约为34海里／时.
.3 解直角三角形
27. (2011 云南省昆明市) 如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在 两地修建一段地铁，点 在点 的正东方向，由于 之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树 在点 的北偏东45°方向上，在点 的北偏西60°方向上， ，请你求出这段地铁 的长度．（结果精确到1m，参考数据： ）
答案：解：过点 作 ，垂足为 点．
由题意知：
答：这段地铁 的长度约有546m．
.3 解直角三角形
28. (2011 贵州省遵义市) 某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长 ， ，后考虑到安全因素，将楼梯脚 移到 延长线上点 处，使 （如图所示）．
（1）求调整后楼梯 的长；
（2）求 的长．
（结果保留根号）
答案：解法一：（1）（4分）在 中，
答：调整后楼梯 的长为 m．
（2）由（1）知： ，
答： 的长为 m
解法二：（1） ， ，
设 ，又 ，
解得 ， （舍）
答：调整后楼梯 的长为 m
（负值舍去）
答： 的长为（ ）m．
.3 解直角三角形
29. (2011 贵州省六盘水市) 某一特殊路段规定：汽车行驶速度不得超过36千米/时．一辆汽车在该路段上由东向西行驶，如图所示，在距离路边10米 点处有一“车速检测仪”，测得该车从北偏东 的 点行驶到北偏东 的 点，所用时间为1秒．
（1）试求该车从 点到 点的平均速度．
（2）试说明该车是否超速．（ ）
答案：解：（1）据题意，得 ．
在 中， ，
在 中， （米），
（米/秒）．
（2） 36千米/时=10米/秒，
小汽车超速了．
.3 解直角三角形
30. (2011 新疆乌鲁木齐) 某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台 处，看湖面上空一热气球 的仰角为 ，看 在湖中的倒影 的俯角为 （ 为 关于湖面的对称点）．请你计算出这个热气球 距湖面的高度 约为多少米？
注： ， ；
答案：解：过点 作 ，垂足为 ，则有 米．
设 为 米，则 = 米， 米， 米．
在 中， ．
在 中， ．
，解得： ．
答：热气球 距湖面的高度 约为25米．
.3 解直角三角形
31. (2011 贵州省安顺市)
一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西 的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西 的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值： ）
答案：解：过点C作CD AB于D ，
由题意 ， ，
设CD = BD = x米，则AD =AB+BD =（40+x）米，
在 中，tan = ，则 ，解得x = 60（米）．答：略．
.3 解直角三角形
32. (2011 新疆建设兵团) 如图，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
答案：解：（1）答案如图所示
（2）∵旋转前后的图形全等，
.3 解直角三角形
33. (2011 天津市) 某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点 与望海楼 的距离为300m，在 处测得望海楼 位于 的北偏东 方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达 ，在 处测得望海楼 位于 的北偏东 方向，求此时游轮与望海楼之间的距离 （ 取1.73，结果保留整数）．
答案：解：根据题意， ．
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
答：此时游轮与望海楼之间的距离约为173m．
.3 解直角三角形
34. (2011 广西玉林市) 假日，小强在广场放风筝，如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为 ，已知风筝线 的长为10米，小强的身高 为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据 ）
答案：解：画测量示意图．
在 中， ．
答：风筝离地面的高度为10米．
.3 解直角三角形
35. (2011 四川省绵阳市) 周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在 处测得她看塔顶的仰角 为 ，小丽站在 处测得她看塔顶的仰角 为 ．她们又测出 两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（　　）（结果精确到0.01，参考数据： ）
A．36.21米　　B．37.71米　　C．40.98米　　D．42.48米
.3 解直角三角形
双基简单应用
36. (2011 四川省眉山市) 在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点 处观察旗杆 ，测得旗杆顶部 的仰角为 ，测得旗杆底部 的仰角为 ,已知点 距地面的高 为15m．求旗杆的高度．
答案：解：过 作 ，垂足为 ，
由题意可知，四边形 为矩形．
在 中， ．
=5（米）．
答：旗杆的高度为20米．
.3 解直角三角形
37. (2011 四川省泸州市) 如图，一艘船以每小时60海里的速度自 向正北方向航行．船在 处时，灯塔 在船的北偏东 ，航行1小时后到 处，此时灯塔 在船的北偏东 ．（运算结果可保留根号）
（1）求船在 处时与灯塔 的距离；
（2）若船从 处继续向正北航行，问经过多长时间船与灯塔 的距离最近？
答案：解：（1）过点 作 于点 ．
在 中， ．
在 中， ，
答：船在 处与灯塔 的距离为 海里．
（2）过点 作 交 延长线于点 ，则船与灯塔 的最近距离是线段 的长度．
在 中， ．
在 中， ，
在 中， ，
时间 （小时）．
答：经过 小时船与灯塔 的距离最近．
.3 解直角三角形
38. (2011 广西柳州市)
在学习了解直角三角形的有关知识后，一学习小组到操场测量学校旗杆的高度．如图，在测点 处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角 的大小为 ，量得仪器的高 为 米，测点 到旗杆的水平距离 为18米，请你根据上述数据计算旗杆 的高度．（结果精确到 米；参考数据： ）
解：过点 作 ，垂足为 ，则四边形 是矩形．
（米）， （米）
答：旗杆 的高度约为 米．
.3 解直角三角形
39. (2011 四川省凉州市) 在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图， ∥ ，坝高10m，迎水坡面 的坡度 ，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面 的坡度 。
求原方案中此大坝迎水坡 的长（结果保留根号）
如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿 方向拓宽2.7m，求坝顶将会沿 方向加宽多少米？
答案：解：⑴过点 作 于 。
在 中，∵ ，且 。
⑵过点 作 于 。
如图，延长 至点 ， 至点 ，
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方
总体积不变。
答：坝底将会沿 方向加宽 。
.3 解直角三角形
40. (2011 广西贺州市) 某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示， ，斜坡 长26米，坡角 .为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡.
（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长（精确到0.1米）；
（2）如果改造时保持坡脚 不动，坡顶 沿 左移11米到 点处，问这样改造能确保安全吗？
（参考数据：
答案：解：（1）在Rt△ABE中，AB=26，∠BAD=68°，
∴BE=AB? = 24.2（米）．
（2）过点F作FM⊥AD于点M，连结AF．
∵BC∥AD，BE⊥AD，BF=11，
∴FM=BE=24.2，EM=BF=11．
在Rt△ABE中，
∴ 9.62+11=20.62．
在Rt△AFM中，
∴这样改造能确保安全．
.3 解直角三角形
41. (2011 广西桂林市) 如图，已知 中， ，则 的值为（　　）
A． 　　B． 　　C． 　　D．
.3 解直角三角形
双基简单应用
42. (2011 广东省珠海市) 如图，在鱼塘两侧有两棵树 、 ，小华要测量此两树
之间的距离．他在距 树30 的 处，测得 ，又在 处
测得 ．求 、 两树之间的距离．（结果精确到0.1 ）
（参考数据： ， ）
答案：解：作 ，垂足为点D，
∴AD=CD= = =15．
在Rt△ABD中， ，
答：A、B两树之间的距离约为 m．
.3 解直角三角形
43. (2011 广东省肇庆市) 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，BC = 12，AC = 9，则AB=
.3 解直角三角形
双基简单应用
44. (2011 四川省成都市) 如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶，在航行到 处时，
发现灯塔 在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从 处向正西方向行驶到达 处
时，发现灯塔 在我军舰的北偏东 的方向.求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果
均不取近似值）
答案：解：由已知，可得
在 中， ．
答：（或 ）该军舰行驶的路程为 米．
.3 解直角三角形
45. (2011 山西省) 如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 点处测得树顶端 的仰角为 ，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 处，测得树顶端 的仰角为 ．已知 点的高度 为 米，台阶 的坡度为 （即 ），且 、 、 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树 的高度（测倾器的高度忽略不计）．
答案：解：如图，过点 作 于
则四边形 为矩形．
在 中， ，
答：树 的高度为 米．
.3 解直角三角形
46. (2011 广东省清远市) 如下图，小明以3米/秒的速度从山脚 点爬到山顶 点，已知点 到山脚的垂直距离 为24米，且山坡坡角 的度数为 ，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到 ）（参考数据： ）
答案：解：依题意：
在 中， ，
答：小明从山脚爬上山顶需要的时间约为17.4秒．
.3 解直角三角形
双基简单应用
47. (2011 广东省茂名市) 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC=
.3 解直角三角形
48. (2011 广东省河源市) 某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动．如下图,他们在河东岸边的 点测得河西岸边的标志物 在它的正西方向，然后从 点出发沿河岸向正北方向行进200米到点 处，测得 在点 的南偏西60°方向上，他们测得的东江的宽度是多少米?(结果保留整数,参考数据: ， ）
答案：解：由题意得： 中， .
≈200×1.732≈346(米)
答：他们测得东江的宽度为346米．
.3 解直角三角形
双基简单应用
49. (2011 山东省威海市) 一副直角三角板如图放置，点 在 的延长线上， ， ， 试求 的长．
答案：解：过 点作 于点 ．
.3 解直角三角形
50. (2011 山东省青岛市) 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40o减至35o．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精确到0.1m）
(参考数据：sin40o≈0.64，cos40o≈0.77，sin35o≈0.57，tan35o≈0.70)
答案：解：在 中， ，
在 中， ，
答：调整后的楼梯所占地面 约为4.6米．
.3 解直角三角形
51. (2011 山东省临沂市) 如图， 中， ， ， ，则 的面积是（　　）
.3 解直角三角形
双基简单应用
52. (2011 山东省聊城市) 被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是我市现存的最古老的建筑．铁塔由塔身和塔座两部分组成（如图①），为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在 点测得塔顶 的仰角为 ，在 点测得塔顶 的仰角为 ，已知测角仪 的高为 米， 的长为6米， 所在的水平线 于点 （如图②），求铁塔 的高（结果精确到0.1米）．
答案：解：设 米．
在 中， ， ，
在 中， ， ，
所以铁塔的高约为15.8米．
.3 解直角三角形
53. (2011 广东省东莞市) 如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30o，∠ABD=45o，BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据： ， ）.
答案：解：AD=25( +1)≈68.3m
.3 解直角三角形
54. (2011 山东省济宁市) 日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于 处，观测到海口城市 位于海检船的北偏西 方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达 处，这时观测到城市 位于海检船的南偏西 方向，求此时海检船所在 处与城市 的距离？
（参考数据： ）
答案：解：过点 作 ，垂足为 ，设 海里．
在 中，∵ ∴
在 中，∵ ∴
∵ ∴ （海里）
∴海检船所在的 处与城市 的距离为100海里．
.3 解直角三角形
55. (2011 山东省济宁市) 如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以3cm长为半径作圆，则 与 的位置关系是　　　　．
答案：相交　
.3 解直角三角形
56. (2011 甘肃省兰州市) 通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．如图 ，在 中， ，顶角 的正对记作 ，这时 ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1） =________________．
（2）对于 ， 的正对值 的取值范围是____________．
（3）如图 ，已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
答案：1）1
（2）0<sadA<2
（3）解：如图，在 中 ， ．
在 上取点 ，使 ，
作 ， 为垂足，令
又在 中， ， ．
则在 中， ， ．
于是在 中 ， ．
由正对定义可得：
.3 解直角三角形
57. (2011 山东省济南市) （1）如图1， 中， ， ， ，延长 至点 ，使 ．
求 的度数；
(2）如图2，点 的坐标为 ，直线 与 轴的正半轴交于点 ， ．求直线 的函数表达式．
答案：解：（1） ，
（2） 点 的坐标为 ， ， ，
点 的坐标为 ，
设直线 的函数表达式为 ，
直线 的函数表达式为 ．
.3 解直角三角形
58. (2011 山东省济南市) 如图， 为原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 过 三点，点 为 上一点（不与 两点重合），则 的值为（　　）
.3 解直角三角形
59. (2011 福建省漳州市) 满分8分）某校“我爱学数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆的高度”．以下是该课题小组研究报告的部分记录内容：
你根据表格中记录的信息，计算旗杆AG的高度．（ 取1.7，结果保留两个有效数字）
答案：解法一：
在 中， ，即
在 中， ，即
.3 解直角三角形
60. (2011 山东省东营市) 河堤横断面如图所示，堤高 米，迎水坡 的坡比是 （坡比是坡面的铅
直高度 与水平宽度 之比），则 的长是（　　）
A．5 米　　B．10米　　C．15米　　D．10 米
.3 解直角三角形
61. (2011 福建省泉州市) 如图，在 中， ， ， ，则 __________， __________．
.3 解直角三角形
双基简单应用
62. (2011 山东省德州市) 某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为 ，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为 ．测得A，B之间的距离为4米， ， ，试求建筑物CD的高度．
答案：解：设DG=x米．
在 中, ，即 ．
在 中， ，即 ．
解方程得： ．
答：建筑物高为20.4米．
.3 解直角三角形
63. (2011 青海省西宁市) 某水坝的坡度 ，坡长 米，则坝的高度为(
（A）10米　　（B）20米　　（C）40米　　（D）20 米
答案：A　　
.3 解直角三角形
64. (2011 青海省) 某学校九年级的学生去旅游，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：
甲：我站在此处看树顶仰角为45°．
乙：我站在此处看树顶仰角为30°．
甲：我们的身高都是1.5m．
乙：我们相距20m．
请你根据两位同学的对话，参考如图计算这棵古松的高度（参考数据 =1.414， ＝1. 732，结果保留两位小数）．
答案：解：如图所示延长 交 于 ．
设 的长为 米．
由图可知，在 中，
在 中， ，
答：这棵古松的高是28.82米．
.3 解直角三角形
双基简单应用
65. (2011 福建省莆田市) 如图，线段 分别表示甲、乙两座建筑物的高， ， ，两建筑物间距离 米，若甲建筑物高 米，在 点测得 点的仰角 ，则乙建筑物高 ＝_________米．
答案：58　　
.3 解直角三角形
66. (2011 内蒙古呼和浩特市) 如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 两个凉亭之间的距离，现测得 请计算 两个凉亭之间的距离．
答案：解：过点 作 ，垂足为 ．
在 中， ．
.3 解直角三角形
双基简单应用
67. (2011 内蒙古鄂尔多斯市) 我市某旗在棚户区改造工程中需要修建一段东西方向全长2000米的道路（记作 ）．已知 点周围700米范围内有一电力设施区域．在 处测得 在 的北偏东 方向上，在 处测得 在 的北偏西 方向上．（
（1）道路 是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工500米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多少米？
答案：（1）解法1：过点 作 ，垂足为 ，由题意知：
解方程： 米
不会穿过．
解法2：利用三角函数 和
（2）设原计划每天修路 米，则
（或 ）或（ ）或（ ）
经检验， 是原方程的解
答：原计划每天修路100米．
.3 解直角三角形
68. (2011 内蒙古赤峰市) 如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在 处测到空投地点 的俯角
，测到地面指挥台 的俯角 ，已知 的距离是2000米，求此时飞机的高度（结果保留根号）．
答案：解：过点 作 的垂线交 的延长线于点 ．
在 中， ．
答：飞机的高度是 米．
.3 解直角三角形
69. (2011 辽宁省大连市) 如图，某建筑物 上有一旗杆 ，小明在与 相距12m的 处，由 点观测到旗杆顶部 的仰角为 、底部 的仰角为 ，小明的观测点与地面的距离 为1.6m．
（1）求建筑物 的高度；
（2）求旗杆 的高度．
（结果精确到0.1m．参考数据： ）
答案：解：（1）过点 作 ，垂足为 ．
由题意知，四边形 是矩形，
在 中， ，
答：建筑物 的高度为13.6m．
（2）在 ， ，
答：旗杆 的高度约为3.4m．
.3 解直角三角形
70. (2011 辽宁省本溪市) 如图，港口 在港口 的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口 出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口 出发也向正北方向航行．上午10时轮船到达 处，同时快艇到达 处，测得 处在 处的北偏西 的方向上，且 、 两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据 ）
答案：解：过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ．过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ．
在 中， ，
四边形 是矩形．
在 中， ，
在矩形 中， ，
（海里/时）
答：快艇的速度约为33.3海里/时．
.3 解直角三角形
71. (2011 江苏省镇江市) 如图，在 中， ， ，垂足为 ．若 ， ＝2，则 的值为（　　）
A． 　　B． 　　C． 　　D．
.3 解直角三角形
双基简单应用
72. (2011 江苏省扬州市) 如图是某品牌太阳能热火器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管 与支架 所在直线相交于水箱横断面 的圆心 ，支架 与水平面 垂直， 厘米， ，另一根辅助支架 厘米， ．
（1）求垂直支架 的长度；（结果保留根号）
（2）求水箱半径 的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据： ）
答案：解：（1）在 中， ，
水箱半径 的长度为18.5cm．
.3 解直角三角形
73. (2011 安徽省芜湖市) 如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点 的仰角为 ，再沿着 的方向后退20m至 处，测得古塔顶端点 的仰角为 .求该古塔BD的高度( ,结果保留一位小数).
答案：解：根据题意可知:
在 中,由 得 .
在 中,由 .得
又∵ ,∴ .∴ (m).
答：该古塔的高度约为27.3m.
.3 解直角三角形
74. (2011 江苏省盐城市) 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？
（结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732）
答案：解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G．
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC?sin30°=30×12 =15．
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG =AB?sin60°=40×32 = 203．
∴CE=CF+FD+DE=15+203+2=17+203≈51.64≈51.6（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm．
.3 解直角三角形
75. (2011 江苏省宿迁市) 如图，为了测量某建筑物 的高度，先在地面上用测角仪自 处测得建筑物顶部的仰角是 ，然后在水平地面上向建筑物前进了 ，此时自 处测得建筑物顶部的仰角是 ．已知测角仪的高度是 ，请你计算出该建筑物的高度．
（取 ，结果精确到 ）
答案：解：如图设 与 的交点为 ．
由题意知 ， ， ，点 ． ． 在同一直线上， ， ．
设 ，则在 中，
在 中， ，
答：该建筑物的高度为 ．
.3 解直角三角形
76. (2011 江苏省南京市) 如图，某数学课外活动小组测量电视塔 的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物 进行测量，在点 处测得塔顶 的仰角为 ，在点 处测得 的仰角为 （ 三点在一条直线上），求电视塔的高度 ．
（参考数据： ）
答案：解：在 中，
答：电视塔的高度约为120m．
.3 解直角三角形
77. (2011 安徽省) 如图，某高速公路建设中需要确定隧道 的长度，已知在离地面1500m高度 处的飞机上，测量人员测得正前方 、 两点处的俯角分别为 和 ，求隧道 的长．
（参考数据： ）
答案：解：由条件可知： 为等腰直角三角形，
在 中， ，
所以隧道 的长约635米．
.3 解直角三角形
78. (2011 安徽省) 如图，四边形 中， ， ， ，点 在四边形 的边上．若 到 的距离为 ，则点 的个数为　　
A．1　　　　　Ｂ．2　　　　　Ｃ．3　　　　　Ｄ．4
.3 解直角三角形
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