答案：C；例9：某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（；答案：B；例10：某城市现有人口20万，人均住房面积为8m；解：依题意，4年后该城市人口为：20??1?1%；设每年平均新增住房d万m2，则4年后该城市有住房；20??1?1%??10?160?4d；解得；d?12.03（万m2）；答：每年应新增住房面积至少12.03万m2；例11：已知数列?an?
例9：某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3个小时，这种细菌由1个可以繁殖为（
分析：依题意，经过3小时共分裂9次，若a1?1，则a10?1?29?512。
例10：某城市现有人口20万，人均住房面积为8m2，计划经过4年后人均住房达10m2，如果该市将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新增住房面积多少万m2？（结果以万m2为单位，保留两位小数。）
解：依题意，4年后该城市人口为：20??1?1%?
设每年平均新增住房d万m2，则4年后该城市有住房，20×8＋4 d 4年后人均住房面积为10m2，则
20??1?1%??10?160?4d
d?12.03（万m2）
答：每年应新增住房面积至少12.03万m2。
例11：已知数列?an?是递减的等差数列，且a3?a9?50，a5?a7?616，试
求这个数列前多少项和最大，并求这个最大值。
解法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则由题意有
由于?an?是递减数列，有d?0，可解得a1?40，d??3
?Sn?n?40?(?3)??n2?n
83又??138.，离138.最近的自然数是14，6?3?
?这个数列前14项和最大，最大值是S14???142??14?287。
解法二：由解法一，已知a1?40，d??3
?an?40?(n?1)(?3)?43?3n,
?14.3 由43?3n?0，得n?3
由于a1?40?0，d??3?0,
使Sn最大，即这个数列前14项和最大，?使an?0成立的最大自然数n，
?a1?2d?a1?8d?50
(a?4d)(a?6d)?6161?1
最大值是287。
例12：已知等差数列?an?的首项是2，前10项之和是15，记
An?a2?a4?a8+???a2n(n?N)，求An及An的最大值。
分析：由已知可求出公差d，数列?an?是给定的，解好本题的关键是：对“An?a2?a4?a8???a2n(n?N)”这一数学表式的认识：a2，a4，a8，?，an是数列?an?的子数列；其项数2，4，8，??2n，组成等比数列；An则是这一子数列的前n项和，认识到上述三点，则问题不仅较易解决，而且从不同角度入手可得求An最大值的不同解法。
解：由已知：? 10?9
10a1?d?15?2?
解得a1?2，d??
An?a2?a4?a8????a2n
?na1?d1?3?7????2n?1
?na1?d2?22?23????2n?n
?19n?2?2n?1
求An的最大值有以下三种解法：
由a1?0，d?0，则有a1?a2????ak?0?ak?1???
由ak?2?(k?1)????0，解得k?19.
令k?2n?19(n?N)，解得n?4。即在数列a2n中，a21?a22?a23?
a24?0?a25???。所以当n?4时，An的值最大，其最大值为：
A?19?4?2?2?。 ?n?max
数列a2n的通项a2n?a1?2n?1d?19?2n
令a2n?19?2n?0，解得2n?19(n?N)，故使a2n?0，n的最大值为4。
由此可得a2?a22?a23?a24?0?a25???
∴ ?An?max?19?4?2?24?1?
19n?2?2n?1,，若存在自然数n，使得An≥An?1，An≥An?1，则An9
19n?2?2?19?n?1??2?2n?2??99
?119n?2?2n?1?119?n?1??2?2n?9?9
?an?的单调性及an值的正负，求子数列?a2?的前n项和An的最值。解法二，是
小结：上述三种求An最值的方法都是运用函数思想。解法一，是通过数列
解得9.5?2n?19(n?N)，取n?4时，An有最大值?An?max?
直接研究子数列a2n。解法三是研究An?
【专项训练】：（90分钟）
一、选择题：
19n?2?2n?1的单调性求其最值。 9
1、若数列?an?的前n项和Sn满足条件log2Sn?n(n?N)，那么?an?是（
2、在等差数列?an?中，公差d?
,且a1?a3?a5????a99?60,则2
A．公差为2的等差数列
C．公比为的等比数列
B．公比为2的等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
???a100?（
3、等差数列的前三项依次为a?1，a?1，2a?3，那么这数列的通项公式是（
A．an?2n?4
B．an?2n－3
C．an?2n－1
an?2n＋1 D．
4、若?an?是等差数列，则由下面关系确定的数列?bn?也是等差数列的是（
B．bn?an?n
C．bn?an?an?1 D．bn?2
5、一个各项均为正数的等比数列，其任意一项都等于它后面紧接着的两项之和，那么其公比的取值集合是（
6、已知?an?是等比数列，且an?0，且a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5的值等于（
7、已知?an?是等差数列,且a2?a4?a5?a6?a8?10,则方程
x2?(a3?a7)x?4?0的根的情况是（
A．有两相等实根
C．有两共轭虚根
B．有两不等实根 D．不能断定根的情况
8、设等比数列的前n项和Sn?48，且S2n?60，则S3n?（
9、已知数列?an?中，an?49?2n，那么使Sn取最大值的自然数n的值为（
10、已知a1，a2，??，a8，为各项都大于零的等比数列，公比q?1，则（
A．a1?a8?a4?a5
B．a1?a8?a4?a5 C．a1?a8?a4?a5
D．a1?a8和a4?a5的大小关系不能由已知条件确定
二、填空题：
11、在数列?an?中，a1?0，a2?1，an?1?3an?4an?1?2(n?2)，则a5?
12、在数列?an?中，a1?a2?a3????an?2?1，那么?ai2?
n的式子表示）
a1?a3?a9a2?a4?a10
13、已知等差数列?an?的公差d?0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是
14、等比数列?an?中a4a7?a5a6?20，则其前10项的积为
15、设公差不为零的等差数列?an?与递增的等比数列?bn?中，
a1?b1?1，a3?b3，a7?b5，则数列?an?中与b9相等的项是第
三、解答题：
16、设等比数列?an?的前n项和为Sn，若S3?S6?2S9，求数列的公比q.
17、3个数成等差数列，它们的和为6，如果把这3个数适当排列，它们也可以组成等比数列，求这3个数。
18、等比数列?an?中，a1?8，又bn?log2an，数列?bn?的前n项和为Sn，且
S7?S8，又S7的值最大，求数列?an?的公比q的取值范围。
19、某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
总产量总产量
（粮食单产?，人均粮食占有量?）
耕地面积总人口数
【答案】：
一、选择题：
二、填空题：
11、－29 14、105
5、D 10、A
三、解答题：
a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)
16、由S3?S6?2S9，得， ??2?
q3(2q6?q3?1)?0，q?0，
得 2q6?q3?1?0，(2q3?1)(q3?1)?0，又q?1，
包含各类专业文献、行业资料、中学教育、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、应用写作文书、外语学习资料、生活休闲娱乐、17. 数列、极限、数学归纳法专项训练39等内容。　
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722.宁夏文（8）（理16填空）等比数列?an?的前n项和为Sn，已知am?1?am?1?am?0，S2m?1?38,则m?（A）38
（D）93.重庆文5．设{an}是公差不为0的等差数列,a1?2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn?n2A．4?7n4B．n23?5n3C．n22?3n4D．n2?n4.福建理3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于 A．1
D 3?22n5.广东理4.已知等比数列{an}满足an?0,n?1,?2,，且a5?a2n?lo2ga1?lo2ag??3?loag? 2n?25(n?3，)则当n?1时，A. n(2n?1)
D. (n?1)2 6.广东文5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1=122A.
D.27.湖北理文10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289
D.13788.湖南文3．设Sn是等差数列?an?的前n项和. 已知a2?3, a6?11, 则S7等于A．13
B．35 C．49
D．63229.江西理8．数列{an}的通项an?n(cosn?3?sin2n?3)，其前n项和为Sn，则S30为A．470
D．51010.江西文8．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8?32,则S10等于A.
90 11.辽宁理（6）设等比数列?an?的前n项和为Sn，若（A）2（B）7383 S6s3?3，则S9s6?（C）
（D）312.四川理（3）等差数列?an?的公差不为零，首项a1=1，a2是a1和a5等比中项，则数列?an?的前10项之和是（A）90
(D) 190 13.辽宁文(3)已知?an?为等差数列，且a7-2a4=-1, a3=0,则公差d=（A）-2
（B）-12（C）12（D）214.湖南理（7）等比数列?an?的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4= （A）7 （B）8
（4）16?15..北京理14．已知数列{an}满足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?an,n?N,则a2009?________；a2014=_________.?16.北京文10．若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N)，则a5?；前8项的和S8?.（用数字作答） 17.全国1理文14. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9=
。 18.全国1（14）设等差数列{an}的前n项和为Sn。若S9?72，则a2?a4?a9?_______________. 19.山东文13.在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则a6?____________. .20.辽宁理(14) 等差数列?an?的前n项和为Sn，且6S5?5S3?5，则a4=_________。,)，若数列?bn?有连续四项在集合21.江苏14．设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2???53,?23,19,37,8?2中，则6q.22.宁夏文（15）等比数列{an}的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，则{an}的前4项和S4=
23.全国2理14.设等差数列{am}的前n项和为sm.若a5?5a3,则s4s5?24.全国2文13．设等比数列{an}的前n项和为sn.若a1?1,S6?4S3,则a4?
.25.陕西文13．设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则数列的通项公式an?26.浙江理文11．设等比数列{an}的公比q?12，前n项和为Sn，则S4a4?．27.浙江文16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列．类比 以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，T16T12成等比数列．28.重庆理14．设a1?2，an?1?2an?12，bn?an?2an?1，n?N*，则数列?bn?的通项公式bn=
． 29.湖南理15、将正⊿ABC分割成n（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=，f(3)=
，…，f(n)= 答案1B 2)
3)A 4)C 5)
7)C 8)C 9)
16) 16,255 17)24 18)
20)13 21)-9 22)
23)0 24) 3 25)2n 26)15 27) T8T12 28) 2n+1,T4T829)2,1013630.辽宁文（17）（本小题满分10分）等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列（1）求{an}的公比q；（2）求a1-a3=3，求sn 31.全国2文17.(本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．等差数列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0，求数列{an}的前n项和Sn22??n?n9（n?N答案
Sn?n?9n或Sn* )32.全国1理20．（本小题满分12分）在数列{an}中，a1?1,an?1?(1?（I）设bn?ann1n)an?n?12n ，求数列{bn}的通项公式（II）求数列{an}的前n项和Sn解：（I）由已知有an?1n?1?ann?12n?bn?1?bn?12n12n?1
利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn?2?(n?N) *（II）由（I）知an?2n?nn2n?1,n?Sn=?(2k?k?1nk2n)?k?1?k?1n(2k)??k?1k2k?1 而?(2k)?n(n?1),又?k?1k?1nk2k?1是一个典型的错位相减法模型，易得?k?1k2k?1?4?n?22n?1?Sn=n(n?1)?n?22n?1?433.全国1文(17)(本小题满分10分) 设等差数列{an}的前n项和为sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn， 已知a1?1,b1?3,a3?b3?17,T3?S3?12,求{an},{bn}的通项公式。34.全国2理19．（本小题满分12分）
设数列?an?的前 n项和为Sn，已知a1?1,Sn?1?4an?2 （1） 设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列 （2） 求数列{an}的通项公式解：（1）由Sn?1?4an?2，有Sn?4an?1?2，两式相减得an?1?4an?4an?1
变形为an?1?2an?2(an?2an?1),即bn?2bn?1（,n?2)
由S2?a1?a2?4a1?2得a2?5,于是b1?a2?2a1?3
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列（2）由（1）得bn?3?2
所以an2nn?1 ,即an?1?2an=3?234?n,所以1an?21n?1?a2nn?34,且a21?12 是首项为n?12?（n-1)12，公差为?14的等差数列 an234(3n?1)*所以an?(3n?1)2n?2,(n?N)2*35.浙江文（本题满分14分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn?kn?n，n?N，其中k是常数．（I） 求a1及an；（II）若对于任意的m?N，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值． 解：（Ⅰ）当n?1,a1?S1?k?1，22n?2,an?Sn?Sn?1?kn?n?[k(n?1)?(n?1)]?2kn?k?1（?）*经验，n?1,（?）式成立，
?an?2kn?k?1
（Ⅱ）?am,a2m,a4m成等比数列，?a2m?am.a4m，即(4km?k?1)?(2km?k?1)(8km?k?1)，整理得：mk(k?1)?0， 对任意的m?N?成立，
?k?0或k?136.湖北文19.（本小题满分12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,
a2+a7＝16. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式：22（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝37.陕西文21．（本小题满分12分）b12?b222?b323?...bn2n(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn已知数列?an}满足， a1＝1’a2?2,an＋2＝an?an?12,n?N.*???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；(Ⅱ)求?an}的通项公式。（1）证b1?a2?a1?1,当n?2时，bn?an?1?an???bn?是以1为首项，?12an?1?an2?an??12(an?an?1)??12bn?1,为公比的等比数列。12)n?1（2）解由（1）知bn?an?1?an?(?,当n?2时，an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)1?(?)n?21?1?1?(?12)???(?12)12n?1?1??1?23[1?(?12)n?2]?53?23(?12)n?1,1?(?53?23(?12)n?1)*当n?1时，53?23(?12)1?1?1?a1。?an?(n?N)。38.江苏17．（本小题满分14分）2222设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2?a3?a4?a5,S7?7。（1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得amam?1am?2为数列?an?中的项。[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。 （1）设公差为d，则a2?a5?a4即222a?32，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因为d?0，所以a4?a3?0，2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?7?62d?7，解得a1??5，d?2,(2)（方法一）则amam?1am?2amam?1am?2 =(2m?7)(2m?5)2m?38t,设2m?3?t，=(t?4)(t?2)t?t??6,
所以t为8的约数（方法二）因为8am+2amam?1am?2?(am?2?4)(am?2?2)am?2?am?2?6?8am?2为数列?an?中的项， 故为整数，又由（1）知：am?2为奇数，所以am?2?2m?3??1,即m?1,2经检验，符合题意的正整数只有m?2。39.江西理21．（本小题满分12分）数列{an}的通项an?n(cos(1) 求Sn;(2) bn?22n?3?sin2n?3)，其前n项和为Sn.
,求数列｛bn｝的前n项和Tn.2S3nn?4n解: (1) 由于cosn?3?sin2n?3?cos2n?3,故S3k?(a1?a2?a3)?(a4?a5?a6)???(a3k?2?a3k?1?a3k)?(?1321?22?31222?3)?(?24?52?22?6)???(?2(3k?2)?(3k?1)222?(3k)))2 ????18k?5k(9k?4)2, S3k?1?S3k?a3k?2k(4?9k)2,S3k?2?S3k?1?a3k?1?k(4?9k)2?(3k?1)22?12?k??3k?23?16,n1???,?36??(n?1)(1?3n),故
Sn??6??n(3n?4),?6?n?3k?2n?3k?1
(k?N*) n?3k(2) bn?Tn?S3nn?4n?9n?42?4n, [?2???], n24441229n?44Tn?[13????], n?1244两式相减得93Tn?12[13?9483???94n?1?9n?443n2n2?n]?12[13?n?9n?4]?8?1?9n,n2n?32n?114221?4?9故
Tn??13?22n??3.140.天津理（22）（本小题满分14分）已知等差数列{an}的公差为d（d?0），等比数列{bn}的公比为q（q&1）。设sn=a1b1+a2b2…..+ anbn,Tn=a1b1-a2b2+…..+(-1)n?1anbn,n?N? (I)若a1=b1= 1，d=2，q=3，求 S3 的值； 若b1=1，证明（1-q）S2n-（1+q）T2n=2dq(1?q1?q22n(II))，n?N?； (Ⅲ)
若正数n满足2?n?q，设k1,k2,.k.n和.,ll1c1?ak1b1?ak2b2?...?aknbn，
c2?al1b1?al2b2?...?alnbn 证明n?1*（Ⅰ）解：由题设，可得an?2n?1,bn?3,n?N2,ln是,，..，，.,n的1两2个..不.同的排列，c1?c2。所以，S3?a1b1?a2b2?a3b3?1?1?3?3?5?9?55n?1（Ⅱ）证明：由题设可得bn?q则 S2n?a1?a2q?a3q?.....?a2nq2322n?1,
①2n?1T2n?a1?a2q?a3q?a4q?.....?a2nqS2n?T2n?2(a2q?a4q?...?a2nq32n?1,)②① 式减去②式，得 ① 式加上②式，得2S2n?T2n?2(a1?a3q?....?a?n22n?1q
③2② 式两边同乘q，得32n?1)
q(S2n?T2n)?2(a1q?a3q?....?a2n?1q所以，?qT)?
(1?q)S2n?(12nS(?T2n2n3)?q(S?2 T2nn)?2d(q?q?K?q2n?1) ?2dq(1?q1?q22n2)*,n?N (Ⅲ)证明：c1?c2?(ak?al)b1?(ak?al)b2?K?(ak?al)bn112nn?(k1?l1)db1?(k2?l2)db1q?K?(kn?ln)db1qn?1 因为d?0,b1?0,所以c1?c2db1?(k1?l1)?(k2?l2)q?K?(kn?ln)qn?1 （1）若kn?ln，取i=n （2）若kn?ln，取i满足ki?li且kj?lj,i?1?j?n由（1）,(2)及题设知，1?i?n且c1?c2db1?(k1?l1)?(k2?l2)q?K(ki?1?li?1)qi?2?(ki?li)qi?1 ①当ki?li时，得ki?li??1,由q?n，得ki?li?q?1,i?1,2,3.....i?1 即k1?l1?q?1，(k2?l2)q?q(q?1)…，(ki?1?li?1)qi?2?qi?2(q?1)i?1i?1又(ki?li)q??q,所以 c1?c2db1?(q?1)?(q?1)q?K(q?1)qi?2?qi?1?(q?1)1?qi?11?q 因此c1?c2?0,即c1?c2 ② 当ki?li同理可得c1?c2db1??1，因此c1?c2综上，c1?c241.天津文20. （本小题满分12分）n?1已知等差数列?an?的公差不为0.设Sn?a1?a2q???anq,Tn?a1?a2q?????1?n?1anqn?1 （1）若q?1,a1?1,S3?15，求数列?an?的通项公式（2）若a1?d，且S1,S2,S3成等比数列，求q的值（3）若q??1，证明?1?q?S2n??1?q?T2n?2dq?1?q1?q22n? 重庆理21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分） 设m个不全相等的正数a1,a2,?,am(m?7)依次围成一个圆圈．（Ⅰ）若m?2009，且a1,a2,?,a1005是公差为d的等差数列，而a1,a,?,a1006是公比为q?d的等比数列；数列a1,a2,?,am的前n项和Sn(n?m)满足：S3?15,S?12a1，求通项an(n?m)；22（Ⅱ）若每个数an(n?m)是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1???a6?a7???am?ma1a2am；42.重庆文（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问5分。）
已知a1?1，a2?4，an?2?4an?1?an，bn?an?1an，n?N?（Ⅰ）求b1,b2,b3的值；（Ⅱ）设cn?bnbn?1，Sn为数列?cn?的前n项和，求证：Sn?17n；
（Ⅲ）求证；?b2n?bn?? 43.广东文20.（本小题满分14分）已知点（1，11n?2 64171）是函数f(x)?ax(a?0,且a?1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)?c,数列3{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn?1=Sn+Sn?1（n?2）.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若数列{1b前n项和为T1000n，问Tn&的最小正整数n是多少?nbn?12009x【解析】（1）Qf?1??a?1?1?3,?f?x?????3?a11?f?1??c3? c,a?f?2??c?????f?1??c???22???9,a3???f?3??c?????f?2??c????227 .4又数列?aa22n?成等比数列，a1?a???2?1?c ，所以 c?13?233； 27an?1n又公比q?2?1a，所以a??2?1??n???2?1??3?
； 133?3???QSn?Sn?1???n?2? 又bn?0,?0, ???1；数列构成一个首相为1公差为11?n ， S21??n?1??n?n 当n?2， b22n?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1 ；?b*n?2n?1(n?N)；（2）T1n?b?L?1111b?1?12b2b3b3b4b?1nbn?11?3?3?5?5?7?K?1(2n?1)??2n?1??1?11?1?1??112???1?3???2??3????1?11?5??25??K??7??1n?2?n1?2 1?1?n?2???12?1??2n?1???2n?1；由Tnn?2n?1?10002009得n?10009，满足Tn?的最小正整数为112.44.湖北理19、（本小题满分13分）已知数列?an?的前n项和Sn??an?()n?1?2（n为正整数）。21（Ⅰ）令bn?2nan，求证数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）令cn?n?1nan，Tn?c1?c2?........?cn试比较Tn与15n2n?1的大小，并予以证明。12解析：（I）在Sn??an?()n?1?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?2n?1当n?2时，Sn?1??an?1?()n?2?2，?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()， 11221n?1nn?1?2an?an?1?(),即2an?2an?1?1.2?bn?2nan,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1. 又b1?2a1?1,?数列?bn?是首项和公差均为1的等差数列.
于是bn?1?(n?1)?1?n?2an,?an?(II)由（I）得cn?Tn?2?1n?1nnn2n.1nan?(n?1)()，所以212131n?3?()?4?()?K?(n?1)() 2222Tn?2?()?3?()?4?()?K?(n?1)() 222221Tn?1?()?()?K?()?(n?1)()22222由①-②得1 1n?1[1?()]1n?13n?3?1??(n?1)()??n?112221?2?Tn?3?n?32nTn?5n2n?1?3?n?32n?5n2n?1?(n?3)(2?2n?1)2(2n?1)nnn 于是确定Tn与5n2n?12的大小关系等价于比较2与2n?1的大小345由2?2?1?1;2?2?2?1;2?2?3?1;2?2?4?1;2?2?5;K2?2n?1.证明如下： 可猜想当n?3时，n 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。k?1k（2）假设n?k?1时2?2g2?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1所以当n?k?1时猜想也成立n综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1.证法2：当n?3时2?(1?1)?Cn?Cn?Cn?K?Cnnn012n?1?Cn?Cn?Cn?Cnn01n?1?Cn?2n?2?2n?1n综上所述，当n?1,2时Tn?5n2n?1，当n?3时Tn?5n2n?1 45.福建文17．(本小题满分)2分）等比数列{an}中，已知a1?2,a4?16（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。安徽理（21）（本小题满分13分） 首项为正数的数列?an?满足an?1?14(an?3),n?N?.2（I）证明：若a1为奇数，则对一切n?2,an都是奇数； （II）若对一切n?N?都有an?1?an，求a1的取值范围。 46.安徽文（19）（本小题满分12分）已知数列{an} 的前n项和Sn?2n2?2n，数列{bn}的前n项和Tn?2?bx （1）求数列{an}与{bn}的通项公式；2（2）设cn?an?bn，证明：当且仅当n≥3时，cn?1＜cn解：当n?1时， a1?S1?422当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2n?2n)?[2(n?1)?2(n?1)]?4na1?4也适合上式，∴an?4n当n?1时，b1?T1?2?b1，∴b1?1当n?2时，bn?Tn?Tn?1?2?bn?(2?bn?1)，∴12bnbn?1?12 1∴数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴bn?()22n?1。121n1n121n122（2）由（1）知cn?an?bn?16n()21n?1，∴cn?1cn?(n?1)2n22?(1??)?2[(?)?34]当n?1时，cn?1cn?2?1，当n?2时cn?1cn?98?1，当 n?3时，cn?1cn?c3c2?89?1，因此，当且仅当n≥3时，cn?1＜cn47.北京理20．（本小题共13分）已知数集A??a1,a2,?an??1?a1?a2??an,n?2?具有性质P；对任意的i,j?1?i?j?n?，aiaj与ajai两数中至少有一个属于A. （Ⅰ）分别判断数集?1,3,4?与?1,2,3,6?是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）证明：a1?1，且a1?a2???ana43?11?a?12???a?1n（Ⅲ）证明：当n?5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.?an； 解：（Ⅰ）由于3?4与均不属于数集?1,3,4?，∴该数集不具有性质P.661236,,,,,都属于数集?1,2,3,6?， 231236由于1?2,1?3,1?6,2?3,
∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵A??a1,a2,?an?具有性质P，∴anan与anan中至少有一个属于A，由于1?a1?a2???an，∴anan?an，故anan?A.从而1?anan?A，∴a1?1. ∵1?a1?a2???an， ∴akan?an，故akan?A?k?2,3,?,n?.由A具有性质P可知anak?A?k?1,2,3,?,n?.又∵anananan?anan?1anan?1???ana2ana2?ana1ana1，∴anan?1,anan?1?a2,?ana2?an?1,ana1?an， 从而??????a1?a2???an?1?an，∴a1?a2???ana1?a2???an2?1?1?1?an. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n?5时，有a5a4?a2,a5a3?a3，即a5?a2a4?a3，∵1?a1?a2???a5，∴a3a4?a2a4?a5，∴a3a4?A，由A具有性质P可知a4a3?A.2由a2a4?a3，得a3a2?a4a3?A，且1?a3a2?a2，∴a4a3?a3a2?a2，∴a5a4?a4a3?a3a2?a2a1?a2，即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公比为a2成等比数列.48.北京文20．（本小题共13分）?设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若p?12,q??13，求b3；（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）由题意，得an?
∴12n?1312n?13，解12n?13?3，得n?203. ?3成立的所有n中的最小整数为7，即b3?7.（Ⅱ）由题意，得an?2n?1，根据bm的定义可知对于正整数，由an?m，得n?m?12.当m?2k?1时，bm?k?k?N*?；当m?2k时，bm?k?1?k?N*?.∴b1?b2???b2m??b1?b3???b2m?1???b2?b4???b2m?
??1?2?3???m?????3?4???m??2
?m?m?1?2?m?m?3?2?m?2m.2???1 m?qp（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn?q?m及p?0得n?.?∵bm?3m?2(m?N),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有3m?1?m?qp?3m?2，即?2p?q??3p?1?m??p?q对任意的正整数m都成立.当3p?1?0（或3p?1?0）时，得m??
这与上述结论矛盾！
当3p?1?0，即p? 23p?q3p?1（或m??2p?q3p?1），13时，得??q?0??13?q，解得?23?q??13.?∴ 存在p和q，使得bm?3m?2(m?N)；p和q的取值范围分别是p?49.广东理21．（本小题满分14分）13，?23?q??13. 22已知曲线Cn:x?2nx?y?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)．（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式； （2）证明：x1?x3?x5???x2n?1??xnyn.222222解：（1）设直线ln：y?kn(x?1)，联立x?2nx?y?0得(1?kn)x?(2kn?2n)x?kn?0，则??(2kn?2n)?4(1?kn)kn?0，∴kn?2222n2n?1（?n2n?1舍去）x2n?kn221?kn?n22(n?1)，即xn?nn?1，∴yn?kn(xn?1)?n2n?1n?1 （2）证明：∵1?xn1?xn1??1?nn?1?nn?112n?1 x1?x3?x5?????x2n?1?12?34?????2n?12n?13?35?????2n?12n?1?12n?1 ∴x1?x3?x5?????x2n?1?xnyn12n?11?xn1?xn?xn1?xn 由于??，可令函数f(x)?x?2sinx，则f(x)?1?'2cosx，令f(x)?0，得'cosx?22，给定区间(0,?4)，则有f(x)?0，则函数f(x)在(0,'?4)上单调递减，∴f(x)?f(0)?0，即x?2sinx在(0,?4)恒成立，又0?12n?1?13??4，则有12n?1?2sin12n?1，即1?xn1?xn?2sinxnyn. 50.湖南理文21.（本小题满分13分）对于数列?un则称数列?un（1）?若存在常数M＞0,对任意的n?N?，恒有 ?为B-数列un?1?un?un?un?1?...?u2?u1?M 首项为1，公比为q(q?1)的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；设Sn是数列?xn?的前n项和，给出下列两组论断；A组：①数列?xn?是B-数列
②数列?xn?不是B-数列B组：③数列?Sn?是B-数列
④数列?Sn?不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。 判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3） 若数列?an?,?bn?都是B?数列，证明：数列?anbn?也是B?数列。（2）解（1）设满足题设的等比数列为?an?,则an?qn?1，于是
an?an?1?qn?1?qn?2?qn?2q?1,n?22n?1因此｜an?1- an｜+｜an-an?1｜+…+｜a2-a1｜=q?1(1?q?q?...?q因为q?1,所以1?q?q?...?q2n?1).?1?q1?qn?11?q,即 an?1?an?an?an?...?a2?a1?q?11?q 故首项为1，公比为q(q?1)的等比数列是B-数列。（2）命题1：若数列?xn?是B-数列，则数列?Sn?是B-数列，
此命题为假命题。事实上，设xn?1,n?N?，易知数列?xn?是B-数列，但Sn?n， Sn?1?Sn?Sn?Sn?1?...?S2?S1?n由n的任意性知，数列?Sn?是B-数列此命题为。命题2：若数列?Sn?是B-数列，则数列?xn?是B-数列， 此命题为真命题 事实上，因为数列?Sn?是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?1,有 ?M
Sn?1?Sn?Sn?Sn??...?S2?S1即xn?1?xn?...?x2?M。于是xn?1?xn?xn?xn?1?...?x2?x1?xn?1?2xn?2xn?1?...?2x2?2x1?2M?x1所以数列?xn?是B-数列。（III）若数列?an? {bn}是B?数列，则存在正数M1.M2，对任意的n?N?,有 ?M 1
an?1?an?an?an??....?a2?a1bn?1?bn?bn?an?1?....?b2?b1?M2注意到an?an?an?1?an?1?an?2?...?a2?a1?a1 a?a?1M?a
?an?an?1?an?1?an??...?a?211同理：bn?M2?b1 记K2?M2?b2，则有K2?M2?b2an?1bn?1?anbn?an?1bn?1?anbn?1?anbn?1?anbn?bn?1an?1?an?anbn?1?bn?K1an?1?an?k1bn?1?bn因此
K1(b?b?n?1nb?n?nb?.....?a2a?)1k?M211Mk2+K1(bn?1?bn?bn?bn?1?......a2?a1)?k2M1?k1M2故数列?anbn?是B?数列 51.江西理22．（本小题满分14分）各项均为正数的数列{an}，a1?a,a2?b，且对满足m?n?p?q的正整数m,n,p,q都有am?an(1?a?ap?aqm)(1?an)(1?ap)(1?a.q)（1）当a?142,b?5时，求通项 （2）证明：对任意a，存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有1??an??.解：（1）由am?anaq得(1?am)(1?an)?ap?(1?ap)(1?aq)a1?an?a2?an?1.将(1?a(1?aa1?1 an?1?1n?2a所以1?an1)(1?an)2)(1?an?1)2,a2?45代入化简得an?1?2.1?a?13?1?an?1n1?a,n?11?ann故数列{n1?a为等比数列，从而1?an1n满足题设条件.n1?a?,即a?1n?3n3n3n?1.可验证，a3?1n?3?1(2) 由题设am?ann(1?a有关,记为ba1?anm?n,则bn?1? m)(1?a的值仅与m?n)(1?a1)(1?a?a?ann)(1?a)(1?an).考察函数 f(x)?a?x(1?a)(1?x)(x?0),则在定义域上有 ?1?a?1?1?a,f(x)?g(a)???1,a?1?2?a?1?a,0?a?1?故对n?N*， bn?1?g(a)恒成立.又 b2an2n?(1?a?g(a),n)2注意到0?g(a)?12,解上式得 ?g(a)?an?g(a) 取??1g(a),即有??an??.. 52.山东理（20）（本小题满分12分）（文做1，2） 等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N?
，点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.（1）求r的值；
（11）当b=2时，记
bn?2(lo2gan?证明：对任意的n?N?，不等式b?1b1?1b2?1····n?b1b2bn1n)?(N?)成立解:因为对任意的n?N?,点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图像上.所以得Sn?bn?r,当n?1时,a1?S1?b?r,当n?2时,an?Sn?Sn?1?b?r?(bnn?1?r)?b?bnn?1?(b?1)bn?1,又因为{an}为等比数列,所以r??1,公比为b,an?(b?1)bn?1（2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1,
bn?2(log2an?1)?2(log22n?1?1)?2n 则bn?1bn?2n?12n,所以b?b2?12n?1 ····n????b1b2bn2462nb?b2?12n?1····n?????b1b2bn2462n32?,所以不等式成立.下面用数学归纳法证明不等式32成立.① 当n?1时,左边=,右边=因为② 假设当n?k时不等式成立,即b?b2?12k?1····k?????b1b2bk2462k成立.则当n?k?1时,左边=b?1bk?1?b2?12k?12k?3····k???????b1b2bkbk?2k?32k?2?????所以当n?k?1时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.53.四川文（22）（本小题满分14分）设数列?an?的前n项和为sn,对任意的正整数n，都有an?5sn?1成立，记bn?（Ⅰ）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；（Ⅱ）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk?4k成立？若存在，找出一个正整数k;若不存在，请说明理由；?（Ⅲ）记cn?b2n?b2n?1(n?N),设数列|cn|的前n项和味Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn?4?an1?an(n?N).? 32. 解：（Ⅰ）当n?1时，a1?5a1?1,?a1??14 14an又∵an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1∴an?1?an?5an?1，即an?1??4?(?an114∴数列{an}成等比数列，其首项an?1??14))n∴an?1?(? n（Ⅱ）不存在正整数k，使得Rk?4k成立
下证：对任意的正整数n，都有Rk?4n成立由（Ⅰ）知bn?4?5(?4)?15(?14)2k?1 n ?b2k?1?b2k?8???15(?4)2k?1?8?516?1k?2016?4k?8?15?16?40(16?1)(16?4)kkk?8 54.四川理22. （本小题满分14分）设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?（I）求数列?bn?的通项公式；*（II）记cn?b2n?b2n?1(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?4?an1?an(n?N)。*32；（III）设数列?bn?的前n项和为Rn。已知正实数?满足：对任意正整数n,Rn??n恒成立，求?的最小值。 解：（Ⅰ）当n?1时，a1?5a1?1,?a1??14 14an又 Qan?5an?1,an?1?5an?1?1?an?1?an?5an?1,即an?1???数列?an?成等比数列，其首项a1??14，公比是q??14 ?an?(?144?(?)?bn?n1414))n……………………………………..3分n1?(?（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?4?25?16n2nn5(?4)?125?16(16)n2n?cn?b2n?b2n?1?n542n?1?542n?1?1?25?16nnn(16?1)(16?4) =(16)?3?16?4)133,?c1?43??2516n 又b1?3,b2? 43?25?(1162当n?1时，T1?32当n?2时，Tn??1163?K?116n)1?43?25?2[1?(1?511)n?1]?143?25?1?21?6948?32 1616（Ⅲ）由（Ⅰ）知bn?4?(?4)?1n一方面，已知Rn??n恒成立，取n为大于1的奇数时，设n?2k?1(k?N*)14?11则Rn?b1?b2?K?b2k?1 ?4n?5?(?
&4n?114?11?14?12?14?13?KK?1k?2142k?1?1)?12?4?114?3?)KK?11k2?4?14?1)]1??n?Rn?4n?1,即（??4）n??1对一切大于1的奇数n恒成立???4,否则，（??4）n??1只对满足n?14??的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当??4时，对一切的正整数n都有Rn?4n 事实上，对任意的正整数k，有b2n?1?b2n?8?5(?4)2k?1?1?5(?4)2k?1?8?5(16)?1k?20(16)?4k?8?15?16?40(16?1)(16?4)kkk?8?当n为偶数时，设n?2m(m?N)*则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?1?b2m)&8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N*)则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?3?b2m?2)?b2m?1&8(m?1)?4?8m?4?4n?对一切的正整数n，都有Rn?4n综上所述，正实数?的最小值为4………………………….14分55.陕西理22．（本小题满分12分）已知数列?xn}满足， x1＝12’xn＋1＝11?xn,n?N.12n?1()。 65*???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论； (Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤ 56. 上海理23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。*（1） 若an?3n?1，是否存在m、k?N，有am?am?1?ak?说明理由； （2） 找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,*an?1an?bn,并说明理由；（3） 若a1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的和是数列?bn?中的一项，请证明。
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