已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-又f(x2)-f(x1)/x2-x1=0在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=又f(b)-f(a)/b-ab-a/b＜ln又b/a＜又b-a/a（可不用证明函数的连续性和可导性）．-乐乐题库
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已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-f(x2)-f(x1)x2-x1=0在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=f(b)-f(a)b-ab-ab＜lnba＜b-aa（可不用证明函数的连续性和可导性）．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x...”的分析与解答如下所示：
（1）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（2）=0可得到关于m的代数式．再将m的代数式n代入函数f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx2-6mx，当f'（x）＞0时x的取值区间为所求．（2）由于f(x2)-f(x1)x2-x1=m（x12+x22+x1x2-3x1-3x2）从而f′(x)-f(x2)-f(x1)x2-x1=0，可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2，计算则h（x1）h（x2）＜0，根据零点存在定理得h（x）=0在区间（x1，x2）内必有解，从而得到证明；（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），使g′(x0)=g(b)-g(a)b-a1x的性质即可证得结果．
解：（1）因为f'（x）=3mx2+2nx，------（1分）由已知有f'（2）=0，所以3m+n=0即n=-3m------（2分）即f'（x）=3mx2-6mx，由f'（x）＞0知mx（x-2）＞0．当m＞0时得x＜0或x＞2，f（x）的减区间为（0，2）；-----（3分）当m＜0时得：0＜x＜2，f（x）的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；-----（4分）综上所述：当m＞0时，f（x）的减区间为（0，2）；当m＜0时，f（x）的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）；-----（5分）（2）∵f(x2)-f(x1)x2-x1=m（x12+x22+x1x2-3x1-3x2），------------（6分）∴f′(x)-f(x2)-f(x1)x2-x1=0，可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2-------（7分）则h（x1）=（x1-x2）（2x1+x2-3），h（x2）=（x2-x1）（x1+2x2-3），即h（x1）h（x2）=-（x1-x2）2（2x1+x2-3）（x1+2x2-3）又因为0＜x1＜x2＜1，所以（2x1+x2-3）＜0，（x1+2x2-3）＜0，即h（x1）h（x2）＜0，-----------（8分）故h（x）=0在区间（x1，x2）内必有解，即关于x的方程f′(x)-f(x2)-f(x1)x2-x1=0在（x1，x2）恒有实数解-----（9分）（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），-----------（10分）则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），使g′(x0)=g(b)-g(a)b-a1x，由x∈（a，b），0＜a＜b可知g′（x）∈（1b，1a），b-a＞0-----（12分）即1b&＜g′(x0)=g(b)-g(a)b-a＜1a，∴b-ab＜lnba＜b-aa-----（14分）
本小题主要考查导数的运算、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法\拉格朗日中值定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x...”主要考察你对“利用导数研究曲线上某点切线方程”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究曲线上某点切线方程．
与“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x...”相似的题目：
已知函数f（x）=x2+1x＞0-x2-4x+a-4≤x≤0在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则a的取值范围是&&&&[-8，-4+2√5)(-4-2√5，-4+2√5)(-4+2√5，8](-4-2√5，-8]
已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．&&&&
已知函数f（x）=lnx+a（x2-x）（1）若a=-1，求证f（x）有且仅有一个零点；（2）若对于x∈[1，2]，函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于π4，求实数a的取值范围；（3）若f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．&&&&
“已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n...”的最新评论
该知识点好题
1抛物线C1：y=12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：x23-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=&&&&
2已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为&&&&
3曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为&&&&
该知识点易错题
1曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为&&&&
2曲线y=xx+2在点（-1，-1）处的切线方程为&&&&
3曲线y=x3-2x+1在点（1，0）处的切线方程为&&&&
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若函数f(x)=-1/2x^2+13/2在区间[a,b]上的值域为[2a,2b]，求a,b的值
详细的写出过程
f(x)=-1/2x^2+13/2=-(x^2-13)/2∴f(x)图像关于y轴对称，开口向下∵函数f(x)=-1/2x^2+13/2在区间[a,b]上的值域为[2a,2b]∴当a，b在同一单调区间时，则他们在单调递增区间，即a&b≤0∴则有2a=-(a^2-13)/22b=-(b^2-13)/2解之得：a=-2-√17 b=-2+√17&0 不合题意舍去当a，b不在同一单调区间时，则他们不在单调递增区间，即a≤0&b则有2a=-(a^2-13)/2
2b=-(b^2-13)/2或者：2b=-(a^2-13)/2 2a=-(b^2-13)/2解之得：a=-2-√17 b=-2+√17&0 合题意或者：a=2-√33 b=2+√33 合题意∴a，b值分别为：a=-2-√17 b=-2+√17 a=2-√33 b=2+√33
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函数开口向下，对称轴为x=0，由区间[a,b]知题目隐含条件b&a所有可能的情况有：对称轴在区间[a,b]的左边、内部、右边。1、对称轴在区间[a,b]的左边，即b&a&0时，f(a)=2b且f(b)=2a，即-1/2a^2+13/2=2b-1/2b^2+13/2=2a结合b&a&0，联立解方程组得a=1，b=32、对称轴在区间[a,b]的内部，即a&0&b时，函数在对称轴处取得最大值，即f(0)=2b，即13/2=2b，求得b=13/4。函数在x= a或x= b处取得最小值，即f(a)=2a，或f(b)=2a所以-1/2a^2+13/2=2a或-1/2b^2+13/2=2a，将b=13/4代入并结合a&0&b，求得a= -2-√173、对称轴在区间[a,b]的右边，即a&b&0时，f(a)=2 a且f(b)=2 b，即-1/2a^2+13/2=2a-1/2b^2+13/2=2b结合a&b&0，联立解方程组得原方程组无解。综上所述，a、b的解有两组：a=1，b=3或a= -2-√17，b=13/4
将（a，2a）代入f(x)=-1/2x^2+13/2有
2a =-1/2a^2+13/2解得： a=-2±√17又，当x=b时，与x=a时同解 ，a&b∴a= -2 - √17 ,b=-2 + √17
[ -2 - √17 ,
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楼上正解，采纳他吧，自己要把图画出来，分段讨论，这种问题最简单了，送分题，莫要丢失啊！
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