【摘要】本文阐述了如何利用图像法解一元二次不等式的教学过程：1.复习引入，展示目标；2. 启发诱导，画龙点睛；3.课后" />
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利用图像法解一元二次不等式
2013年12期目录
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　　【摘要】本文阐述了如何利用图像法解一元二次不等式的教学过程：1.复习引入，展示目标；2. 启发诱导，画龙点睛；3.课后小结，复习巩固。并得出：在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的最终目标。 中国论文网 /1/view-5008066.htm　　【关键词】一元二次不等式；图像法；数学；画龙点睛 　　一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一，从教学内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程与函数等数学思想，这些内容和思想在中学数学中产生广泛而深远的影响。教材中通过实例介绍了一元二次不等式的概念和结合二次函数y=x2-5x的图像，得x2-5x≤0的解集；在新教材的安排上，既承前启后，又分散了难点，符合认知理论中的渐近性原则。一元二次不等式的解法是研究函数的定义域、值域等问题的最重要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。针对我校学生特点，笔者在讲授此节内容时，采用了如下的教学过程： 　　一、复习引入，展示目标 　　设问一：我们在初中学习了一元二次函数的图象和性质，你能求出一元二次函数y=x2-x-2与x轴的交点吗？ 　　启发诱导学生x轴上的点的特点是y坐标为零，于是令y=0，即x2-x-2=0求得交点坐标为P1（-1，0），P2（2，0），从而得出结论： 　　一元二次函数与x轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一元二次方程的根：有两个不相等的实数根，则有两个不同的交点；有两个相等的实数根则有一个交点；没有实数根则没有交点。 　　这是揭示二次函数、二次方程和二次不等式三者关系的关键，是突破本课难点的重要环节。 　　追问1：你们能画出这个二次函数的草图吗？ 　　启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，鼓励学生自已动手画出草图。（然后由多媒体展示出电脑所画出的标准图形，让学生观察和比较） 　　追问2：你们能在抛物线上找出纵坐标y>o的点吗？ 　　诱导学生纵坐标取正值的点位于x轴的上方，取负值的点位于x轴的下方，从而得出正确答案。（这时用多媒体动画展示结果） 　　追问3：纵坐标y > 0的那些点所对应的横坐标x取哪些数呢？ 　　诱导学生得出结论： 　　接着，以同样的方法引导学生找出y<0的点所对应的x的取值范围。 　　（这时，用多媒体动画展示出x的取值范围） 　　反问：这难道不是解一元二次不等式的一种方法吗？ 　　在以上一系列的设问、追问和反问中水到渠成地揭开本课的课题，学生恍然大悟。此时教师已运用多媒体的教学手段让学生初步领略到图象法解一元二次不等式的基本原理和基本步骤。 　　二、启发诱导，画龙点睛 　　在前面讲过一元二次不等式的一般形式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c 0的情况，若a < 0时，只需在不等式的两边同乘以-1，把二次项系数变为正便可。 　　【例一】，解下列一元二次不等式： 　　（1）x2-x-6>0 （2）-x2+3x+10≥0 （3）x2-x-1<0 　　说明： 　　其一：设计例一的目的是让学生掌握Δ>0这一最常见类型，它又分为两种情况——可用十字相乘法的情况和只能用求根公式法的情况。 　　其二：通过（1）达到让学生掌握图象法解一元二次不等式的基本原理（数形结合）和基本步骤（求根——画图——找解）； 　　其三：通过（2）使学生注意二次项系数为负时的处理方法；通过（3）使学生认识到不能用十字相乘法时还可用求根公式法。经过点拨，让学生自己动手找出问题的答案，最后教师用多媒体显示结果并和学生一起归纳出图象法解一元二次不等的基本步骤：求根——画图——找解，并戏称“三步曲”。 　　其四：引导学生画图时，抓住问题的本质，可以将y轴省略不画，使得图象更利于观察。以此培养学生从纷繁复杂的事物中洞察本质的能力，并体会“去繁就简，去粗取精”这一数学中的简约美。引导学生观察不等式的解集和方程的根之间的关系：“小于取中间，大于取两边”。让学生在了解其来历的基础上真正理解口诀的意义，防止单一地教给学生这一“教条”，避免让学生思维疆化。 　　【例二】，解下列一元二次不等式： 　　（1）2x2-4x+2≥0 （2）-2x2+4x-2>0 　　有例一作为基础，再通过例二解决第二类型：Δ=0时的解法。鼓励学生仍按例一的步骤进行，并启发学生：当方程有两个相等实根时意味着抛物线与x轴只有一个交点，从而引导学生画出正确的图形，同时强调当二次项系数为负时，需首先变为正处理。 　　变式提问：你们能根据上图找出不等式2x2-4x+2>0， -2x2+4x-2≥0的解集吗？ 　　鼓励学生大胆讨论，仔细观察图象得出正确答案。（通过变式，培养学生思维的灵活性和深刻性，进一步深化图象法的基本要领。） 　　【例三】，解下列一元二次不等式 　　（1）2x2-4x+3>0 （2） 2x2-4x+3≤0 　　通过例三让学生掌握Δ<0类型的解法。诱导学生仍按“求根——画图——找解”三步曲进行，学生很容易在求根时发现十字相乘法行不通，鼓励学生用求根公式法试试，学生很快发现也不行，从而得出Δ<0，方程无根的结论。既然第一步受阻，第二步画图该怎么办呢？新旧知识的碰撞在学生头脑中产生了矛盾和冲突，学生存在有一定程度的焦虑，甚至解得解集为空集的错误结论。这正是教师抓住这一矛盾和焦虑感将本节课推到高潮的时机。这时，鼓励学生按既定步骤进行，并及时启发他们，方程无实数根意味着抛物线与x轴无交点。鼓励学生画出图形，观察结果，看看与自己最初的猜想是否一致。学生很快发现（1）的解集为R，（2）的解集为Φ。这样既培养了学生大胆猜想，勇于探索的勇气，又培养了学生勤于思考，寻根问底的科学精神，从而将图象法解二次不等式推向高潮，使二次不等式的解法更加完备。 　　三、归纳总结 　　提出问题：这节课你们学到了什么？ 　　教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用上张表展示出来，告诉学生不必死记硬背，而是掌握其数形结合的基本原理和基本步骤。 　　四、课后思考 　　不等式① x2-x-6>0；② -x2+3x+10≥0您还有其他解法吗？（为后面简单的分式不等式的解法作准备） 　　总之，“授人以鱼，不如授人以渔”。在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的最终目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。
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一元二次不等式及其解法不等式解法
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一元二次不等式的解法
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一元二次不等式的解法及基本不等式
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【教学目标】
知识与技能：理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。
过程与方法：通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；同时通过6个例题的设计和讲解，设学生体会从特殊到一般的研究问题的方法。
情感态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】一元二次不等式的解法。
【教学难点】理解三个二次之间的关系。
【例题设计】
例1.解不等式：(1)；(2)。解法：以(1)为例给出2种解法&&& 解法一：原不等式等价于：，按的正负讨论；&&& 解法二：画出函数的图像，找到函数图像在时的的取值集合。设计思路：本题是必修五教材中74页引例的改编，解法完全一致，只在具体数据上作了改动，目的是与后面的例题统一。本题的目的是通过对两种解法的比较，使学生体会到做出相应的函数图像，并由图像直接写出解集的方法的优势(简单、直观)。力求使学生体会一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，同时体会函数思想和数形结合思想在解不等式问题中的应用。讲解后引申解不等式，可以用求根公式求解对应方程的根(引申出的这个不等式可以看作是教材77页例2的改编)。
例2．解不等式：(1)；(2)。
例3．解不等式：(1)；(2)。
设计思路：例2是教材中76页例1，例3是教材77页例3的改编，这两个例题是利用函数图像解一元二次不等式的两个练习，目的是使学生进一步掌握解一元二次不等式时使用一元二次函数图像的方法。同时，例1、例2、例3分别是一元二次不等式对应的一元二次方程的判别式大于零、小于零、等于零的三种情况，通过这三个例题，使学生初步了解解一元二次不等式时可能遇到的三种情况，同时为下面几个例题和系统掌握一元二次不等式解集情况作铺垫
例4．是什么实数时，关于的不等式的对任意实数均成立？
设计思路：本题是教材中79页练习B第2题的改编，同时也是例1、例2、例3的引申，这个不等式的结构是例1、例2、例3的一般情况。这个例题的设计的目的是使学生进一步体会何时一元二次不等式的解集是实数集，加深对运用函数方法解决不等式问题的理解和掌握，同时为研究例5、例6作铺垫。另外，这个不等式也可以把参数和未知数分离形成再讨论。
例5．解关于的不等式。
设计思路：本题是教材中79页练习B的第1题，同时也是例1-例4的引申。通过这个例题实现了例1、例2、例3的一般化。使学生在全面理解该类型不等式解集的各种情况、进一步体会函数图像这一工具的方便性；同时使学生感受分类讨论思想在解一元二次不等式问题中的应用。这个不等式的解集的讨论是一个比较困难的问题、而通过例4的铺垫，本题只需要考察判别式大于零的情形，实现了难点分散。另一方面，也通过例1、例2、例3、例4、例5一系列的问题使学生体会从特殊到一般的研究问题的方式。本节例题的处理至此达到一个高潮。如果有时间，还可以引申讨论不等式的解集。
例6．设计求解一元二次不等式的算法框图
设计思路：这个问题从算法的角度对前面5个例题进行升华，从方法掌握和严谨思维的培养两个方面都对学生大有好处。同时也能培养学生善于总结的习惯。
【习题设计】
1．求函数的定义域。
设计思路：教材中77页例4，解一元二次不等式的应用，由于方法已经用过，本题改为习题。
2．解关于的不等式。设计思路：教材中79页练习B的第1题，例5、例6的应用。
3．关于的不等式的解集为，求的值。设计思路：解不等式的逆向问题，给出解集求参数的值，进一步考察三个二次之间的关系。
4．解不等式：(1)；(2)。
解法：(1)；(2)
设计思路：分式不等式向二次不等式的转化，转化思想的应用和一元二次不等式解法的练习，注意分母不为零。
5．解不等式：。
解法：解法，结合函数的图像求解
设计思路：函数方法解决不等式问题的应用，本题若能看到可以构造熟悉的函数求解就相对简单，否则利用就要繁琐得多。
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