如图,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形的性质,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-27 03:56 标签： 等边三角形的性质
如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（　　）①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；②△AMB≌△ENB；③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，则AN⊥BE；⑤当AM+BM+CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2．A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤【考点】；；；；．【专题】压轴题．【分析】（1）连接AC，根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；（2）由题意得MB=NB，∠ABN=30°，所以∠EBN=30°，容易证出△AMB≌△ENB；（3）连接AC，可以得到S△ABE=S△ADC，S△AMB≠S△AMC，从而可以得出结论．（4）假设AN⊥BE，根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质得出EN=BN，从而得出结论．（5）根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，（如图）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=60°，设菱形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得菱形的边长．【解答】解：①连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO∴点A，点C关于直线BD对称，∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值∵∠ABC=60，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AB=1，∴AC=1，即AM+CM的值最小为1，故本答案正确．②∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正确．③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBES△ACD+S△AMC=S四边形ADCM，且S△AMB≠S△AMC，∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC，∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM，故本答案错误．④假设AN⊥BE，且AE=AB，∴AN是BE的垂直平分线，∴EN=BN=BM=MN，∴M点与O点重合，∵条件没有确定M点与O点重合，故本答案错误．⑤如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，设菱形的边长为x，∴BF=x，EF=x，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴2+2=2，解得x=2，故本答案正确．综上所述，正确的答案是：①②⑤，故选C．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题和旋转的问题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：hdq123老师　难度：0.36真题：6组卷：118
解析质量好中差已知角abc等于九十度点p为射线BC上任意一点点p与点b不重合分别以_作业帮
已知角abc等于九十度点p为射线BC上任意一点点p与点b不重合分别以
已知角abc等于九十度点p为射线BC上任意一点点p与点b不重合分别以
,证明：因为三角形ABE是等边三角形所以AB=AE角ABE=角BAE=角AEB=60度因为三角形APQ是等边三角形所以AP=AQ角PAQ=角PAE+角EAQ=60度因为角BAE=角BAP+角PAQ=60度所以角BAP=角EAQ所以三角形BAP和三角形EAQ全等（SAS)所以角APB=角AQE因为角ABC+角BAP+角APB=180度角ABC=90度所以角BAP+角APB=90度所以角EAQ+角AQE=90度因为角EAQ+角AQE+角AEQ=180度所以角AEQ=90度2,与EF相等的线段是BF证明：因为角AEQ+角AEP=180度角AEQ=90度（已证)所以角AEP=角AEB+角BEF=90度因为角AEB=60度（已证）所以角BEF=30度因为角ABC=角ABE+角EBF=90度角ABE=60度（已证)所以角EBF=30度所以角BEF=角EBF=30度所以EF=BF如图1,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕_百度知道
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）=60°不妨设BP＞, 如图1所示∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ∴△ABP≌△AEQ（SAS）∴∠AEQ=∠ABP=90°∴∠BEF∴=60°
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晚了些,不过还是谢谢……
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∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，∴△ABP≌△AEQ．（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．
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出门在外也不愁如图，已知△ABC中，∠BAC=90゜，AB=AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF=CF-BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．【考点】．【分析】（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°，根据∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE=CF，BE=AF得出结论；（2）如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°，根据∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE=CF，BE=AF得出结论EF=BE+CF．【解答】解：（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB=∠AFC=90°．∴∠FAC+∠ACF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠FAC=90°，∴∠BAE=∠ACF．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE=CF，BE=AF．∵EF=AE-AF，∴EF=CF-BE；（2）EF=BE+CF理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB=∠AFC=90°．∴∠FAC+∠ACF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠FAC=90°，∴∠BAE=∠ACF．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE=CF，BE=AF．∵EF=AE+AF，∴EF=BE+CF．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：hdq123老师　难度：0.75真题：1组卷：3
解析质量好中差如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段A_百度知道
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证明：（1）∵∠ABC=90°，∠BAE=60°，∴∠EBF=30°；（1分）则猜想：∠QFC=60°；（2分）（2）∠QFC=60°． （1分）∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP和△AEQ中，
∠BAP=∠EAQ
，∴△ABP≌△AEQ （SAS）　∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60；（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2
．由（1）得∠EBF=30°．又∵∠QFC=60°∴∠EBF=∠BEF，∴BF=EF，∵FG⊥BE∴BG=
=2．∴EF=2． （1分）∵在Rt△ABP和Rt△AEQ中，
∴△ABP≌△AEQ．设QE=BP=x，则QF=QE+EF=x+2． （2分）过点Q作QH⊥BC，垂足为H．在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=
（x+2）．（x＞0）即y关于x的函数关系式是：y=
． （3分）
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