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& 2017届高考数学（理）一轮复习对点训练：10-3-2 抛物线的几何性质 （含解析）
2017届高考数学（理）一轮复习对点训练：10-3-2 抛物线的几何性质 （含解析）
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资料概述与简介
1．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是(　　)
A.　　　 　B.
解析　由题可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA2y轴于点A2，过B作BB2y轴于点B2，则＝＝＝.
2.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)
解析　如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4.
过Q作QHl于H，则|QH|＝|QF|.
由题意，得PHQ∽△PMF，
则有＝＝，|HQ|＝3.
3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
解析　由点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2,0)，kAF＝＝－，故选C.
4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
解析　设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知44，所以y0>2.故选C.
5．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
解析　由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限，由，解得或，故A.所以kAF＝＝.由已知F为OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF·＝－1，即×＝－1，整理得b2＝a2，所以c2＝a2＋b2＝a2，故c＝a，即e＝＝.
6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．
答案　x＝－2
解析　c2＝9－5＝4，c＝2.椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，＝2，抛物线的准线方程为x＝－2.
7．已知A是抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B(点B在x轴上方)，若|AB|＝2|AF|，则点A的坐标为________．
答案　(3，－2)或
解析　依题意，若点A位于x轴上方，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有|AB|＝2|AF|＝2|AA1|，BAA1＝60°，直线AF的倾斜角为120°.又点F(1,0)，因此直线AF：y＝－(x－1)．
由得，此时点A的坐标是.若点A位于x轴下方，则此时点F(1,0)是线段AB的中点，又点B的横坐标是－1，故点A的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y＝－＝－2，点A的坐标是(3，－2)．综上所述，点A的坐标是(3，－2)或.
8．已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.
(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；
(2)求ABP面积的最大值．
解　(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.
设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(2，2)或P(－2，2)．
由＝3，分别得M或M.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．
由得x2－4kx－4m＝0.
于是Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，
所以AB中点M的坐标为(2k,2k2＋m)．
由＝3，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，
所以由x＝4y0得k2＝－m＋.
由Δ>0，k2≥0，得－f.
所以，当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±.
所以，ABP面积的最大值为.
9．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|＝2，求k的值；
(3)设点P的轨迹是曲线C，点Q(1，y0)是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C的切线方程．
解　(1)过P作x轴的垂线且垂足为N，则|PN|＝y，由题意可知|PM|－|PN|＝， ＝y＋，
化简得x2＝2y(y≥0)，即为所求．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化简得x2－2kx－2＝0，
x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，
|AB|＝＝＝2，k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，k2＝1，k＝±1.
(3)因为Q(1，y0)是曲线C上一点，12＝2y0，y0＝，
切点为，由y＝x2，求导得y′＝x，
当x＝1时，k＝1.
则切线方程为y－＝x－1，即2x－2y－1＝0.
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已知抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过坐标原点O．（1）求这条抛物线的顶点P的坐标；（2）设这条抛物线与x轴的另一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数解析式．
题型：解答题难度：中档来源：上海模拟
（1）∵抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过原点，∴n+1=0．∴n=-1，得y=x2-4x，即y=x2-4x=（x-2）2-4．∴抛物线的顶点P的坐标为（2，-4）．（2）∵抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过原点且顶点P的坐标为（2，-4），∴其对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另一交点横坐标为x=4，∴点A的坐标为（4，0）．设所求的一次函数解析式为y=kx+b．根据题意，得0=4k+b-4=2k+b，解得k=2b=-8．∴所求的一次函数解析式为y=2x-8．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过坐标原点O．（1）求这条抛物线的顶点..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“已知抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过坐标原点O．（1）求这条抛物线的顶点..”考查相似的试题有：
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贵州省鱼泉中学学年度上学期期末考试卷高二数学（文科）.doc
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3秒自动关闭窗口已知抛物线y=ax^2-x+c经过a（-6,0),与y轴交于点b,顶点为d,对称轴是直线x=-2（1）求抛物线解析式及点d的坐标（本人已完成）（2）连接do,求证：角aod=角abo（本人已完成）（3）点p在y轴上,且三角形adp与三角形aob相似,求点p的坐标
（1）由题意,得,0=36a+6+c-b/2a=-1解之得,a=-1/4,b=-1,c=3所以 y=-1/4x^2-x+3顶点D（-2,4）如图,B（0,3）tan∠AOD=4/2=2,tan∠ABO=6/3=2所以 ∠AOD=∠ABO因为△AOB为直角三角形,且OA:OB=2:1①所以点D不可能为直角顶点②当点A为直角顶点时,AD⊥AP因为AD=4√2,∠DAO=45°所以∠PAO=45°所以OP=OA=6所以点P的坐标为（0,-6）③当AD为直角△ADP的斜边时,∠APD=90°过D做DH⊥y轴,垂足为H设点P的坐标为（0,m）则OP=m,PH=4-m因为∠APD=90°所以∠DPH+∠APO=90°因为∠PAO+∠APO=90°所以∠DPH=∠PAO所以Rt△DPH∽Rt△PAO所以DH:PH=OP:OA所以 2：（4-m）=m：6所以m^2-4m+12=0因为△=（-4）^2-4×1×12
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