直线与圆、圆与圆的位置关系的案例探讨
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直线与圆、圆与圆的位置关系的案例探讨
来源:毕业论文网
　　本部分内容由直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系组成. 直线与圆主要考查位置关系的判断,利用位置关系解决切线方程、公共弦方程及弦长等有关直线与圆的问题;圆与圆主要考查位置关系的判断及简单应用.
　　重点:掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法,寻求圆的弦长、切线长、圆的切线方程等问题的最优解法.
　　难点:圆的弦长问题,求与圆有关的轨迹问题等.
　　1. 判断直线与圆的位置关系的两种常见方法
　　(1)几何法:①确定圆的圆心坐标和半径r;②计算圆心到直线的距离d;③判断d与圆半径r的大小关系:d&r?圯相离,d=r?圯相切,d (2)代数法:①把直线方程代入圆的方程;②得到一元二次方程;③求出&D的值:&D&0?圯相交;&D=0?圯相切;&D&0?圯相离.
　　2. 计算直线被圆所截得的弦长的常用方法
　　(1)几何法:运用由半径、弦心距和半弦长所组成的直角三角形求解(有关位置判断、弦长、弦心距等问题优先利用几何方法).
　　(2)代数法:运用韦达定理及弦长公式.
　　3. 解决圆与圆的位置关系问题的基本思路
　　(1)用圆心之间的距离d与两半径r1,r2的和或差进行大小比较:d&r1+r2?圯相离;d=r1+r2?圯相外切;r1-r2 (2)圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交所得的公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
　　(2012重庆)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
　　A. 相离
　　B. 相切
　　C. 相交但直线不过圆心
　　D. 相交且直线过圆心
　　思索 处理判断直线与圆的位置关系问题,可以用代数法联立方程组,也可以用几何法比较点到直线的距离与半径的大小,我们应根据题目选择合适的方法. 当然,特殊的题目还有更为快捷的方法.
　　破解 (法一)圆心C(0,0)到直线kx-y+1=0的距离为d=■&■&■=r,且圆心C(0,0)不在该直线上. 故选C.
　　(法二)直线kx-y+1=0恒过定点(0,1),而该点在圆C内,且圆心不在该直线上,故选C.
　　过点(3,3)作圆x2-2x+y2-3=0的切线,切线方程为______.
　　思索 求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程:①几何方法.设切线方程为y-y■=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出. ②代数方法. 设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,得到一个关于x的一元二次方程,由&D=0求得k,切线方程即可求出. 两种方法都需注意,若只求出了一条切线方程,则还有一条斜率不存在的切线.
　　破解 设切线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x-3),即y-kx+3k-3=0,圆心到直线的距离d=■=2,得到k=■,所以切线方程为5x-12y+21=0. 当k不存在时,x=3亦为切线方程.所以切线方程为5x-12y+21=0和x=3.
　　(2012天津)设m,n&R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为______.
　　思索 本题的突破口仍然是直线与圆相交,利用几何方法中的特殊三角形得到m,n的关系式,则A,B两点的坐标可以求出,而△AOB为直角三角形,面积可以用m,n表示,进而求解. 注意基本不等式的应用.
　　(2010山东)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆截得的弦长为2■,求圆C的标准方程.
　　思索 利用几何方法,由半径、弦心距和半弦长所组成的直角三角形求解.
　　破解 设圆心为(a,0),则圆心到直线x-y-1=0的距离为d=■.因为圆截直线所得的弦长为2■,根据半弦、半径、弦心距之间的关系有■■+2=(a-1)2,即(a-1)2=4,所以a=3或a=-1(舍去),则半径r=3-1=2,圆心为(3,0). 所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.
　　(1)已知直线l:y=x+b与曲线C:y=■有两个不同的公共点,求实数b的取值范围;
　　(2)若关于x的不等式■&x+b的解集为R,求实数b的取值范围.
　　思索 应用数形结合方法,画出草图.注意曲线为半个圆.
　　破解 (1)如图1(数形结合),方程y=x+b表示斜率为1,在y轴上的截距为b的直线l;方程y=■表示单位圆在x轴上及其上方的半圆. 当直线过B点时,与半圆交于两点,此时b=1,直线即为l1;当直线与半圆相切时,b=■,直线即为l2. 直线l要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2),所以1&b&■,即所求b的取值范围是[1,■).
　　(2)不等式■&x+b恒成立,即半圆y=■在直线y=x+b上方,当直线l过点(1,0)时,b=-1,所以所求b的取值范围是(-&,-1).
　　已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y■-8x+15=0,如果直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,那么k的最大值是_______.
　　思索 本题考查圆与圆的位置关系. 圆与圆有公共点,所以位置关系为相切或相交. 设出动圆的圆心坐标,求出两圆圆心距离的范围,转化为点到线的距离.
　　破解 因为圆C的方程可化为(x-4)2+y2=1,所以圆C的圆心为(4,0),半径为1. 由题意,直线y=kx-2上至少存在一点A(x0,kx0-2),以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C有公共点,所以存在x0&R,使得AC&1+1成立,即ACmin&2. 又因为ACmin即为点C到直线y=kx-2的距离■,所以■&2,解得0&k&■. 所以k的最大值是■.
　　已知圆O的方程为x2+y2=4,定点A(4,0),求过点A且和圆O相切的动圆圆心的轨迹方程.
　　思索 利用两圆相切时圆心距与两半径和或差的关系,列出关系式.注意两种相切的形式.
　　破解 设动圆的圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以PA即为动圆半径. 当动圆P与圆O外切时,PO=PA+2;当动圆P与⊙O内切时,PO=PA-2. 结合这两种情况,可得PO?摇-PA?摇=2. 将此关系式坐标化,得■-(x-4)2+y2■=2,化简可得(x-2)2-■=1.
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圆与圆的位置关系教学反思
由于本节圆与圆的位置关系是新课，这节课的内容与上节“直线和圆的位置关系”有密切的联系，但这节课的两圆位置关系远比直线与圆的位置关系复杂。因此，我通过让动手操作类比直线与圆的位置关系，猜测两圆可能存在的位置关系，然后经过讨论，归纳确定两圆位置关系的各种情况。在与两圆位置关系相应的三量的数量关系的研究中，鉴于学生已有直线与圆的位置关系中两量（半径、圆心到直线的距离）的数量关系的认知基础，就只运用了类比迁移的方法。这些方法的运用，都是为了充分发挥学生在探求新知过程中的主体作用。　　其次，与五种位置关系相应的三量的数量关系的研究中，我采用“先易后难，突破关键”的教学策略。先让学生解决易于解决的“外离”、“外切”、“内切”时的三量的数量关系，再解决“内含”时的三量的数量关系，最后突破相交时三量的数量关系：r2－r1&d&&r1+r2。因此到这时，学生从两圆圆心距d的连续变化中，感悟出非负实数d的连续性（这一对他们来说是一个默会知识），这一不等式就呼之欲出了。此外，我用数轴表示法来帮助学生记忆&r1、r2、d这三者之间的关系，受到了不错的反响。　　当然也有不足之处，比如：虽然我竭力提醒自己要体现出以学生为本的课改精神，但在具体操作中还是会不自觉地喜欢代学生表达观点，往往学生还没把话说完，我已经急着归纳了。这个根深蒂固的坏习惯我已经意识到，但要改也是有一定难度的！
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1&&&&&&& 2&&&&&&&& 3
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两圆外离&&&&&&& d ＞ R＋r
两圆外切&&&&&&& d = R＋r
两圆相交&&&&&&& R－r ＜ d ＜R＋r（R≥r）
两圆内切 &&&&&&&d = R－r（R ＞ r）
两圆内含&&&&&&& d ＜ R－r（R ＞ r）
借助数轴理解两圆位置关系与量关系之间的联系
填写表格(其中R、r表示两圆的半径,d表示圆心距)
例1．已知⊙O1、⊙O2 的半径为R、r,圆心距d=5,R=2.
（1）若⊙O1与⊙O2外切，求r；
（2）若r=7，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？
（3）若r=4，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？
例2. 定圆⊙O半径为3cm，动圆⊙P半径为1cm.
（1）当两圆外切时,OP为&&&&&&& cm？点P在怎样的图形上运动?&&&&
（2）当两圆内切时,OP为&&&&&&& cm？点P在怎样的图形上运动?&&&&
（3)当两圆相切时，OP为多少？&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&
1&&&&&&& 2&&&&&&&& 3
&&&&&&& &&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&
1O1O23 cm4cmd____ .d____
2.10 cmR,13cm
35cmOPPOP______
635&&&&&&&&&
P141&&&&&&&&& 12
P141&&&&&&&&& 36
①公共点个数②一个圆上的点是在另一个圆的外部还是内部
R ＞ r或 R≥r（因为两圆半径一样是只有三种位置关系：外离、外切、相交）
5.&&& 7∕2&& 3∕2
6.&&&& 2或8
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“圆与圆的位置关系”的课程难度变化及其对教学指导的探究
2016年9期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘要：本文借助史宁中教授等人的课程难度量化分析模型，对我国2011年的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）与2000年的《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《大纲》）中“圆与圆的位置关系”的内容难度进行对比分析，以此考察初中几何课程、教学内容的发展变化，希望对教师的实践教学提供一些建议与指导。 中国论文网 /9/view-7338719.htm　　关键词：圆；课程难度；教学指导 　　中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：（9-02 　　一、背景 　　圆是日常生活中常见的图形之一，也是平面几何中最基本的图形之一，它不仅在初中几何学习中有着重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学的重要的基础。本文在本课题组成员郑泽娜的《圆课程难度的定量分析比较》[1]的基础上对“圆与圆的位置关系”进行课程难度定量分析，通过比较《大纲》和《标准》中该模块的课程难度变化，进一步探究该模块的课程难度变化及其对教师教学实践的指导作用。 　　二、课程难度量化比较 　　（一）课程广度比较 　　通过对比《大纲》和《标准》中的“探究并理解圆与圆的位置关系”的内容，相比《大纲》，《标准》减少了五个知识点：①两圆的连心线的性质；②两圆的公切线的性质；③两圆的外公切线的作法；④两圆的内公切线的作法；⑤切线在作图中的应用。总体上，《大纲》中“圆与圆的位置关系”的知识点个数为6个，即课程广度G1=6；《标准》的知识点个数为1个，即课程广度G2=1。 　　（二）课程深度比较 　　总体上，对比《大纲》，《标准》中“圆与圆的位置关系”这一知识点的课程深度基本保持一致，而其他的五个知识点均被直接删除。即《大纲》中相应课程内容的总体课程深度=16；《标准》中相应课程内容的总体课程深度=3。 　　（三）课程实施时间 　　“圆与圆的位置关系”在《大纲》下的教科书中安排7个课时，于是课程实施时间T1=7；在《标准》下的教科书中安排5个课时，于是课程实施时间T2=5。 　　（四）课程难度变化 　　根据以上课程广度、课程深度和课程实施时间三个方面的数据，代入课程难度模型（1），即可得到《大纲》和《标准》的课程难度分别为，（其中，α=0.6）。很显然，在这个难度模型下，《标准》中“圆与圆的位置关系”的课程难度比《大纲》中的低了1.27，即总体课程难度降低了1.27。 　　三、教学启发 　　分析以上数据可知，“圆与圆的位置关系”的课程难度大大降低了，由于《大纲》和《标准》中该模块的课程广度和课程深度都发生了较大的变化，影响课程难度变化的主要原因是课程广度的变化进而引发的课程深度变化。以下将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间和总体课程难度变化四个方面对教学实践的启发和指导。 　　（一） 课程广度变化对教学实践的指导 　　基于上述分析可知，相对《大纲》，《标准》中该模块的课程广度大大减小了。课程内容增强了对课程目标服务的选择性，为数学教学内容指出了方向，根据时代发展要求，考虑学生可持续发展的数学需求，删除了一些不常用的知识点，诸如两圆的连心线、公切线性质等知识点，使得教育面向全体学生，减轻部分学生过重的学习负担，并与现实生活以及当代科技相需求相结合，最大程度体会数学从生活中来，最终服务于生活。 　　所以，教师在具体实践教学中，应当紧紧围绕《标准》的教学要求，根据新的教学要求进行相应的教学，不要顺着老思路继续讲解那些已经被删除的知识点及其延伸出来的题目，更不要讲怪题、难题，而应围绕“探究并理解圆与圆的位置关系”这一要求进行课堂教学。现以《大纲》中“圆与圆的位置关系”的一道经典例题为例。 　　“证明：相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦（连心线：连接两圆的线段）”。此例题不只是简单呈现圆心距与两圆半径大小，而是要求学生在掌握判断两圆位置关系的基础上，学会如何利用圆与圆的位置关系来证明两圆位置连心线，公共弦的位置关系，对学生来说具有一定难度，也与《标准》中的教学要求不一致，不应再继续讲解。 　　（二） 课程深度变化对教学实践的指导 　　基于以上对“圆与圆的位置关系”课程深度变化分析可知，《标准》对《大纲》中该模块的知识点进行了部分删除，保留下来的“探究并理解圆与圆的位置关系”的难度也跟《大纲》基本一致，进而使得知识点涉及面较少，要求学生掌握的知识点减少，降低了总体的课程深度。 　　因而，教师在进行教学的过程中应当针对所保留下来的知识点，围绕知识点进行课堂教学，让学生多动手多动脑，加深学生对知识点的理解与掌握，并培养学生的数形结合能力、发散思维能力和推理能力。现以《标准》中“圆与圆的位置关系”的一道经典例题为例。 　　“已知两圆半径之比是5：3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何”。该例题只要求学生掌握判断两圆位置关系，只要知道圆心距d与两圆的半径大小，便可判断两圆的关系，解题思路简单清晰，考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力。所以教师在教学过程中应当积极引导学生动手动脑，培养学生的空间想象能力，动手能力，分析、概括等理性思维的能力。 　　（三）课程实施时间变化对教学实践的指导 　　基于上述分析可知，相比于《大纲》，《标准》中该模块的课程实施时间减少了两个课时，但由于课程广度与课程深度的大大减小，使得教师在课堂教学中仍有足够的时间去讲解分析。部分知识点的删除，这启发着教师在课程教学中切勿将时间浪费在已被删除的知识点及其延伸出来的题目，而应紧紧围绕《标准》的教学要求，将时间用在讲解“探究并理解圆与圆的位置关系”这一内容上。 　　另一方面，课程实施时间的减少也启示着教师在教学中应分析学生、分析教学内容、分析课程标准和分析教学目标，并且改变教学观念、教学方法，以此提高课堂的教学效率。且在时间允许的情况下，完成《标准》中的许多探索将对学生更好的掌握知识有着很大的帮助，从而培养学生的发散思维能力和推理能力。 　　（四）课程难度变化对教学实践的指导 　　基于上述课程难度的比较分析可知，相比于《大纲》，《标准》中“圆与圆的位置关系”的总体课程难度系数大大降低了，即该模块的课程难度大大降低了。课程广度、课程深度、课程实施时间三个方面的变化，归根结底就是课程难度的变化。根据上述分析可知，相对《大纲》，《标准》中该模块课程中知识点的删除，使得课程广度大大减小，进而使得知识点涉及面较少，要求学生掌握的知识点减少，降低了总体的课程深度，而课程实施时间的变化不大，最终使得总体课程难度降低了。 　　《标准》中“圆与圆的位置关系”的课程难度降低，在新课程的潮流下，广大的教师在实践教学中都应有所调整，尤其是一些年龄较大的教师，不要继续顺着老思路，讲解那些已经被删除的知识点及其延伸出来的题目，更不要讲脱离教学要求的怪题、难题。而应紧紧围绕新的教学要求作出相应的教学改变，并以此进行相应的教学，落实于基础概念、基础知识点，掌握判断两圆的位置关系以及对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力。教师在课堂教学中注意让学生多动手多动脑，加深学生对知识点的理解与掌握，并培养学生的数形结合能力、发散思维能力和推理能力。教师应当激发学生的学习兴趣并调高学生的学习主动性，提高他们的数学思维能力，使学生最大程度体会数学从生活中来，最终服务于生活。 　　参考文献： 　　[1]郑泽娜.圆课程难度的定量分析比较[J].数学学习与研究，2015，（9）：38-39.
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