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96N阶行列式的几种常见的计算方法
第２４卷第２期２００８年４月；山西大同大学学报（自然科学版）；ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｘｉＤａｔｏｎｇＵｎｉ；Ｖｏｌ．２４．Ｎｏ．２Ａｐｒ．２００８；Ｎ阶行列式的几种常见的计算方法；王丽霞；（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同０３；要：该文通过具体实例给出了ｎ阶行列式的几种常见的；三角形行列式；降阶法；递推法；范德蒙行列式；关键词：行列式；中图分类
第２４卷第２期２００８年４月山西大同大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｘｉＤａｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｖｏｌ．２４．Ｎｏ．２Ａｐｒ．２００８Ｎ阶行列式的几种常见的计算方法王丽霞（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同０３７００９）摘要：该文通过具体实例给出了ｎ阶行列式的几种常见的计算方法，仅供读者参考．三角形行列式降阶法递推法范德蒙行列式关键词：行列式中图分类号：Ｏ１５１．２１文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－０８７４（２００８）０２－００１１－０４ｎ（ｎ－１）行列式的产生和最早的应用都是出现在解线性方程组中，不过它现在的应用范围已较为广泛，成为许多学科相当重要的工具．所以，对于许多人来说，掌握行列式的计算是十分必要的．为此，笔者在查阅部分参考资料的基础上，结合自己的教学实践，对行列式的计算方法进行了初步探讨，总结出以下几种常用方法．（－１）形，行列式的值等于素的乘积．与次对角线上所有元例２．计算ｎ阶行列式Ｄｎ＝ａｂｂ…ｂａｂ…ｂｂａ………………ｂｂｂ…１定义法利用ｎ阶行列式的定义计算其值．例１．计算ｎ阶行列式ｂｂｂａ．解：这个行列式的特点是每一行有一个元素ａ，００Ｄｎ＝%１０%０２%……%……００%其余ｎ－１个元素是ｂ，根据行列式的性质，把第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变，…，直到第ｎ列也加到第一列，即得０ｎ００００ｎ－１０．Ｄｎ＝ａｂｂ…ｂａｂ…ｂｂａ………………ｂｂｂ…＝解：据行列式的定义，行列式展开后每项都是ｎ个元素相乘，且这ｎ个元素是Ｄｎ中位于不同行与不同列的，故Ｄｎ中只有一个非零项１２…（ｎ－１）ｎ＝ｎ！这一项行标为自然数顺序排列，对应的列标构成的排列为２３…ｎ１，其逆序数为ｎ－１，故Ｄｎ＝（－１）ｎ－１ｂｂ１１１…ｂｂａｂ…ａ……………ｎ！［ａ＋（ｎ－１）ｂ］２化为三角形的方法运用行列式的性质把行列式变换成位于主对ｂｂａ…ｂｂｂ…１ｂｂａ角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的行列式等于主对角线上元素的乘积，对于次对角线的情收稿日期：２００８－０１－０８作者简介：王丽霞（１９７９－），女，山西阳高人，助教，在读硕士，研究方向：高等代数．．第二行到第ｎ行都分别加上第一行的（－１）倍，??１２山西大同大学学报（自然科学版）２００８年就有依此类推来计算行列式的值．Ｄｎ＝［ａ＋（ｎ－１）ｂ］×１００…例４．计算ｎ阶行列式ｂａ－ｂ０…ｂ０ａ－ｂ…０００ｎ－１……………ｂ００…!＋&１＝Ｄｎ＝…!&!＋&………………００…００…００００!＋&１!&!＋&．ａ－ｂ［ａ＋（ｎ－１）ｂ］（ａ－ｂ）．３降阶法运用行列式按行（列）展开的相关定理使高阶解：将Ｄｎ按第一行展开后再将第二个行列式按第一列展开得Ｄｎ＝（!＋&）Ｄｎ－１－!&Ｄｎ－２．即行列式转化为低阶行列式来计算其值．例３．计算ｎ阶行列式Ｄｎ－!Ｄｎ－１＝&（Ｄｎ－１－!Ｄｎ－２）．此式对一切ｎ都成立，故递推得ｘ０Ｄｎ＝…ｙｘ…０ｙ………………００…００…Ｄｎ－!Ｄｎ－１＝&２（Ｄｎ－２－!Ｄｎ－３）＝&３（Ｄｎ－３－!Ｄｎ－４）＝…＝&ｎ－２（Ｄ２－!Ｄ１）＝&ｎ－２［（!＋&）２－!&－!（!＋&）］＝&ｎ在上式中，!，&的地位等同，故同理可得．Ｄｎ－&Ｄｎ－１＝!ｎ．（２）×!－（１）×&，得０ｙ开，则００００ｘ０ｙｘ（１）（２）解：据行列式按行展开定理，将Ｄｎ按第一行展（!－&）Ｄｎ＝!ｎ＋１－&ｎ＋１．ｘ０ｙｘ……………………………００…００…故Ｄｎ＝ｘ…００００ｙ…０ｙ００－ｎ＋１ｎ＋１Ｄｎ＝!－&．００ｙｘ…ｘ０００…ｙｘ００…５加边法（升阶法）在运算中可以通过增加一行一列，使行列式在原来的基础上增加一阶，同时保证行列式的值不＝００ｙｘｘ０……………ｙｘ００…变，从而使行列式的计算变得容易例５．计算ｎ阶行列式００…１＋ａ１１Ｄｎ＝．…１１＋ａ２………………１１…１１…ｘｎ－ｙ…０ｙｎ…００ｘ０ｙｘ１１１１１＋ａｎ－１１１１＋ａｎ．将后面的行列式按第一列展开，则Ｄｎ＝ｘｎ－ｙｙ（－１）×ｙｘ…解：加边，使得０ｙ…００００……………００…００…１０＝ｘｎ＋（－１）ｎ＋１ｙｎＤｎ＝．０…１１＋ａ１１…１１１＋ａ２…１１１…………………１１１…ｙｘ０ｙ４递推法设法找出ｎ阶行列式Ｄｎ与低阶行列式的关系００１１１１１１１１＋ａｎ．将第一行的（－１）倍分别加到其它各行，得２００８年王丽霞：Ｎ阶行列式的几种常见的计算方法??１３１－１Ｄｎ＝－１…１ａ１０…１０ａ２…１００…………………１００…将此行列式拆分为两项得２１Ｄｎｖ＝．１…０ｘ１ｘ２…０ｘ１ｘ２…２２…………………………０ｘ１ｘ２…ｎｎ－１－１０００００００ａｎ－（爪型行列式）从第二列开始，将各列的１／ａｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）倍加到第一列得１１１１ａ１０…ｘｎ１ｘ１ｘ２…ｘｎ１ｘ１ｘ２…２２２ｘｎ１ｘ１ｘ２…ｎｎｎＤｎ＝１＋１＋１＋…＋１１２ｎ００…１０ａ２…１００…………………１００…１…＝１＝１２ｘ１ｘ２…ｘｎ１…ｘｎｘ１ｘ２…ｘｎ…………２ｘｎｎ－１ｎ－１ｎｘ１ｘ２ｘｎ０００ｎ００００１００ａｎ…ｎ－１－ａ１ａ２…ａｎ（１＋１／ａ１＋１／ａ２＋…＋１／ａｎ）＝ａ１ａ２…ａｎ（１＋!１／ａｉ）．ｉ＝１１１１１…ｘｎ０…ｎ－１ｎ－１０６范德蒙行列式计算法利用范德蒙行列式的结果计算ｎ阶行列式．例６．计算ｎ阶行列式２２ｎｎｘ１－１ｘ１（ｘ１－１）…ｘ１（ｘ１－１）ｘ２－１ｘ２（ｘ２－１）…ｘ２（ｘ２－１）＝………ｎ－１…１１＋ｘ１１＋ｘ２…ｘｎ－１ｘｎ（ｘｎ－１）…ｘｎ（ｘｎ－１）１＋ｘ１Ｄｎ＝１＋ｘ２…１＋ｘ１１＋ｘ２…………２ｘ１ｘ２…ｘｎ×#（ｘｉ－ｘｊ）－１&ｊ＜ｉ&ｎ１＋ｘｎ解：加边得１＋ｘｎ０１＋ｘ１１＋ｘ２…２…１＋ｘｎ…ｎ．０１＋ｘ１＋ｘ２…ｎｎ（ｘ１－１）（ｘ２－１）…（ｘｎ－１）１&ｊ＜ｉ&ｎ$（ｘｉ－ｘｊ）＝［２ｘ１ｘ２…ｘｎ－（ｘ１－１）（ｘ２－１）…（ｘｎ－１）］×１１Ｄｎ＝１…０１＋ｘ１＋ｘ２…２２………１&ｊ＜ｉ&ｎ$（ｘｉ－ｘｊ）．７．归纳法利用数学归纳法来计算（证明）某些ｎ阶行列式．例７．证明…１０ｃｏｓ!…１２ｃｏｓ!１０１２ｃｏｓ!………………１１＋ｘｎ－ｘｘ１＋ｘｎ２…１＋ｘｎｎ将第一列的（－１）倍加到其它各列得Ｄｎ＝０００…０００…００＝ｃｏｓｎ!．００００…２ｃｏｓ!１１２ｃｏｓ!ｘ??１４山西大同大学学报（自然科学版）２００８年证明：当ｎ＝１时，Ｄ１＝ｃｏｓ!，等式成立；当ｎ＝２时，Ｄ２＝２ｃｏｓ２!－１＝ｃｏｓ２!，等式成立．设当ｎ＝ｋ时，等式成立．当ｎ＝ｋ＋１时，按最后一行展开２ｃｏｓ!Ｄｋ－Ｄｋ－１＝２ｃｏｓ!ｃｏｓｋ!－ｃｏｓ（ｋ－１）!＝ｃｏｓ（ｋ＋１）!＝右边．故等式成立．行列式计算方法除上述方法外还有许多别的方法，比如，拉普拉斯法，析因子法等，只是上述方Ｄｋ＋１＝２ｃｏｓ!Ｄｋ－ｃｏｓ!１０…１２ｃｏｓ!１…０１２ｃｏｓ!…………………０００…０００…法常用而已．在计算行列式时，要根据行列式自身的特点选择待定的方法进行计算，而且不仅仅局限于某一种算法，而是多种方法综合运用，求出其值．＝００参考文献００００２ｃｏｓ!１０１［１］张禾瑞，郝新．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３．１３０．［２］北京大学数学系．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８８．［３］王向东，周士藩．高等代数常用方法［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８９．１１．［４］毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳［Ｍ］．武汉：华中理工大学出版社，２０００．３４－４０．［５］古家虹．关于行列式的计算方法［Ｊ］．广西大学学报（自然科学版），２００５，３０（增刊）：１７４－１７６．ＳｅｖｅｒａｌＣｏｍｍｏｎＭｅｔｈｏｄｓｏｆＮ－ｏｒｄｅｒＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓＷＡＮＧＬｉ－ｘｉａ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａｎｘｉＤａｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＤａｔｏｎｇＳｈａｎｘｉ，０３７００９）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｓｏｍｅｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙｕｓｅｄａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｏｆｎ－ｏｒｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｂｙｍｅａｎｓｏｆｓｏｍｅｐｒａｃｔｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓ，ｆｏｒｒｅａｄｅｒｓ＇ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｏｎｌｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ；ｔｒｉａｎｇｕｌａｉｒｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ；ｄｏｗｎｏｒｄｅｒ；ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ；ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ包含各类专业文献、生活休闲娱乐、行业资料、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、高等教育、应用写作文书、各类资格考试、96N阶行列式的几种常见的计算方法等内容。
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