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已知△ABC为边长为10的等边三角形，D是BC边上一动点：
①如图1，点E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，当D点滑动时，∠AFE的大小是否变化？若不变，请求出其度数。②如图2，过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G，当点D在BC上滑动时，有下列两个结论：①DC+CG的值为定值；②DG-CD的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明并求出其值。
题型：探究题难度：偏难来源：湖北省期末题
解：①∠AFE的大小不变，其度数为60°，理由为：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，又∵∠BAD+∠ADB=120°，∴∠CBE+∠ADB=120°，∴∠BFD=60°，则∠AFE=∠BFD=60°；②正确的结论为：DC+CG的值为定值，理由如下：连接AG，如图2所示：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°，又CG为∠ACB的外角平分线，∴∠ACG=60°，又∵∠ADG=60°，∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=180°，又∵∠DCG=120°，∴∠DAG=60°，即∠DAC+∠CAG=60°，又∵∠BAD+∠DAC=60°，∴∠BAD=∠GAC，在△ABD和△ACG中，∵，∴△ABD≌△ACG（ASA），∴DB=GC，又BC=10，则BC=BD+DC=DC+CG=10，即DC+CG的值为定值。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知△ABC为边长为10的等边三角形，D是BC边上一动点：①如图1，点E在..”主要考查你对&&等边三角形，全等三角形的性质，三角形全等的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等边三角形全等三角形的性质三角形全等的判定
等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。三角形全等的判定公理及推论：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：①S.S.S. (边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。②S.A.S. (边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。③A.S.A. (角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。④A.A.S. (角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：⑥A.A.A. (角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。⑦A.S.S. (角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。解题技巧：一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
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初二数学三角形全等综合题|
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答：∵AB=AC ∴∠B=∠2 ∵∠1=∠B ∴∠1=∠2 ∠ADC=∠1+∠EDC ∠AED=∠EDC+∠2 ∴∠ADC=∠AED=∠DAE ∴AC=DC ∵AC=DC，DE=AD，∠B=∠2 ∴△ADB全等△DEC===========================================答：∵∠ABC=∠ADB=90°，∠C =∠ABD ∴△ABC∽△ADB ∴AB：AD=AC：AB ∴4：AD=5：4 ∴AD=16/5===========================================问：如图，已知三角形ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，角ADB=60度，E是AD...答：证明：过A作AF⊥BC于F 已知∠EDB=60° DE=DB 从而 △EDB是等边三角形 DE=DB=EB 又 △ABC是等腰三角形从而 BF=CF，2BF=BC 又 ∠DAF=30° 则有AD=2DF 又 DF=DB+BF 则有 AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=2DB+BC（AE+ED）=2DB+BC [已知ED=DB] 从而 AE=DB+BC=BE+BC ===========================================问：如图，已知三角形ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，角ADB=60度，E是AD...答：AB=BD=AC,AD=CD, 设∠ABC=X (要画图) ∴4X=180° ∴X=45° ∴∠ADB=2X=90°===========================================问：如图，已知三角形ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，角ADB=60度，E是AD...答：这个题和三角形外角有关系 首先证明角bed=角adb：角bde是三角形aed的一个外角 可知角bed=角a+角ade 同时角adb=角ade+角bde 由条件知角bde=角a 故角bed=角adb 接下来证明角aed=角c：角cde是三角形aed的一个外角 可知角cde=角aed+角a 同时角cde=角...===========================================问：如图，已知三角形ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，角ADB=60度，E是AD...答：题目是：如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为A...===========================================问：如图，三角形abc中，ab=ac,d为三角形外一点，且角bdc=角bac(1)求证:角ad...答：∵△ABC为等腰三角形 ∴∠CAB=∠CBA，AC=BC ∵△BDC和△ACE分别为等边三角形， ∴△BDC≌△ACE，∠CAE=∠CBD=60° ∴∠EAB=∠DBA，则△FAB是等腰三角形 ∴AF=BF，DF=EF ∴△DCF=△ECF，∠DCF=∠ECF ∵∠ACB+∠DCA=∠ACB+∠ECA=60° ∴∠DCA=∠ECB ∴∠ACF=∠BCF ∴△ACG≌△BCG ∴CG为△ABC...===========================================问：如图，三角形abc中，ab=ac,d为三角形外一点，且角bdc=角bac(1)求证:角ad...答：∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD（1） 又BD=BC， ∴∠C=∠BDC（2） ∴∠C=2∠A， ∠C=∠A+∠CBD， ∴∠A=∠CBD=1/2∠C， 由∠A+2∠C=180°， 5∠A=180°， ∴∠A=36°， ∴∠ADB=180-36°×2=108°。 如果你认可我的回答，请点击“采纳为满意答案”,祝学习进步！===========================================问：明理由。 急急急！！！答：因为ab=ac所以角abc=角acb 因为ad垂直bc角adc=adb 因为角adc=adb abc=角acb所以角bad=角cad 证明abe全等于aec所以角aeb等于角aeb 角abe=ace 因为角abe=ace 角abc=角acb所以角ebc=角ecb望采纳===========================================有2种情况: 第一种: 根据勾股定理BC=3 AB/BC=AD/BD=4/3 AD^2+BD^2=AB^2=16 联立求解:AD=16/5 第二种: AB/BC=BD/AD=4/3 AD^2+BD^2=AB^2=16 联立求解:AD=12/5===========================================证明:(1)连接CE,DE∵⊿ACB和⊿ADB为Rt⊿E为公共斜边AB的中点∴CE=DE=½AB∵F为CD的中点,即EF为等腰三角形ECD的底边中线∴EF⊥CD【三线合一】(2...===========================================证明:在AB边上取点E使,AE=AC
简单有△AED≌△ACD,∠ADC=∠ADE
AE=AC,AB=2AC,∴AE=BE 。又AD=AB,DE=DE
△ADE≌△BDE,∠ADE=∠BDE。
∠ADB=∠A...===========================================角ABC=角ADB=90,两个直角三角形相似,AC=5,AB=4.所以,AC/AB=BC/AD.BC?=AC?-AB?,BC=3.所以AD=12/5=2.4===========================================∵∠ABC=∠ADB=90°,∠C =∠ABD
∴△ABC∽△ADB
∴AB:AD=AC:AB
∴4:AD=5:4
∴AD=16/5===========================================证明:作AG平分∠BAC,交BD于点G
∵∠BAC=90°,AE⊥BD
∴∠DAE+∠ADB=ABE+∠ADB=90°
∴ ∠ABG=∠CAF
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC,∠C=∠BA...===========================================
∴∠ABE=∠CAE
∵AB=AC,∠C=∠BAG=45°
∴△ABG≌△CAF
∵∠C=∠DAG=45°,DA=DC
∴△DAG≌△DCF
∴∠ADB=∠CDF===========================================三角形全等)
因为∠adc=∠b+∠bad=∠ade+∠edc
又∠b=∠ade所以∠edc=∠bad
又∠b=∠c,ad=de
所以三角形adb全等于三角形dec===========================================所以角DAE=角ABE。在三角形ACM和三角形BAD中,角DAE=角ABE,AC=AB,角ACM=... CM=CD。所以三角形CMF全等三角形CDF,所以角M=角CDF,所以角ADB=角CDF。===========================================, DE=DB
∴△EDB是等边三角形,DE=DB=EB
∵△ABC是等腰三角形
∴BF=CF,2B...
证明:在DC的延长线上取点F,使CF=BD,连接AF
∴∠ABC=∠AC...===========================================
12345678910考点：；；．专题：．分析：甲题（1）根据一元二次方程的根的判别式求出即可；（2）根据根与系数的关系和k的范围求出即可；乙题，先证OE=OC=OF，得出平行四边形AECF，证∠ECF=90°，根据矩形的判定推出即可．解答：甲题：解：（1）∵一元二次方程x2-2（2-k）x+k2+12=0有实数根α、β∴△≥0，即4（2-k）2-4（k2+12）≥0，解得k≤-2；（2）由根与系数的关系得：α+β=-[-2（2-k）]=4-2k，，∵k≤-2，∴-4≤t＜0，答：t的最小值为-4；&&&&&&&&&&&&&&&乙题：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，证明：∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∵CF平分∠ACQ，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OC=OF，同理OE=OC，∴OE=OF，∵AO=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CE平分∠BCA，∠1=∠2=∠ACQ，∴∠BCE=∠ECA=∠BCA，∴∠ECF=（∠BCA+∠ACQ）=90°，∴平行四边形AECF是矩形．点评：本题考查了平行线性质，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的判定和矩形的判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．答题：
其它回答（9条）
解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形∵CE平分∠BCA∴∠BCE=∠ACE∵CF平分∠BCA的外角∴∠ACF=∠FCH∵MN∥BC∴∠BCE=∠OEC，∠FCH=∠OCF则∠OEC=∠ACE，∠ACF=∠OCF∴OE=OC,OF=OC即OE=OF∵O是AC中点∴四边形AECF是平行四边形∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCH=180°∴∠ACE+∠ACF=90°即∠ECF=90°∴四边形AECF是矩形
1因为已知CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECA，因为MN//BC，所以∠BCE=∠CEO，所以∠CEO=∠ECA，所以EO=CO，因为CF平分∠OCI，所以∠OCF=∠FCI，因为MN//BC，所以∠OFC=∠FCI，所以∠OFC=∠OCF，所以CO=FO，所以EO=FO 2当点O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形因为由上题以证明EO=FO，若o运动到AC中点 则AO=CO，则AC、EF互相平分，则四边形AECF为平行四边形，因为已知CF平分∠OCI，CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECO，∠OCF=∠FCI，所以∠ECO+∠OCF=∠BCE+∠FCI，因为∠BCI=180°，所以∠ECO+∠OCF=90°，所以平行四边形AECF为矩形
2. 当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。OE=OF，OA=OCAECF是平行四边形OE=OF=OC∠OEC+∠OFC+∠ECO+∠OCF=180°，∠OEC=∠OCE，∠OCF=∠OFC∠ECF=90°AECF是矩形。
（1）CE和CF是角平分线角OCF=角DCF角OCE=角ECB所以角ECF=90度MN//BC所以角DCF=角OFC=OCF角OCE=角OEC=角ECB所以边OE=OC=OF（等腰3角行）（2）因为O点无论怎么移动，OF=OC=OE都成立，角ECF=90度反证法，当AECF是矩形时所以AC=EF（矩形中对角线相等）AC=AO+OCEF=EO+OFOF=OC=OE所以得出OF=OC=OE=AO所以当o是AC中点时候是矩形
在BC的延长线上任取一点G．∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE、∠OFC=∠GCF，　又∠OCE=∠BCE、∠OCF=∠GCF，∴∠OEC=∠OCE、∠OFC=∠OCF，∴EO=CO、OF=CO，∴EO=OF．当O为AC的中点时，AECF为平行四边形．　证明如下：由第一个问题的结论，有：EO=OF，又AO=CO，∴AECF是平行四边形．[对角线互相平分]∴当O运动到AC的中点时，四边形AECF是平行四边形．∵AECF是正方形，　∴AC=√2AE、∠ACE=45°．∵∠BCE=∠ACE，　∴∠ACB=2∠ACE=90°．又AE/BC=√6/2，　∴AC/BC=√2AE/BC=√3，　∴tan∠B=AC/BC=√3，　∴此时∠B=60°．
证明：1、∵EC平分∠BCA∴∠ECA=∠ECB=∠BCA/2∵FC平分∠ACG∴∠FCA=∠FCG=∠ACG/2∴∠ECA+∠FCA=∠BCA/2+∠ACG/2=（∠BCA+∠ACG）/2∵∠BCA+∠ACG=180∴∠ECA+∠FCA=180/2=90∴∠ECF=∠ECA+∠FCA=90∵MN∥BC∴∠OFC=∠FCG∴∠OFC=∠FCA∴OF=OC∵MN∥BC∴∠OEC=∠ECB∴∠OEC=∠ECA∴OE=OC∴OE=OF2、当O在AC中点时，AECF为矩形∵O为AC中点∴AO=CO∵OE=OF，∠AOE=∠COF∴△AOE全等于△COF∴AE=CF同理可证AF=CE∴平行四边形AECF∵∠ECF=90∴矩形AECF
1 证明：∵MN∥BC
∴∠OEC=∠BCE
∴∠OFC=∠FCG
∵∠BCE=∠OCE（OE是∠BCA的内角平分线）
∴∠OEC=∠OCE
∵∠OCF=∠FCG（OF是∠BCA的外角平分线）
∴∠OCF=∠OFC
O运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形.
证明：∵ OE=OC
当O为AC中点时 OA=OC
∴OE=OC=OF=OA∴四边形AECF是矩形
<ef，这与假设矛盾。当O为AC的中点，即OA=OC时，又∵OE=OF，&∴四边形AECF则是平行四边形（对角线互相公平分的四边形是平行四边形）又∵∠ECF=90°，∴四边形AECF则是矩形．＜/ef，这与假设矛盾．