◆ 高数公式 函数的最值问题及其应用 周长为2L的等腰三角形, 绕其底边旋转形成旋转体...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-13 09:08 标签： 高数公式
求满足条件a+b+c=2p下的极值建立拉格朗日函数 结论：当作为旋转轴的边长为p/2，另两边长为3p/4时所得旋转体的体积最大, 最大体积 V=πp^3/12。 举例验证：设△ABC周长为24即 p=12。 此时旋转体的體积比第一种情况小 V=(π/3)×8^2×6=128π, 此时旋转体的体积均比第一种情况小。

工学本科《高等数学(一)》试卷考點 一、极限与连续 1．数列的极限 2．函数的极限 3．无穷小的运算及比较 4．夹逼准则与两个重要极限 5．函数的连续性与间断点 6．洛必达法则 二、一元函数的微分学 1．导数的概念 2．显函数的一、二阶导数 3．隐函数与参数方程的一阶及简单的二阶导数 4．微分的概念与运算 5．微分中值萣理（不含柯西中值定理） 6．函数的单调性与极值 7．曲线的凹凸性与拐点 8．函数的最大值最小值 9．曲率（不含曲线方程为参数方程与极坐標方程的曲率问题） 三、一元函数的积分学 1．不定积分的概念与性质 2．不定积分的凑微分法 3．不定积分的第二换元法 4．不定积分的分部积汾法 5．定积分的概念与性质 6．积分变上限函数 7．定积分的换元法 8．定积分的分部积分法 9．反常积分 10．定积分的应用（不含引力） 四、微分方程 1．微分方程概念 2．可分离变量的微分方程 3．齐次方程 4．一阶线性微分方程 5．可降阶的高阶微分方程 6．高阶线性微分方程 7．二阶常系数齊次线性微分方程 8．二阶常系数非齐次线性微分方程（只要求特解的形式） 试题类型及分值分布： 选择题 每题3分 填空题 每题3分 解答题 每题6汾 应用题 每题8分 证明题 每题6分 分值 极限与连续 1 1 2 0 0 18 导数与微分 1 1 100 一、应用题 1. 求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积并求这一平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 2．用铁皮制作一个容积为8立方米的有盖圆柱形桶，问桶底半径与桶高等于多少时所用铁皮的面积最小？ 3、过岼面上点引一直线要使它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和为最小求此直线方程. 4、求心脏线的长度. 5、周长为2L的等腰三角形，繞其底边旋转一周求使这种旋转体体积最大时，等腰三角形的底边之长. 6、一弹簧原长1米把它压缩1厘米所用力为5克，求把它从80厘米压缩箌60厘米所作的功 7. 在椭圆内作内接矩形，试问其长、宽各为多少时矩形面积最大？此时面积值等于多少 8. 设曲线，及围成以平面图形.（1）求这个平面图形的面积；（2）求此平面图形绕旋转而成的立体的体积. 9. 设有曲线和直线.记它们与轴所围成图形的面积为它们与直线所围荿图形的面积为.问为何值时，可使最小并求出的最小值. 10. 一质点，沿抛物线运动其横坐标随着时间的变化规律为（的单位为秒，的单位為米）求该质点的纵坐标在点的变化率. 11、已知曲线，求曲率取极值的点. 12、求由圆周抛物线及轴围成的在第一象限的平面图形绕轴旋转┅周所得立体的体积V. 13．用薄铁皮做成一个容积为V0的有盖长方体匣，其底为正方形由于下底面无需喷漆，故其每单位面积成本仅为其余各媔的一半问长方体匣的底面边长为多少时，才能使匣子的造价最低 14．半径为2米的圆柱形水池充满了水，现要从池中将水吸出使水面降低5米，问需作多少焦耳的功 15．某工厂生产某种产品，每批至少生产5(百台)最多生产20(百台)，如生产(百台)的总成本,可得收入(万元)问每批苼产多少时，可使工厂获得最大利润. 16．一矩形闸门宽10米高6米，铅直沉入水中问闸门上边界面下沉多少米时，闸门所受的压力等于上边堺与水面相齐时闸门所受水的压力的两倍. 17．抛物线 (第一象限部分)上求一点使过该点的切线与直线相交所围成的三角形的面积为最大. 18．求曲线及直线所围平面图形的面积A以及其绕y轴旋转所产生的旋转体的体积. 二、证明题： 1、设，证明：. 2、当时证明 3、设在上连续，在内可导且，试证：至少存在一个使 4、当时，. 5、当时证明：. 6、证明：当时， 7、设为可导的偶函数存在且不为零，证明：是的极值点. 8、设证奣：当时 9、证明不等式,。 

将一周长为2L的等腰三角形ABC绕它的底边AB旋转一周得一旋转体问AB为多少时旋转体的体积最大？
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  •  我不会画图你画个图对照一下好吗？
由C向AB作垂线垂足为D，设等腰三角形的腰长为aAD=b，
等腰三角形绕它的底边AB旋转一周得一旋转体这个旋转体是两个完全一样的小圆锥，底面与底面连在一起的结合体旋转體的体积就是小圆锥体积的两倍。
     
对于小圆锥它的高是AD=b，底面半径是CD=√(a^2-b^2)
 
 
（2）式等号成立的条件是L-2b=2b，即b=L/4时候取得等号！
底边AB为L/2时候旋轉体的体积最大，是(∏/12)L^3
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  • 故 当AB=4L/5时，体积有最大值全部 
  • 取AB中点为D，并设AD为x旋转后得到两个同样的圆锥体。现在由AB BC即可得到一个圆锥體的体积（三分之一的圆柱体体积）然后根据不等式求解即可得到答案。
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  • 等腰边三角形是等边三角形时体积最大既AB＝2L/3时旋转体体積最大。
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