求解高等数学导数公式大全高阶导数题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-26 08:52 标签： 高等数学导数公式大全
导读：常微分方程，一、一阶微分方程的可解类型，（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程，1.（05,4分）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为_____，分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为.+y?lnx,两边乘e=x得，2.（06,4分）微分方程y?=，分析：这是可变量分离的一阶方程，原微分方程的通解为y?Cxe?x,其中C为任意常数.，（二）奇次方程与伯努利方程，1.（97,2
常微分方程
一、一阶微分方程的可解类型
（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程
1.（05,4分）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为_________.
分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为.+y?lnx,两边乘e=x得
x2y)= x2lnx.
x2y=C+?x2lnxdx?C??lnxdx3?C?x3lnx?x3.
由y(1)??得C?0?y?xlnx?x.
2.（06,4分） 微分方程y?=
的通解为――――. x
分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得
?(?1)dx.积分得lny?lnx?x?C1，即y?eC1xe?x.
yx因此，原微分方程的通解为
y?Cxe?x,其中C为任意常数.
（二）奇次方程与伯努利方程
1.（97,2,5分）求微分方程(3x?2xy?y)dx?(x?2xy)dy?0的通解.
解：所给方程是奇次方程.令 y=xu,则dy=xdu+udx.代入原方程得
3（1+u-u2）dx+x(1-2u)du=0.
分离变量得 du??dx,
ln?u?u2??3lnx?C1,即1?u?u2=Cx?3.以u?
yC代入得通解 x2?xy?y2?.xx
??(ydx?xdy?0(x?0),2.(99,2,7分)
求初值问题?的解.
解：所给方程是齐次方程(因dx,dy的系数(y与(-x)都是一次齐次函数）.
令dy?xdu?udx,带入得
x(u?x(xdu?udx)?0, 化简得?xdu?0.
dx分离变量得
lnx?ln(u?C1,即 u??Cx.以
代入原方程通解为?Cx2.x
?0,得C=1.故所求解为 ?x，或写成y?(x?1).x?1
再代入初始条件y
（三）全微分方程 练习题
(94,1,9分）设f(x)具有二阶连续导数，f(0)?0,f?(0)?1,且
[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f?(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)以及全微分方程的通解
解：由全微分方程的条件，有
??[xy(x?y)?f(x)y]?[f?(x)?x2y],?y?x
即x2?2xy?f(x)?f??(x)?2xy,亦即f??(x)?f(x)?x2.
因而f(x)是初值问题?
??yx?0?0,y?
f(x)?2cosx?sinx?x2?2.
的解，从而解得?1x?0
原方程化为[xy2?2y?(2cosx?sinx)y]dx?(x2y?2x?2sinx?cosx)dy?0.先用凑微分法求左端微分式的原函数：
(y2dx2?x2dy2)?2(ydx?xdy)?yd(2sinx?cosx)?(2sinx?cosx)dy?0,221
d[x2y2?2xy?y(cosx?2sinx)]?0.2
x2y2?2xy?y(cosx?2sinx)?C.
（四）由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程
4.（98,3分）
已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y=
?x??,当?x?0时,2
?是?x的高阶无穷小，y(0)=?，则y(1)等于 （ ）
(A)2?.(B)?.(C)e4.(D)?e4.
分析：由可微定义，得微分方程y??
.分离变量得2
dydxarctanx
??,两边同时积分得lny?arctanx?C,即y?Ce.2
代入初始条件y(0)??，得C=?，于是y(x)??earctanx,
由此，y(1)??e4.应选(D)
二、二阶微分方程的可降阶类型
5.（00,3分） 微分方程xy???3y??0的通解为_____
分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令y?=P(x)，则y??=P?，方程可化为一阶线性方程C03
xP??3P?0,标准形式为P?+P=0，两边乘x3得(Px3)?=0.通解为y??P?3.
再积分得所求通解为 y?2?C1.
6.（02,3分）微分方程yy???y?2=0满足初始条件y分析：这是二阶的可降阶微分方程.
令y??P(y)(以y为自变量)，则y???代入方程得yP
?的特解是_____ x?0
dy?dPdP??P.dxdxdy
+P=0，即y+P=0(或P=0,，但其不满足初始条件y?dydydPdy
分离变量得
积分得lnP+lny=C?，即P=1对应C1=0)；
由x?0时y?1，P=y??,得
y??P?,2ydy?dx,积分得y2?x?C2.
?1得C2.?1，所求特解为y?
三、二阶线性微分方程
（一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构
7.（01,3分） 设y?ex(C1sinx?C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____.
分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是r1，r2?1?i，从而得知特征方程为(r?r1)(r?r2)?r2?(r1?r2)r?r1r2?r2?2r?2?0.由此，所求微分方程为y???2y??2y?0.
分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解y?ex(C1sinx?C2cosx)求得y??ex[(C1?C2)sinx?(C1?C2)cosx],y???ex(?2C2sinx?2C1cosx),从这三个式子消去C1与C2,得y???2y??2y?0.
（二）求解二阶线性常系数非齐次方程
9.（07,4分） 二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y=_____
分析：特征方程?2?4??3?(??1)(??3)?0的根为??1,??3.
非齐次项e?x,??2不是特征根，非齐次方程有特解y??Ae2x.代入方程得(4A?8A?3A)e?2e?A??2.因此，通解为y?C1ex?C2e3x?2e2x..
10.(10,10分)求微分方程y???3y??2y?2xex的通解.
分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.
1?由相应的特征方程?2?3??2?0,得特征根?1?1,?2?2?相应的齐次方程的通解为y?C1ex?C2e2x.
2?非齐次项f(x)?2xe?x,??1是单特征根，故设原方程的特解y??x(ax?b)ex.
代入原方程得
ax2?(4a?b)x?2a?2b?3[ax2?(2a?b)x?b]?2(ax2?bx)?2x,即?2ax?2a?b?2x,?a??1,b??2.
3?原方程的通解为y?C1ex?C2e2x?x(x?2)ex,其中C1，C2为两个任意常数.
（三）确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型
（04，2,4分）微分方程y???y??x2?1?sinx的特解形式可设为（
(A)y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx).(B)y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). (C)y??ax2?bx?c?Asinx.(D)y??ax2?bx?c?Acosx.
分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是?2?1?0,特征根为???i.
由线性方程解的迭加原理，分别考察方程y???y?x2?1?（）与1y???y?sinx?（2）
方程(1)有特解y??ax2?bx?c,方程(2)的非齐次项f(x)?e?xsin?x?sinx(??0,??1，
??i?是特征根),它有特解y??x(Asinx?Bcosx).
因此原方程有特解 y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bbcosx).应选(A).
(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程
d2ydy12.(04,4分)欧拉方程x?4x?2y?0(x?0)的通解为_______.
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基础不是特别好，思维也愚钝，希望大神解答时可以细致一些，谢谢！
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这个式子展开以后的最高次数是n，所以次数比n小的项在求n阶导后就是0了，n阶导就只有次数为n的那项，n阶导为n！，n+1阶导为0
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