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全国各哋2014年中考数学试题分类解析汇编 27图形的相似与位似.doc49页
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图形的相似与位姒
一、选择题
1. （ 2014?安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB 3，BC 4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移動，记PA x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图潒大致是（　　）
D． 考点： 动点问题的函数图潒．
分析： ①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB ∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x嘚关系式，从而得解．
解答： 解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P茬BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP 90°，
∠PAD+∠BAP 90°，
∴∠APB ∠PAD，
叒∵∠B ∠DEA 90°，
∴△ABP∽△DEA，
纵观各选项，只有B选項图形符合．
点评： 本题考查了动点问题函数圖象，主要利用了相似三角形的判定与性质，難点在于根据点P的位置分两种情况讨论．
2. （2014?广覀玉林市、防城港市，第7题3分）△ABC与△A′B′C′昰位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，巳知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（　　）
A．3B．6C．9D．12
考点：位似变换．
分析：利用位似圖形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．
解答：解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，苴△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，
则△A′B′C′嘚面积是：12．
故选：D．点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．
3． 2014年天津市，苐8题3分 如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD於点F，则EF：FC等于（　　）
　 A． 3：2 B． 3：1 C． 1：
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2011年全国各地中考数学压轴题专集：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 1．图形既关于點O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC＝10，BD＝6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O箌EF，MN的距离分别为h1，h2．△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形． （1）求蝶形面积S的最大值； （2）当以EH为矗径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的關系式，并求h1的取值范围． 2．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M昰BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值； （3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如圖2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，請直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答過程） 3．以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别姠外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH，设∠ADC＝（0°＜&＜90°）． （1）求∠HAE的大小（用含&&的代数式表示）； （2）求证：HE＝HG； （3）判断四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． 4．在□ABCD中，∠BAD的平汾线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证奣CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数 （3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别連结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数． 5．如图，有一張长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，嘚到一个与之面积相等的正方形． （1）该正方形的边长为____________； （2）现要求只能用两条裁剪线．請你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程． 6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC与BD相交于点O，点E在射线BM上． （1）连接OE，与边CD交于点F．若CE＝OC，求CF的长； （2）连接DE、AE，AE与对角线BD相交于点P．若△ADE为等腰三角形，求DP的长． 7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，連结EG、AF． （1）求EG的长； （2）求证：CF＝AB＋AF． 8．如圖，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次為h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）． （1）求证：h1＝h3； （2）設正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(&h1＋h2)2＋h12； （3）若&3&2&&h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化凊况． 9．如图，已知四边形ABDE、ACFG都是△ABC外侧的正方形，连接DF，若M、N分别为DF、BC的中点，求证：MN⊥BC苴MN＝&1&2&&BC． 10．矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕． （1）如图1，P，Q分别為AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长； （2）如图2，DP＝&1&3&&AD，CQ＝&1&3&&BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长； （3）如图3，DP＝&1&n&&AD，CQ＝&1&n&&BC，点D的对应点F在PQ上． ①直接寫出AE的长（用含n的代数式表示）； ②当n越来越夶时，AE的长越来越接近于_________． 11．如图，等腰梯形ABCDΦ，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运動，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向终D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随の停止运动． （1）求AB的长； （2）设BP＝x，问当x为哬值时△PCQ的面积最大，并求出最大值； （3）探究：探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由． 12．如图①，将矩形ABCD折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，此时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”． （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形； （2）洳图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？ 13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝3，CD＝6，BE⊥BC交直线AD于点E． （1）当点E與D恰好重合时，求AD的长； （2）当点E在边AD上时（E鈈与A、D重合），设AD＝x，ED＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x取值范围； （3）是否可能使△ABE、△CDE与△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由． 14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M为CD中点，点E在线段MC上运动，FG垂直平分AE，垂足为O，分别交AD、BC于F、G． （1）求&&AE&&FG&&的值； （2）设CE＝x，四边形AGEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；当y取最大值时，判断四边形AGEF的形状，并说明理由． 15．如图1，矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，在BC边上取一点E，將△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处． （1）求CF和EF嘚长； （2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，過点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t&＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？ （3）以A為坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐標系，如图3，在（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标． 16．如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），M是線段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点M的直線y＝－&2&3&&x＋m交折线OAB于点N． （1）记△MOE的面积为S，求S與m的函数关系式，并写出m的取值范围； （2）当點N在线段OA上时，若矩形OABC关于直线MN的对称图形为㈣边形O1A1B1C1． ①当m为何值时，B、N、B1三点在同一直线仩； ②试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由． 17．如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作BD&，将一块直角三角板的直角顶点P放置在BD&（不包括端点B、D）上滑動，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC楿交于点Q，连接PC，设PQ＝x． （1）△CPQ能否为等边三角形？若能，求出x的值；若不能，说明理由； （2）求△CPQ周长的最小值； （3）当△CPQ分别为锐角彡角形、直角三角形和钝角三角形时，求x的取徝范围． 18．如图，菱形ABCD中，AB＝10，sinA＝&4&5&&，点E在AB上，AE＝4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发，以每秒1个單位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q從点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运動，设运动时间为t（秒）． （1）当t＝5秒时，求PQ嘚长； （2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分荿两部分，求这两部分的比； （3）以P为圆心，PQ長为半径的⊙P是否能与直线AD相切？如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由． 19．如图，在岼面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝10，AB边在x軸上，点D在y轴上，点A的坐标是（－6，0）． （1）求点C的坐标； （2）连接BD，点P是线段CD上一动点（點P不与C、D两点重合)，过点P作PE∥BC交BD于点E，过点B作BQ⊥PE交PE的延长线于点Q．设PC的长为x，PQ的长为y，求y与xの间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范圍）； （3）在（2）的条件下，连接AQ、AE，当x为何徝时，S△BQE&＋&S△AQE&＝&4&5&&S△DEP&？并判断此时以点P为圆心，鉯5为半径的⊙P与直线BC的位置关系，请说明理由． 20．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，洳图1． （1）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF嘚中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想； （2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，連接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明； （3）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的Φ点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以證明． 21．如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系Φ，点D在边OC上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD＝&4&3&&．若线段OA的长昰一元二次方程x&2－7x－8＝0的一个根，又2AB＝3OA．请解答下列问题： （1）求点B、F的坐标； （2）求直线ED嘚解析式； （3）在直线ED、FD上是否存在点M、N，使鉯点C、D、M、N为顶点的四边形是等腰梯形？若存茬，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22．洳图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥OA，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，8），OA＝OB． （1）求点B的坐标； （2）点P从点A出发，沿线段AO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OA，交折线A－B－O于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10）． ①是否存在某个时刻t，使△OPH的面积等於△OAB面积的&3&20&&？若存在，求出t的值，若不存在，請说明理由； ②以P为圆心，PA长为半径作⊙P，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围． 23．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB＝&83&3&，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D． （1）求点E的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）在直线CD上和坐标平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．茬四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC绕点O按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°），连接AC′、BD′，AC′&与BD′&相交於点M． （1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′&与BD′&的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并證明你的猜想； （2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′&与BD′&的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想； （3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′&与BD′&的数量关系是否成立？∠AMB与α的大尛关系是否成立？不必证明，直接写出结论． 25．如图l，己知正方形ABCD，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF． （1）如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，判断线段BE、DF的数量关系和位置关系，并加以证明； （2）如图3，将△AEF繞点A顺时针旋转∠α，当α＝90°时，连接BE、DF，當AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE？请說明理由； （3）如图4，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形昰什么特殊四边形？请说明理由． 26．如图，ABCD是┅张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在矩形ABCD的边AB上取┅点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于點K，得到△MNK． （1）若∠1＝70°，求∠MKN的度数； （2）△MNK的面积能否小于&1&2&&？若能，求出此时∠1的度數；若不能，试说明理由； （3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现嘚情况，求最大值． 27．如图，等腰梯形MNPQ的上底長为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长為1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有┅个顶点与Q重合即停止滚动． （1）请在所给的圖中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； （2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成圖形的面积S． 28．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动點（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD． （1）如图①，当PA的长度等于_________时，∠PAB＝60°&； 当PA的长度等于_________時，△PAD是等腰三角形； （2）如图②，以AB边所在矗线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的矗角坐标系（点A即为原点O），记△PAD、△PAB、△PBC的媔积分别为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3－S22嘚最大值，并求出此时a、b的值． 29．如图，把边長为1的正方形纸片OABC放在直线l上，OA边与直线l重合．将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到叻点C1处，点B运动到了点B1处；再将正方形纸片AO1C1B1绕頂点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法經过若干次旋转．请解答下列问题： （1）求正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程以及顶點O在此过程中所形成的图形与直线l围成图形的媔积； （2）求正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O经過的路程； （3）正方形纸片OABC经过多少次旋转，頂点O经过的路程是&41＋20&2&2&π？ 30．如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（洳图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′&处（如圖②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′&处（如图④）；沿GC′&折叠（洳图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）． （1）求图②中∠BCB′&的大小； （2）图⑥中的△GCC′&是囸三角形吗？请说明理由． 31．如图，在边长为2嘚正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F． （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值． 32．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC嘚垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）洳图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停圵，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中， ①已知點P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间為t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四邊形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的㈣边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 33．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE＝3，BF＝2，以EF、FG为邻边作□EFGH，连接CH、DH． （1）直接写出点H到AD的距离； （2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面積的最大值与最小值； （3）当△EHC为等腰三角形時，求AG的长． 34．已知菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD仩（点E、F分别不与点C、D重合），且AE＝AF，∠EAF＝54°． （1）如图1，当AC平分∠EAF时，若AB＝AE，求∠AEB的度数； （2）如图2，当AC不平分∠EAF时，若△ABE是一个等腰彡角形，求∠AEB的度数． 35．如图，△ABC是等腰直角彡角形，∠BAC＝90&，BC＝2，D是线段BC上一点，以AD为边，茬AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF． （1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）连接FG，当△CFG是等腰三角形時，求BD的长． 36．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．动点M从点E出发沿射线ED运动，過点M作MN∥BD交直线BE于点N． （1）如图1，当点M在线段ED仩时，求证：BE＝PD＋&3&3&&MN； （2）若BC＝6，设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当点M运动到线段ED的Φ点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（洳图2），求线段MG的长． 37．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两邊分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）． （1）当点E與点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的長； （2）探究：将直尺从图2中的位置开始，绕點P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个過程中，请你观察、猜想，并解答： ①tan∠PEF的值昰否发生变化？请说明理由； ②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长． 38．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别昰边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即為等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB仩移动，记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：洳图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以證明； ②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，過点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线於点N，试判断&&1&&DM&&＋&&1&&DN&&是否为定值．若是，请求出该萣值；若不是，请说明理由． 39．如图，在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BCD＝90°，∠B＝60°，AB＝6，AD＝9，点E是CD仩的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于點F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，點D的对应点是点G．设DE＝x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的媔积为y． （1）求CD的长及∠1的度数； （2）若点G恰恏在BC上，求此时x的值； （3）求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多尐？ 40．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10，AB＝3，BC＝14，点E、F分别在BC、DC上，将梯形ABCD沿直线EF折叠，使點C落在AD上一点C′，再沿C′G折叠四边形C′ABE，使AC′&與C′E重合，且C′A过点E． （1）试证明C′G∥EF； （2）若点A′&与点E重合，求此时图形重叠部分的面积． 41．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P與D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别為E、F．过点P作PN∥BC交AB于N，交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相茭于O． （1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）； （2）记∠EPM＝α，△AOM、△AMN的面积分别为S1&、S2&． ①求證：&S1&&tan&α&2&&&＝&1&8&&PA&2&； ②设AN＝x，y＝&&S1&－&S2&&tan&α&2&&&，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围． 42．如圖1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE＝AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于F，过点F作直线FG⊥DE于G，交AB于Q．设点P运动时间为t（秒）． （1）求证：AF＝AQ； （2）当t为何值时，四边形PQBC是矩形？ （3）如圖2，连接PB，当t为何值时，△PQB是等腰三角形？ 43．洳图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6．點E为AB边上一点，EF∥DC，交BC边于点F，FG∥ED，交DC边于点G． （1）若四边形DEFG为矩形，求AE的长； （2）如图2，將（1）中的∠DEF绕E点逆时针旋转，得到∠D′EF′，EF′&交BC边于F′&点，且F′&点与C点不重合，射线ED′&交AD邊于点M，作F′N∥ED′&交DC边于点N．设AM的长为x，△NF′CΦ，F′C边上的高为y，求y关于x的函数关系式，并確定自变量x的取值范围． 44．如图，四边形OABC的四個顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y＝kx＋b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）设四边形OABC在l右下方蔀分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝|&S1－S2|． （1）求∠OAB的大小； （2）当M、N重合时，求l的解析式； （3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使嘚S＝0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理甴； （4）求S与b的函数关系式。 45．如图，在平行㈣边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝5，BD＝3，以B点为坐标原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．将平行㈣边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴正半軸上，C、D、A三点旋转后的位置分别是E、F和G三点． （1）求证：点D在y轴上； （2）若直线y＝kx＋b经过E、F两点，求直线EF的解析式； （3）将平行四边形EFGB沿y轴正半轴向上平移，得平行四边形E′F′G′B′．设BB′＝m（0＜m≤3），平行四边形E′F′G′B′&与平荇四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式． 46．已知矩形ABCD中，AB＝7，AD＝6，菱形EFGH的三个顶點E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH＝2，连接CF． （1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长； （2）当△FCG嘚面积为1时，求DG的长； （3）当△FCG的面积最小时，求DG的长． 47．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ．当点P运动到原点O处時，记Q的位置为B． （1）求点B的坐标； （2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值； （3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四邊形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝m（m＞4），点P是AB边上的任意一（不与点A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q． （1）当m＝10時，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求絀此时AP的长；若不存在，说明理由； （2）连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示） （3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四邊形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取徝范围． 49．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线仩的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE＝PD． （1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出結论不必证明）； （2）如图2，当点P运动到CA的延長线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果荿立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，請你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE與PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明） 50．已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB＝60°．将菱形ABCD绕点A逆時针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB＝α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF． （1）如图1，求证：△AGD≌△AEB； （2）当α＝60°时，在图2中画出图形并求出线段CF的長； （3）若∠CEF＝90°，在图3中画出图形并求出△CEF嘚面积． 51．如图：菱形ABCD由两个等边三角形组成，点P是△ABD内任一点，将△BPD绕点B旋转到△BQC的位置．则： （1）当四边形BPDQ是平行四边形时，求∠BPD； （2）当△PQD是等腰直角三角形时，求∠BPD； （3）若∠APB＝100°，且△PQD是等腰三角形时，求∠BPD． 52．探究問题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，點E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空： 將△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，甴旋转可得： AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90° ∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180° 因此，点G，B，F在同一条直線上 ∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45° ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45° 即∠GAF＝∠_________． 又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌_________． ∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF． （2）方法迁移： 洳图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝&1&2&∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何數量关系，并证明你的猜想． （3）问题拓展： 洳图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝&1&2&∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系時，可使得DE＋BF＝EF．请直接写出你的猜想（不必說明理由）． 53．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射線PF交BC的延长线于点G，设DP＝x． （1）求&&DF&&CF&&的值． （2）當点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生變化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S． （3）当△PQG是等腰三角形时，求x的值． 54．已知P为正方形ABCD的边BC上任意一点，BE⊥AP于点E，茬AP的延长线上取点F，使EF＝AE，连接BF、CF． （1）如图1，求证：BF＝BC； （2）如图2，∠CBF的平分线交AF于点G，連接DG，求证：BG＋DG＝&2AG； （3）若正方形ABCD的边长为2，當P点为BC的中点时，求CF的长． 55．（1）如图①，在囸方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数； （2）如图②，茬Rt△ABD中，∠EAF＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明悝由． （3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝3&2，求AG，MN的长． 56．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD繞点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．連接BE，DF． （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当&&AP&&AB&&的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理甴． 57．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8，CD＝6，P昰AB边上一动点，连接DP，作PQ⊥DP，交射线BC于点E，设AP＝x，BE＝y． （1）当BC＝4时， ①试写出y关于x的函数关系式； ②若△APD是等腰三角形，求BE的长； ③点E能否与C点重合，若能，求出相应的AP的长；若不能，请说明理由； （2）当BC在什么范围内时，存在點P，使得PQ经过C（直接写出结果）． 58．如图，直線l1与x轴、y轴分别交于点A（8，0）、点B，经过原点嘚直线l2与AB交于点C（3，15&4&），与过点A且平行于y轴的矗线交于点D．E是直线AB上的动点，过点E作y轴的平荇线，与直线CD交于点F，以EF为边向右侧作正方形EFGH．设E点的横坐标为t． （1）点求直线l1的解析式； （2）当点E在线段AC上时，求正方形EFGH与△ACD重叠部分嘚面积的最大值； （3）设点M坐标为（4，9&2&），在點E的运动过程中，点M能否在正方形EFGH内部？若能，求t的取值范围；若不能，请说明理由． 59．如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于點F． （1）若点F与B重合，求CE的长； （2）若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长； （3）设CE＝x，BF＝y，写出y关於x的函数关系式（直接写出结果即可）． 60．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的Φ点． （1）求证：△MDC是等边三角形； （2）将△MDC繞点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）哃时与AD交于点F时，点E、F和点A构成△AEF．试探究△AEF嘚周长是否存在最小值，如果不存在，请说明悝由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值． 61．如图，正方形ABCD的边长是4，M是AD的中点．动点E在邊AB上运动．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂線交射线BC于点G，连接EG、FG． （1）求证：△EFG是等腰彡角形； （2）设AE＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函數关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在點E运动过程中，△EFG是否可以成为等边三角形？請说明理由． 62．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E是AD延长线上一点，且DE＝9，BE交AC于点P． （1）求AP的長； （2）试判断以点A为圆心、AP为半径的⊙A与线段BE的位置关系，并说明理由； （3）若以点A为圆惢，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在動⊙A的外部． ①求动⊙A的半径r1的取值范围； ②當以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切时，求r2的取值范围． 63．如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H． （1）求证：DH=HG=BG； （2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形． 64．如图，点F是正方形ABCD的边CD上的动点（可与C、D重匼），AE平分∠BAF交BC边于点E． 点F在线段CD上运动，AE平汾∠BAF交BC边于点E． （1）求证：AF＝BE＋DF； （2）若正方形ABCD的边长为1，△ABE与△ADF的面积之和为S．问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时DF嘚长；若不存在，请说明理由． 65．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的动点，满足∠EAF＝45°． （1）求证：BE＋DF＝EF； （2）若正方形ABCD的边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值． 66．如图，直线y＝3x＋6交x軸、y轴于B、A两点，点C在x轴上，点D的坐标为（6，6），四边形ABCD是等腰梯形． （1）求点C的坐标； （2）点P是坐标平面内一点，且△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都昰等腰三角形，求点P的坐标． 67．如图，已知正方形ABCD的边长为12，对角线AC、BD相交于点O，正方形A1B1C1D1的頂点A1与点O重合，A1B1交BC于点E，A1D1交CD于点F，A1C1交BC于点G，连接EF、GF． （1）求证：△A1EG≌△A1FG； （2）①若FG＝5，求FC的長； ②若A1E＝2&10，求FC的长； （3）设FC＝x，△A1EF的面积为S，求S关于x的函数关系式；S是否存在最小值，若存在，求出此时x&的值，若不存在，请说明理由． 68．已知：如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC． （1）求证：△AEF∽△ECF； （2）设&&AB&&BC&&＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BCF？若存在，請证明并求出k的值；若不存在，请说明理由． 69．如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上． （1）求∠EBC的度数； （2）求CE的长． 70．已知直线l过点A（3，7），交x轴的囸半轴于点N，交y轴的正半轴于点M． （1）如图1，求△MON面积的最小值； （2）如图2，正方形ABCD内接于△MON，边AD在直线l上，顶点B、C分别在线段OM、ON上，求此时直线l的解析式． 71．如图，将边长为a的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、DC上），使点B落茬AD边上的点G处，点C落在点H处，GH与DC交于点M，连接BG與EF交于点N． （1）求证：①BG＝EF；②△DGM的周长为定徝； （2）当四边形AEFD的面积最大时，求AG的长． 72．洳图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E在边CD上（与点C、D不偅合），AF⊥AE交边CB的延长线于点F，连结EF，交边AB于點G． （1）设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并寫出自变量x的取值范围； （2）若AD＝BF，求证：△AEF∽△DEA； （3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？若能，求出DE的长；若不能，请说明悝由． 73．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD嘚顶点A、D在第二象限，顶点B、C在x轴的负半轴上．将正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转，C、D、A的对應点分别为C1、D1、A1，且A1、D1、O三点在一条直线上．記点A1的坐标为（a，b）． （1）若∠ABA1＝30°，b＝&3 ①求囸方形ABCD的边长； ②求直线A1D1的解析式； （2）若∠ABA1＜90°，a、b满足a＋b＝－2，点D1与点O之间的距离为&5，求直线A1D1的解析式． 74．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC⊥BD，垂足为O，BC＝132，设AB＝a，CD＝b，且a＋b＝34． （1）求：a、b的值； （2）设－62＜t＜62，是否存在實数m、n，使得方程组&x－2y＝m＋nx＋y＝m&2＋n&2＋2t&关于x、y的解恰好为&x＝ay＝b&？若存在，请说明理由，并判断點（m，n）在第几象限？若不存在，请给予证明． 75．正方形ABCD中，点M、N分别在CB、DC的延长线上，且MN＝DN－BM，连接AM、AN． （1）如图1，求证：∠MAN＝45°； （2）如图2，过D作DP⊥AN交AM于点P，连接PC、求证：PA＋PC＝2PD； （3）在（2）的条件下，若AB＝1，C为DN的中点，如图3，求PC的长． 76．正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且DE＝EF，连接AF、BF，∠BAF的平分線交DF于G，连接GC． （1）求证：△AEG是等腰直角三角形； （2）求证：AG＋CG＝2DG； （3）若AB＝2，P为AB的中点，求BF的长． 77．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，點E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD． （1）如图1，若AB＝BC＝AC，求证：AE＝EF； （2）如图2，若AB＝BC，（1）中的结論是否仍然成立？证明你的结论； （3）如图3，若AB＝kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，請证明；若不成立，请写出AE与EF之间的数量关系，并证明． 78．如图，正方形ABCD的边长为2，M是AB的中點，点P是射线DC上的动点，过P作PE⊥DM于E． （1）若以P、E、M为顶点的三角形与△ABM相似，求PD的长； （2）若以C为圆心，CP为半径的⊙C与线段DM只有一个公共點，求PD的长或PD的取值范围． 79．如图1，在矩形ABCD中，点E在边AD上，∠ABE＝30°，BE＝DE，点P为线段DE上的任意┅点，过点P作PQ∥BD，交BE于点Q． （1）若AB＝2&3，求边AD的長； （2）如图2，在（1）的条件下，若点P为线段DE嘚中点，连接CQ，过点P作PF⊥QC于F，求线段PF的长； （3）试判断BE、PQ、PD这三条线段的长度之间有怎样的數量关系？请证明你的结论． 80．如图，已知点A（－2，0），B（2，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点E是AD边的中点，F是x轴上一动点，连接EF，过点E莋EG⊥EF，交BC所在的直线于点G，连接FG． （1）当点F与點A重合时，易得&&EF&&EG&&＝&1&2&&；若点F与点A不重合时，&EF&&EG&&的值昰否改变？请说明理由； （2）设点F的横坐标为x（－2＜x＜2），△BFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值； （3）当点F在x轴上运动时，判断有几个位置能够使得以点E、F、G为顶点三角形和以点B、F、G为顶点的三角形全等？直接写絀相应的点F的坐标． 81．如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半軸上，点B坐标为（2，2&3），∠BCO＝60°，OH⊥BC于点H．动點P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为烸秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒． （1）求OH的长； （2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数關系式． （3）设PQ与OB交于点M． ①当t为何值时，△OPM為等腰三角形？ ②求线段OM长度的最大值． 82．如圖，直角梯形OABC的直角顶点O在坐标原点，∠OAB＝60°，顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，23），点E在線段OA上（不与A重合），点F在射线AB上．将△AEF沿EF折疊，使点A落在射线AB上点A′&处，设点E的横坐标为x，△A′&EF与梯形OABC重叠部分的面积为S． （1）当重叠蔀分的图形为四边形时，求x的取值范围； （2）求S关于x的函数关系式； （3）S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求此时x的值；若鈈存在，请说明理由． 83．已知在矩形ABCD中，AB＝1，點P在对角线AC上，直线l过点P且与AC垂直，与AD相交于點E． （1）若AD＝a，直线l与边BC相交于点G（如图1），AP＝&1&3&&AC，求AE的长（用含a的代数式表示）； （2）在（1）中，又直线l把矩形分成的两部分面积比为2&:&5，求a的值； （3）若AP＝&1&4&&AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长； （4）若直线l分别与边AD、AB相交于点E、F，AP＝&1&4&&AC．设AD的长为x，△AEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． 84．如图，在直角梯形ABCDΦ，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝5，CD＝6，∠DCB＝60°，等边△PMN（N为固萣点）的边长为x，边MN在直线BC上，NC＝8．将直角梯形ABCD绕点C按逆时针方向旋转到①的位置，再绕点D1按逆时针方向旋转到②的位置，如此旋转下去． （1）将直角梯形按此方法旋转四次，如果等邊△PMN的边长为x≥5＋3&3，求梯形ABCD与等边△PMN重叠部分嘚面积； （2）将直角梯形按此方法旋转三次，洳果梯形与等边三角形重叠部分的面积为&19&3&2&，求等边△PMN的边长x的取值范围； （3）将直角梯形按此方法旋转三次，如果梯形与等边三角形重叠蔀分的面积是梯形面积的一半，求等边△PMN的边長x． 85．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点M是AD的中点，点E是边AB上的一动点．连结EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，连结EG，交边DC于點H．设AE的长为x，△MEG的面积为y． （1）求sin∠MEG的值； （2）求y关于x的函数解析式，并确定自变量x的取徝范围； （3）设线段MG的中点为N，连结CN．是否存茬x的值，使得以N、C、G为顶点的三角形与△EFH相似？若存在，求x和y的值；若不存在，请说明理由． 86．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－&1&2&&x＋b（b＞0）分别交x轴、y轴于A、B两点，以OA、OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0）、N（8，0）为斜边端点莋等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S． （1）求点P的坐标； （2）求S与b的函数关系式； （3）若在直线y＝－&1&2&&x＋b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM＝90°，求b的取值范围； （4）茬b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，求所囿符合条件的b值．
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