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2012最新题库大全数学(理)高考试题分项专题03 函数与导数|利​于​教​师​备​课​,​同​时​方​便​学​生​把​握​高​考​近​几​年​的​考​察​方​向​。
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＞＞＞已知a∈R，函数f(x)=+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x（其中e为自然对数的..
已知a∈R，函数f(x)=+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x（其中e为自然对数的底数）．(Ⅰ)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值；(Ⅱ)是否存在实数x0∈(0，e]，使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.
题型：解答题难度：偏难来源：广东省模拟题
解：（Ⅰ）∵，∴，令f′(x)=0，得x=a， ①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数 f（x）无最小值；②若0＜a＜e，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)在区间(0，a) 上单调递减；当x∈(a，e]时，f′(x)＞0，函数f（x）在区间(a，e]上单调递增，所以当x=a时，函数f(x)取得最小值lna；&③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f(x)取得最小值；& 综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]无最小值； 当0＜a＜e时，函数f(x)在区间（0，e]上的最小值为lna； 当a≥e时，函数f(x)在区间（0，e]上的最小值为。 (Ⅱ)∵，∴，由（Ⅰ）知，当a=1时，，此时f(x)在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即，当，∴，曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x）=0有实数解，而g′(x0)＞0，即方程g′(x0)=0无实数解，故不存在x0∈(0，e]，使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知a∈R，函数f(x)=+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x（其中e为自然对数的..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，导数的概念及其几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的最值与导数的关系导数的概念及其几何意义
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．
发现相似题
与“已知a∈R，函数f(x)=+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x（其中e为自然对数的..”考查相似的试题有：
283440468514302195279807560490622663已知函数fx=2/x+alnx-2(a&0),若y=fx在点P(1，f(1))处的切线与直线y=-_百度知道
已知函数fx=2/x+alnx-2(a&0),若y=fx在点P(1，f(1))处的切线与直线y=-
已知函数fx=2/x+alnx-2(a&0),若y=fx在点P(1，f(1))处的切线与直线y=-x+2平行，求函数fx的极值
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已知函数fx=x分之a+lnx,若a=1,求曲线在(e,fe)处切线方程
f(x)=a/x+lnx因为a=1 所以f(x)=1/x+lnx所以f(e)=1/e+1因为f(x)=1/x+lnx所以f‘(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2所以f‘(e)=(e-1)/e^2所以曲线在(e,fe)处切线方程是y-(1/e+1)=(e-1)/e^2(x-e)=((e-1)/e^2)x-(e^2-e)/e^2=((e-1)/e^2)x-1+1/e所以切线方程是y=((e-1)/e^2)x-2
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