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正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为，AA1=2, 点M是BC的中点，P是平面A1BCD1内的一个动点，且满足PM≤2，P到A1D1和AD的距离相等，则点P的轨迹的长度为
A．πB． C． D．2
题型：单选题难度：中档来源：北京模拟题
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据魔方格专家权威分析，试题“正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为，AA1=2,点M是BC的中点，P是平..”主要考查你对&&动点的轨迹方程，柱、锥、台、球的结构特征&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
动点的轨迹方程柱、锥、台、球的结构特征
&动点的轨迹方程：
&在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。求动点的轨迹方程的基本方法：
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。 1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。 4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
求轨迹方程的步骤：
(l)建系，设点建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x，y）；(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)}；(3)列式用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化简化方程f(x，y)=0为最简形式；(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，&棱柱：
（1）概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各个面都叫棱柱的侧面，两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱，棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。 （2）分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱； ②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…
（1）概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面，棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱，棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高，过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。 （2）分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥… （3）正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
圆柱的概念：
以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。
圆锥的概念：
以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体；
圆台的概念：
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分；&
球的定义：
第一定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体，简称球。 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。
球的截面与大圆小圆：
截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面； 大圆：过球心的截面圆叫大圆，大圆是所有球的截面中半径最大的圆。 球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长； 小圆：不过球心的截面圆叫小圆。 棱柱的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形；③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
棱锥的性质：
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。
正棱锥性质：
①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等； ②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。
圆柱的几何特征：
①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
圆锥的几何特征：
①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。&
圆台的几何特征：
①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
球的截面的性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面；性质2：球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系：r2=R2-d2.&&&
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ID: 215861
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题型: 解答题
如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2．
（1）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（2）求四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积；
（3）求二面角B﹣C1C﹣D的余弦值．
本题给出一个特殊四棱台，叫我们证明面面垂直，求台体的体积并求二面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、棱台的体积公式和二面角平面角的作法等知识，属于中档题．（1）根据正方形的性质，得到AC⊥BD，结合AA1⊥BD，可得BD⊥平面A1ACC1．再用面面垂直的判定定理，证出平面A1ACC1⊥平面B1BDD1．（2）过D1作D1H⊥AD于H，在直角梯形AA1D1D中算出D1H=，从而四棱台的高A1A=，由此用棱台的体积公式求出四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（3）设AC与BD交于点O，连接OC1，过点B在平面B1BCC1内作BM⊥C1C于M，连接MD．利用线面垂直的性质与判定，可证出C1C⊥MD，从而∠BMD是二面角B﹣C1C﹣D的平面角．然后在Rt△C1OC中算出OM的长，在Rt△BMO中算出BM的长，同理得到DM的长，最后在△BMD中用余弦定理，可得二面角B﹣C1C﹣D的余弦值等于．
（1）∵AA1⊥平面 ABCD，BD?平面 ABCD，∴AA1⊥BD．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵AA1与AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，∴BD⊥平面A1ACC1．∵BD?平面B1BDD1，∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1． …（4分）（2）过D1作D1H⊥AD于H，则D1H∥A1A．∵AA1⊥平面 ABCD，∴D1H⊥平面ABCD．在Rt△D1DH中，可得，从而A1A=D1H=，∴四棱台的体积为：．
…（8分）（3）设AC与BD交于点O，连接OC1．过点B在平面B1BCC1内作BM⊥C1C于M，连接MD．由（1）知BD⊥平面A1ACC1，∵C1C?平面A1ACC1，∴BD⊥C1C．又∵BM⊥C1C，BM、BD是平面BMD内的相交直线，∴C1C⊥平面BMD，∵MD?平面BMD，∴C1C⊥MD．∴∠BMD是二面角B﹣C1C﹣D的平面角．在Rt△C1OC中，可得，从而得到．在Rt△BMO中，可得，同理可求得．在△BMD中，由余弦定理得：．即二面角B﹣C1C﹣D的余弦值等于…（12分）
（1）∵AA1⊥平面 ABCD，BD?平面 ABCD，∴AA1⊥BD．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵AA1与AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，∴BD⊥平面A1ACC1．∵BD?平面B1BDD1，∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1． …（4分）
（2）过D1作D1H⊥AD于H，则D1H∥A1A．∵AA1⊥平面 ABCD，∴D1H⊥平面ABCD．在Rt△D1DH中，可得，从而A1A=D1H=，∴四棱台的体积为：．
（3）设AC与BD交于点O，连接OC1．过点B在平面B1BCC1内作BM⊥C1C于M，连接MD．由（1）知BD⊥平面A1ACC1，∵C1C?平面A1ACC1，∴BD⊥C1C．又∵BM⊥C1C，BM、BD是平面BMD内的相交直线，∴C1C⊥平面BMD，∵MD?平面BMD，∴C1C⊥MD．∴∠BMD是二面角B﹣C1C﹣D的平面角．在Rt△C1OC中，可得，从而得到．在Rt△BMO中，可得，同理可求得．在△BMD中，由余弦定理得：．即二面角B﹣C1C﹣D的余弦值等于…（12分）
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已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD＝16，AB＝8，BB1＝8．E，F分别是线段A1A，BC上的点．（1）若A1E＝5，BF＝10，求证：BE∥平面A1FD．&&&（2）若BD⊥A1F，求三棱锥A1－AB1F的体积．
题型：解答题难度：中档来源：不详
略（1）过E作EG∥AD交A1D于G，连结GF．∵＝，所以＝，∴EG＝10＝BF．∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．∴四边形BFGE是平行四边形．∴BE∥FG．…………………………………4分又FG&I平面A1FD，BE&E平面A1FD，∴BE∥平面A1FD．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…………………………………6分（2）∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥面ABCD，BD&I面ABCD，∴A1A⊥BD．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F＝A1，∴BD⊥面A1AF．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&∴BD⊥AF．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&………………………………8分∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，∴在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝2．在Rt△ABF中，tan∠BAF＝＝．&&&&∵BD⊥AF，∴∠ABD＋∠BAF＝，∴＝，BF＝4．&&&&&………………10分∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥面ABCD，∴面AA1B1B⊥面ABCD，又面ABCD∩面AA1B1B＝AB，∠ABF＝90°，∴FB⊥面AA1B1B，即BF为三棱锥F－A1B1A的高．&………………12分∵∠AA1B1＝90°，AA1＝BB1＝8，A1B1＝AB＝8，∴S＝32．∴V＝V＝×S×BF＝．…14分
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥..”主要考查你对&&空间向量的定义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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空间向量的定义
空间向量的定义：
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
空间向量的坐标表示：
如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。&空间向量的理解：
（1）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
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