&& 查看话题
如何证明一个问题是NP完全问题
如何证明一个问题是NP完全问题？
NP完全问题？ NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。 　　有些计算问题是确定性的，比如加减&&
乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。 　　这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间&&多流水线调度实际上是一个NP完全问题
内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。 　　完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。 　　人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们於是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在指数时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。 　　解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法，所有这类问题都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能，就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。 还有NP-hard问题，求关注 如果一个问题可以多项式归约为另一个NPC问题，那么它也是NPC问题。这个可以看看《算法设计与分析》、《可计算性理论》等书籍。 太深奥了，我太业余了，完了，自卑了。。。。。。 其实没那么复杂。对一些需要利用计算机计算的问题，其算法的复杂度可以用需要完成的基本运算次数来表示，这个次数当然与问题的规模有关，如果次数相当于规模的多项式，则该算法可以在能够接受的时间里完成，算法成为多项式算法，否则就是非多项式算法，随着问题规模的扩大，运算时间急剧增加，不可在能够接受的时间里完成。NP完全、NP困难等等的概念均以此为基础，可参见有关参考书，我不想打字了。 六楼说的很好。。。其实这个问题wiki有解释，也有NPC问题的列表，楼主自行去看看~
http://en.wikipedia.org/wiki/NP-complete
The easiest way to prove that some new problem is NP-complete is first to prove that it is in NP, and then to reduce some known NP-complete problem to it.
var cpro_id = 'u1216994';
欢迎监督和反馈：本帖内容由
提供，小木虫仅提供交流平台，不对该内容负责。欢迎协助我们监督管理，共同维护互联网健康，如果您对该内容有异议，请立即发邮件到
联系通知管理员，也可以通过QQ周知，我们的QQ号为：8835100
我们保证在1个工作日内给予处理和答复，谢谢您的监督。
小木虫，学术科研第一站，为中国学术科研研究提供免费动力
广告投放请联系QQ： &
违规贴举报删除请联系邮箱： 或者 QQ:8835100
Copyright &
eMuch.net, All Rights Reserved. 小木虫 版权所有如何证明某个时刻做过某事？ | 问答 | 问答 | 果壳网 科技有意思
如何证明某个时刻做过某事？
如题问题过于简单，以至于我都没办法更好的描述假设一个场景，比如我是一名作家，我去交给报社我写的稿子，报社表示要我留下稿子审查，然后几天之后通知我是否录用稿子，为了防止对方盗用我的稿子，我该如何证明我是第一手资料？当然各位肯定会说签合同，发复印稿，或者给一点前面的篇幅等等，这些都是很好的规避了上面的问题，但是我只是做一个事件模型的假设，我该如何做，才能证明我在过去的某个时刻做过某事。再如果，整个社会都要对付我，但给我一次客观阐述自己在某个时刻做过某事的机会以证明我的清白，我该通过什么手段去证明？这就带来一个问题，时间是客观的，还是社会性的。比如我想过我发一个帖子，然后在帖子的时间旁边拍一张照片，显然除了ps手段之外，我完全可以先截图，然后几天之后把截图拿出来作为照片背景，那样就伪造了时间。再比如去有监控的地方，但是整个社会要对付我的话，完全可以把监控里面的画面去掉。又或者我在一个电视节目播放的时候拍摄我在做某事的画面，但是现在数字电视是可以回放的。我该怎么证明？？好像有点钻牛角尖。
+ 加入我的果篮
就像你说的，时间是客观性的，但是你要向人证明的时候，这种行为就是社会性的。如果整个社会都对付你，即使你证明了也没用。
头上装个摄像机 然后定期备份到一个秘密的服务器上~~~
来自旁边那扇门门和左边那条道道
作为一个太过开放的问题，你是无法得到一个严谨可行的答案的。但从理论上，逻辑推理是正经答案。利用因果关系，在某时做某事必导致某些必然结果，搜集足够多的结果，在一定可接受范围内，可作为证明。证明的强度则在需求。如果整个社会对付你，那强度无穷大。那么你无法证明。这其实也是很多人对审判行为产生某些误解的原因，审判的目标并非100%确认，而是在有限的能力下，将可信度控制在最佳状态，因为100%意味着成本无穷大。是不可能达到的。
百度“北京时间”然后合影
后回答问题，你也可以用以下帐号直接登录
(C)2013果壳网&京ICP备号-2&京公网安备官员们的新愁：如何证明自己没出事|官员存在感|公开露脸|中纪委_新浪新闻
官员们的新愁：如何证明自己没出事
　　报纸、电视，一般是被传闻出事的官员们最常选的两个公开露脸平台，最好是跟一把手等主官一起出现，既表明自己没事还能暗示大家自己跟一把手的关系还不错。
　　最近，估计不少官员都会多出一个烦恼，那就是该如何证明自己还存在。
　　很有一段时间，当坊间传闻某某官员出事的消息后，这些当事官员会看似无意、实则有意地公开露露脸，参加某个重要或不重要的会议。若实在没有会议通知自己参加，可在自己权限范围内召集一个会议或者牵头去基层搞个调研，然后暗中点名要求让媒体报道报道。
　　报纸、电视，一般是被传闻出事的官员们最常选的两个公开露脸平台，最好是跟一把手等主官一起出现，既表明自己没事还能暗示大家自己跟一把手的关系还不错。大家都知道，过去只要报纸和电视上还有这些官员的报道，大家都会暗暗心里说：哦，原来他还在。
　　官员们要证明自己还存在，还可能有一个途径，那就是选择在媒体上发表个署名文章。当然，这些被选择的媒体一般是当地党委机关报或者是纯官方杂志。
　　有些地方官场原来的做法是，一个待查的官员，若没有上级的许可，是不会在官方媒体上露面的。一旦媒体不被允许报道某某官员的信息，该官员被调查的消息就会不胫而走。但凡允许露面，基本就算没事，于是，传闻也就散去。
　　最近几年，有些离退休的高级别官员，若是被传闻年迈有病失去活动能力或者是去世了，会选择去母校走走或者冷不丁出版一本书，以证实自己还健在，还有对某些局势掌控的能力。
　　如今，这些都不行了。退休或在职的官员在媒体上公开露面，都不足以证明他们平安无事。最典型的，是原广东省委常委、广州市委书记万庆良。6月27日，上午还在正常活动的万庆良下午3点多被中纪委宣布涉嫌严重违纪违法接受调查。
　　这样的事情，最近不少。2月24日还出席了山西省委常委会的山西省委副书记、省人大常委会副主任金道铭，26日被宣布接受调查。4月10日，中国科协官网还在发布中国科协常务副主席、党组书记申维辰去密云县调研的活动消息，12日被通报调查。6月17日，山西省委常委、副省长杜善学和山西省政协副主席令政策都还在出席政务活动，19日被宣布接受调查。
　　与万庆良落马的消息一样来得让人猝不及防的，还有江西省副省长姚木根。3月，中纪委通报姚木根涉嫌严重违纪违法被调查的当天，江西省委机关报《江西日报》在第二版发表了姚的署名文章《加强河湖管理推进水生态文明建设》。
　　当下打虎高峰，很多过去大家都觉得固若金汤的山头，最近都有老虎被打落马。所以，又有哪个官员落马之类的消息本身，并不是什么值得大惊小怪的事情。让大家一时半会没接受不了的是，这些官员落马的消息发布得太突然了。上午还在大会上口若悬河讲廉政的官员，下午就被宣布涉嫌严重违法违纪，这多少让大家在时间上暂时有点缓冲不过来。
　　有人说，中纪委的保密工作做得太好了。确实，连我都有点好奇，这些上午还在台上当官下午就落马的官员，被抓前知道自己即将落马吗？以常识推断，中纪委敢公开宣布一个副省级官员涉嫌违法违纪，肯定已经暗地里进行过一段时间的调查了，难免会找这些高层官员的身边人、手下人，比如亲属、秘书、司机、心腹的手下小弟等等。
　　6月，江西省委秘书长赵智勇被免时，就有官场人士提醒我：大秘落马，书记恐怕难保。不久，原全国政协副主席、江西省委书记苏荣被宣布接受调查。一般官场人士尚且如此敏感，何况那些省委常委级的副省级官员。以他们的智商和在地方上的能量，应该会提前知道自己正在被暗地里调查。
　　难道，频出豆腐渣工程的中国真的建起了不透风的墙？常识告诉大家，这不太可能。我想，大概是当事人自己心里清楚，当地更高层及的官员心里清楚，只有他的同僚、下属和我们这些围观打虎的老百姓不知道罢了。跟过去不一样的是，当事官员的上级不会像过去那样禁止自己权力范围内的媒体让其露面，而是不动声色，正如当下。
　　做这样的猜测，让自己很震惊了一下：这些官员的心理素质真好，心知肚明自己不久就要落马还能坚持在台上演出，真的赶上专业演员了。
　　最近有传闻说，春节前，某省委书记就知道一名省委常委正在被暗中调查，常在常委会上打断该常委的发言并语带讥讽。这，或许是当下打虎高峰我们观察一个官员是否要出事的新角度。不过，这种场合发生的事情，老百姓如何能知晓呢？
　　（声明：本文仅代表作者观点，不代表新浪网立场。）
文章关键词：
&&|&&&&|&&如何证明中线
AE.BC 交于点M,F点在AM上，BE//=CF求证：AM是三角形ABC的中线
09-09-20 &匿名提问 发布
证法1 &br&先做图,做出过B, C的两条中线,分别交AC于M,交AB于N,所以M,N是AC,AB的中点.连接MN &br&设向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ为不等于0的实数) &br&&br&向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN, &br&&br&向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM &br&&br&所以,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN &br&&br&即(λ-2)向量PM-(μ-2)向量PN=O向量 &br&&br&因为向量PM与向量PN不共线,所以λ=2,μ=2 &br&所以向量BP=2向量PM &br&由此证得两中线交点把BM分成2:1.同理可证另一条中线与BM的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2 &br&得证. &br&&br&证法2 &br&&br&作出一个三角形ABC,设D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,在平面上任取一点O,设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c &br&则向量OD=1/2（b+c),向量OF=1/2(a+b),向量OE=1/2(c+a). &br&再设P为AD上的三等分点，满足向量AP=2向量PD， &br&则向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c) &br&同理可证，P也是BE，CF的三等分点，因此三条中线交于点P。 &br&三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2
请登录后再发表评论!
勾股定理(又称毕达哥拉斯定理)有500余种证明方法，其中最常见的是面积法，这里有16种常用的证明方法给你参考，请下载附件“勾股定理的证明”。 &BR/&附件：&a href=&/browse/download.php?path=/88/54/02/.7704306.zip&filename=勾股定理的证明.zip& target=&_blank&&勾股定理的证明.zip&/a&
5的平方=3的平方+4的平方在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 Ð A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2化简得 a2 + b2 = c2由此得知勾股定理成立。证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到∶1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2化简得 a2 + b2 = c2（定理得证）有一些书本对证明三十分推祟，这是由於这个证明是出自一位美国总统之手！在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）当选成为美国第 20 任总统，可惜在当选后 5 个月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有关证明，是他在 1876 年提出的。我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处，它其实和证明二一样，只不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。回答者：璎珞0127 - 童生 一级 10-1 16:375的平方=3的平方+4的平方在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 Ð A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2化简得 a2 + b2 = c2由此得知勾股定理成立。证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到∶1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2化简得 a2 + b2 = c2（定理得证）有一些书本对证明三十分推祟，这是由於这个证明是出自一位美国总统之手！在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）当选成为美国第 20 任总统，可惜在当选后 5 个月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有关证明，是他在 1876 年提出的。我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处，它其实和证明二一样，只不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。回答者：孤心岛雨 - 见习魔法师 二级 10-1 16:48看看这里吧，我认为是最全的。回答者：Q残烛 - 举人 五级 10-10 16:18（Ⅰ） ,∴ .(Ⅱ) ,∴ .(2)如图1-2，将两个直角三角形拼成直角梯形。∴4.勾股定理各种表达式在 中， ，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c则 ， ，， ，A．重点、难点提示1．勾股定理反映了一个直角三角形三边之间的关系，所以它也是直角三角形的一条重要性质，同时，勾股定理及逆定理能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足 ），所以它把形与数密切联系了起来；（数形结合是一种重要的数学思想）2．理解并掌握勾股定理，能够熟练应用勾股定理解决问题．（这是重点，也是难点，要掌握好）B．考点指要勾股定理是几何中几个重要定理之一，也是中考的重要内容之一，本节的考试点是已知直角三角形的两边求第三边．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边成为弦．已知直角三角形的任意两边后，可利用勾股定理求得第三边，为使计算迅速，建议大家熟记：（1）常用的勾股数组：3、4、5；6、8、10；5、12、13等；（2）含45°的直角三角形的三边之比为 ；（3）含30°的直角三角形的三边之比为 ．在利用勾股定理进行计算与证明中，无直角的情况下，可适当添加垂线，以便利用勾股定理．如果正数x满足 ，则记 ，这类数在本章中经常遇到，到八年级第二章时我们会专门来学习这类数的性质．请大家不妨把它当作一个一般的数来处理．【难题巧解点拨】例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=_________________；（2）若a=6，c=10，则b=_________________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=_________________，b=_________________；（4）若b=5，∠B=30°，则c=_________________．思路分析这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知除直角外的两个独立条件，就能求得直角三角形的边．解：（1） ，则c=5；（2） ，则b=8；（学会正确应用勾股定理，关键在于边的判断．）（3）∵a：b=8：15，∴设a=8x，b=15x，∵∠C=90°，∴ ，∴c=17x，∴17x=34，x=2，∴a=16，b=30．（4）∵∠C=90°，∠B=30°，∴c=2b=10．例2：如图1-1，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．解：设DC=x，则BD=14-x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：，两式相减，可得： ，解之得：x=5，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=12．点评：△ABC被高AD分成的两个直角三角形的直角边都是未知数，需在两个直角三角形中分别用勾股定理，构成方程组，才能求得结果．这种方程思想在直角三角形的有关计算中是经常应用的．例3：如图1-2，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若AB=13cm，AC=5cm，求CD的长．解法一：由勾股定理， ，，∴BC=12cm．设AD=x，则BD=13-x，在Rt△ACD中， ，在Rt△BCD中， ，，（直角三角形斜边上的高出现以后，共有三个直角三角形）解得： cm，，即 ．解法二： ，∴AC·BC=AB·CD，由勾股定理可求得BC=12cm，．（常用面积法求直角三角形斜边上的高）点评：解法二利用三角形面积公式，这为求直角三角形斜边上的高提供了简便的方法；解法一虽然比较繁，但是它提供了“已知三角形（任意三角形）的三边，求一边上的高”的一般解法．例4：如图1-3，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证： ．（以结论的形式为解决问题的突破点）证明：过点C作CF⊥BC，使CF=BE，连结AF、DF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ACF=45°，∴△ABE≌△ACF （SAS），∴BE=CF，AE=AF，∠BAE=∠CAF，∴∠BAC=∠EAF=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAF=45°，∴△DAE≌△DAF（SAS），（两次利用证明三角形的全等进行边的转化）∴DE=DF， ，．点评：本题综合考察勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．从待证的结论来看，联想到勾股定理，但由于CD、BE、DE三边不在同一个三角形中，应设法将其集中在一个三角形中，而△ABC是等腰三角形，有边、角相等的条件，为构造三角形提供了基础．例5：国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图1-4中的实线部分，其中图（4）中，∠DAE=∠ADE=∠CBF= ∠BCF=30°．请你帮助计算一下，哪种假设方案最省电线？（以下数据可供参考： ）解：不妨设正方形的边长为1（也可设为a），则图1-4（1）、图1-4（2）中的总线路长分别为AD+AB+BC=3，AB+BC+CD=3，（认真理解题意是关键）图1-4（3）中，总线路长为 ，图1-4（4）中，延长EF交BC于点H，则FH⊥BC，BH=HC，∵∠FBH=30°， ，由勾股定理可得：，，此时，总线路长为： ，显然，3&2.828&2.732，故图1-4（4）的连接线路最短，即图1-4（4）的架设方案最省电线．点评：本题是实验应用题，主要考察架设电路的实践和创新能力，符合国家对中考命题的要求，解题的关键是计算出四条线路的长度，并加以比较，选出最短的方案．【典型热点考题】例1 在钝角 中，CB=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于CD。求AC长。点悟：从题目所给的条件看，不易直接利用勾股定理计算AD，必须先求出CD的长才能解决问题。要求出CD的长度，可设CD=x，设法找到关于x的方程，通过解方程的方法求出未知的CD长，而题目中存在的两个直角三角形给了我们解决的途径。解：如图，设CD=x，在 中， ；在 中，。∴ 。解此方程，得x=6。∴ 。例2 已知：如图1-3在 中， AB=5，BC=3，CD⊥AB于D,求CD的长。解：∵ 是直角三角形AB=5，BC=3，由勾股定理有，∴ 。又 ，∴ 。答：CD的长是2.4。例3 在 中，AD⊥BC于D，∠ABC=2∠C，求证： 。点悟：从已知条件和结论看，二者没有直接的联系。从结论出发，如果结论成立，需有 。而通过Rt△ABD和Rt△ACD，易得 。只需再证CD-BD=AB即可。由于∠ABC=2∠C，可利用倍角关系来证明CD-BD=AB。证明：如图1-4延长DB至E，使EB=AB，连结AE。由作图可知：△ABE是等腰三角形，∴∠1=∠E。又∵∠ABC=∠1+∠E=2∠C，∴∠E=∠C。∴DC－BD=DE－DB=BE=AB。在Rt△ABD和Rt△ACD中，， 。∴=（CD+BD）（CD-BD）=BC·AB∴ 。例4 已知：△ABC的三个角度数比是∠A：∠B：∠C=1：2：3。求证： 。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和是180°），∠A：∠B：∠C=1：2：3（已知）。∴∠A=30°，∠C=90°。∴c=2a。在Rt△ACB中，有（勾股定理），∵ ，∴ 。例5 已知如图1-5，在△ABC中，AB=AC=5，P为BC边上一点，求证： 。证明：过A作AD⊥BC于D，则有BD=CD。在Rt△APD中，（勾股定理）又∵ （勾股定理），∴==25+（PD+CD）（-BP）=25-PC·BP，∴ 。点拔：当涉及计算时，常作高构造直角三角形，利用勾股定理证题。例6 如图1-6，在△ABC中，∠A=90°，DE垂直平分BC，若AC=2，∠B=15°，求△ABC的周长。点悟：欲求△ABC的周长，必须求出它的三条边，因已知中只知道AC的长，故需求出AB和BC的长。因为∠B=15°，非特殊角，故考虑先将其转化为特殊的角，沟通角与边或边与边的关系。解：连结CD，则∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠B=∠DCB。又∵∠ADC=∠B+∠DCB，∴∠ADC=2∠B。∵∠B=15°，∴∠ADC=30°。∴在Rt△ADC中，AC= DC，又∵AC=2，∴BD=CD=4。由勾股定理 得。∴ 。由勾股定理 ，得。∴△ABC的周长等于 。例7 已知：如图1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC、AC的中点，AD=5，BE= ，求AB的长。点悟：先求BC、AB，再由勾股定理求AB。解：设AC=b，BC=a，AB=c，∵AD、BE是中线（已知），∴CE= ，CD= （三角形中线概念）。又∠C=90°（已知），∴在Rt△ACD中， （勾股定理），在Rt△BCE中， （勾股定理），∵AD=5， （已知），∴∴ 。∵在Rt△ABC中，∠C=90°（已知），∴ （勾股定理）。∴AB= 。例8 如图1-8，△ABC的三边BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长度。点悟：由PD、PE、PF分别垂直于三角形的三条边可想到构造直角三角形，利用勾股定理来得到边与边之间的关系。解：连结PA、PB、PC，则设BD=x，CE=y，AF=z，则DC=17-x，EA=18-y，FB=19-z。在Rt△PBD中， 。在Rt△PBF中， 。即 ①。同理可得②。③。①+②+③，得。化简，得17x+18y+19z=487。又∵x+y+z=27，∴x=z-1。∴BD+BF=x+(19-z)=18。例9 一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，求这个三角形的各边长。解：如图1-9，设此等腰三角形的底边长为a，腰长为b，则按题意有解得 a=6cm，b=5cm。例10 已知：如图1-10在△ABC中，∠A=90°，DE为BC的垂直平分线，求证：点悟： ，只须证 ，而AE、AC互相垂直，故想到连结CE，则有 ，又由垂直平分线性质，得BE=CE，所以问题得证。证明：连结CE，则BE=CE，∵∠A=90°，∴ （勾股定理）∴∴ 。【综合题型巧解】例11 已知，如图1-11，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°， ，求AC的长。点悟：如过A作AD⊥BC于D，则AD=1，因为∠C=30°，故AC=2，解：过A作AD⊥BC于D，∴∠B+∠BAD=90°。∵∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴AD=BD。∵ ，∴AD=1。∵∠C=30°，AD⊥BC。∴AC=2AD=2。例12 如图1-12，在△ABC中，AB=AC，GH‖BC，求证： 。证明：如图1-12，过H作HM‖AB交BC于M，HN⊥BC于N。∵GH‖CM，GB‖HM，又 BH=BH，∴△GBH≌△MHB，从而BM=GH。∵∠HMC=∠ABC=∠C 且HM⊥MC，∴MN=NC。在Rt△BHN与 Rt△HNC中，， ，∴= +（BN+NC）（BN-NC）= +BC·（BN-MN）= +BC·BM= +BC·GH。点拔：合理添作辅助线HM、HN，转移相等线段并利用勾股定理是证得本题结论的关健。例13 在△ABC中，如图1-13，△ABC中，如图1-13，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC上一点。求证： 。点悟：从结论中 考虑，应该将PA放置到Rt△中去，为此考虑过A点作垂线段或过P点作垂线段构造Rt△，这样得到两种证法。证法（一）：如图1-13，过点A作AD⊥BC于D，则在Rt△ADP中 ，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°。∵AD⊥BC，AB=A C，∴∠BAD=∠CAD=45°。∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°∴AD=BD=CD= BC。∴==∴ 。证法（二）：如图1-14，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则BE=PE，PF=CF=AE，下略。例14 设a、b、c、d都是正数，求证：& 。略证：构造一个边长分别为(a+b)、(c+d)的矩形ABCD（如图1-15）在Rt△ABE中，BE=== ，在Rt△BCF中，BF=== ，在Rt△DEF中，EF= 。在△BEF中，BE+EF&BF,即 + &回答者：yysb - 试用期 一级 10-15 16:575的平方=3的平方+4的平方在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 Ð A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2化简得 a2 + b2 = c2由此得知勾股定理成立。证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到∶1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2化简得 a2 + b2 = c2（定理得证）
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：    周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”    商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”    从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们图1 直角三角形 用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：勾2+股2=弦2 亦即：a2+b2=c2
   勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。    在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：弦=（勾2+股2）(1/2) 亦即：c=（a2+b2）(1/2)
   中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得：a2+b2=c2 亦即：c=（a2+b2）(1/2)图2  勾股圆方图
   赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。    中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”还有这个网址的勾股定理证明方法：
请登录后再发表评论!