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试说明：两个连续奇数的积加上1，一定是一个偶数的平方．
题型：解答题难度：中档来源：不详
设两个连续奇数为2n-1，2n+1，则（2n-1）（2n+1）+1=（2n）2-1+1=（2n）2，结果成立．
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据魔方格专家权威分析，试题“试说明：两个连续奇数的积加上1，一定是一个偶数的平方．-数学-魔方..”主要考查你对&&平方差公式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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平方差公式
表达式：(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。特点：（1）左边是两项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数；（2）右边是乘方中两项的平方差。注：（1）公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式；（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。常见错误:平方差公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难以掌握。
注意事项:1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。3、公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
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203616416375906445909530103654145407[C语言]给定一段连续的整数，求出他们中所有偶数的平方和以及所有奇数的立方和。 - 代码贴 - BCCN
#include&stdio.h&
int main()
int m,n,i,temp,sum1,sum2;
while(~scanf(&%d%d&,&m,&n))
{sum1=sum2=0;
{temp=m;m=n;n=temp;}
for(i=m;i&=n;i++)
if(i%2==0)
sum1+=i*i;
else if(i%2==1)
sum2+=i*i*i;
printf(&%d %d\n&,sum1,sum2);下载作业帮安装包
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1到99奇数的平方相加,减去2到100偶数的平方 怎么算
请用平方差公式
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完全平方数和完全平方式
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
完全平方数和完全平方式
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文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
第三十一讲& 完全平方数和完全平方式&&& 设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：&&& (1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；&&& (2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；&&&& (3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；&&& (4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；&&& (5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；&&& (6)相邻两个整数之积不是完全平方数；&& (7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正 因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．例题求解【例1】 n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全 平方数之和．思路点拨& 设3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．&&& 若rn=3k+1，则 ．∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2．若m=3k+2，则 ∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2．&& 故n+1是3个完全平方数之和．【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．& 思路点拨&& 引入参数，利用奇偶分析求解． 设所求正整数为x，则& x+ 100=m2& ----①& x+168==n2 -----②& 其中m，n 都是正整数，& ②―①得n2―m2 =68，即 （n―m）(n+m)=22×17．---- ③& 因n―m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n―m，n+m都是偶数．注意到0&n―m&n+m，由③可得& ．& 解得n=18．代人②得x=156，即为所求．【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52―32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．&& &&&& 思路点拨& 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．&&& 对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1)2―(k―1)2& (k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．&&& 对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x2―y2=(x+y)(x－y)，其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，(x+y)(x－y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2―y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．&&& 因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．&&& 因为×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数” ，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数 满足下列条件：& (1)它的各位数字均不为零； & (2)它是一个完全平方数；& (3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数 以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数 也都是完全平方数．&&& 试求出满足上述条件的所有五位数．& 思路点拨& 设 ，且 (一位数)，& (两位数)，& (两位数)，则&&&&&& ①&&& 由式①知&&&&& ②& 比较式①、式②得n2=2mt．& 因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．故n2=16或36或64．& 当n2=16时，得 ，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；& 故 或41616．& 当n2=36时，得 ．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．& 故 或93636．& 当n2= 64时，得 ．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．& 因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，93 636．&【例5】 (2002年北京)能 够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．&&& 思路点拨 不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．&&& 理由如下：&&& 偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正 整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足 ； =1，2，3，4，rn是正整数；因为2002被4除余2，所以 被4除应余2或3．&&& (1)若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，n2是偶数，则 被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，n2，n3，n4中至多有―个是偶数，至少有三个是奇数．&&& (2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与 被4除余2或3的结论矛盾．&&& 综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数． 【例6】 使得(n2―19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?& 思路点拨& 若(n2―19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．&& ∵ n2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)&& 当n&10时，(n－10)2&n2－19n+19&(n-9)2∴& 当n&10时(n2―19n+19)不会成为完全平方数& ∴& 当n≤10时，(n2―19n+91)才是完全平方数& 经试算，n=9和n=10时，n2―19n+91是完全平方数．& 所以满足题意的值有2个．【例7】 (“我爱数学”夏令营)已知 的值都是1或―1，设m是这2002个数的两两乘积之和．&&& (1)求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；&&& (2 )求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．&& 思路点拨&& (1) ， ． & 当 或 时，m取最大值2003001． & 当 中恰有01个 时，m取最小值―1001．& (2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且 必为偶数，所以，当 或 ；& & 即 中恰有8个 或恰有1024个 ，978个1时，m取最小值 ．& && 【例8】 (全国竞赛题)如果对一切x的整数值，x的二次三项式 都是平方数(即整数的平方)，证明：&&& (1) 2a、2b都是整数；& &&& ( 2)a、b、c都是整数，并且c是平方数．& 反过来，如果(2) 成立，是否对一切x的整数值， 的值都是平方数?& 思路点拨& (1) 令x=0，得c=平方数= ；& 令x=±1，得 ， ，其中m、n都是整数．所以， ，& 都是整数． && (2) 如果2b是奇数2k+l(k是整数)，令x=4得 ，其中h是整数．&&& 由于2a是整数，所以16a被4整除，有 除以4余2．&&& 而 ，在h 、l的奇偶性不同时， 是奇数；在h、l的奇偶性相同时， 能被4整除．&&& 因此， ，从而2b是偶数，b是整数，& ^也是整数．& &&& 在(2)成立时， 不一定对x的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时， =8不是平方数．&&& 另解(2)：& 令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a―2b+c=k2，其中h、k为整数．两式相减得& 4b=h2―k2=(h+k)(h―k)．& 由于4b=2(2b)是偶数，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h―k)能被4整除．& 因此，b是整数， 也是整数．
学力训练(A级)1．(山东省竞赛题)如果 是整数，那么a满足(&&& )A．a&0，且a是完全平方数&&& B．a&0，且－a是完全平方数&&& C．a≥0，且a是完全平方数&& D．a≤0，且―a是完全平方数&& 2．设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是(&&& )A．1&&& B．4&&&& C．5&&& D．63．(五羊杯，初二)设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是&&&& ．4．使得n2―19n+95为完全平方数的自然数n的值是&&&& ．& 5．自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n=&&&&&& ．6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是 &&& ．7．是否存在一个三位数& (a，b，c取从1到9的自然数)，使得 为完全平方数?8．求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （B级）1．若x是自然数，设 ，则 (&&&&& )& A．y一定是完全平方数&&&&&& B．存在有限个，使y是完全平方数C．y一定不是完全平方数&&&& D．存在无限多个，使y是完全平方数2．已知a和b是两个完全平方数，b的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则(&&& )&& A．x，y都是奇数&&&&&&&&&&&&&& B．x，y都是偶数& C．x是奇数，y是偶数&&&&&&&&&& D．x为偶数，y为奇数&& 3．若四位数 是一个完全平方数，则这个四位数是&&&&&&& ．4．设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是&&&&& ．5．(全国联赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和，则y的最小值是&&&&&& ．6．(北京市竞赛，初二)p是负整数，且2001+p是―个完全平方数，则p的最大值为&&&&&&& ．7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能 组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士?8．证明： 是一个完全平方数．&&& &文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
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