如图，抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【考点】．【专题】压轴题．【分析】方法一：（1）分析抛物线过两点，由待定系数求出抛物线解析式；（2）根据D、E中点坐标在直线BC上，求出D点关于直线BC对称点的坐标；（3）有两种方法：法一作辅助线PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，根据几何关系，先求出tan∠PBF，再设出P点坐标，根据几何关系解出P点坐标；法二过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作QG⊥DH于G，由角的关系，得到△QDG≌△DBH，再求出直线BP的解析式，解出方程组从而解出P点坐标．方法二：（1）略．（2）利用直线BC斜率求出直线DE斜率进而求出DE直线方程，并求出交点F坐标，再利用中点公式求出E点坐标．（3）过D点作BP的垂线，构造等腰直角三角形，利用“开锁法”即点在坐标系中平移，旋转，再平移，求出H点坐标，并求出BH的直线方程，再与抛物线方程联立，从而求出P点坐标．【解答】方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，∴m+1=-m2+3m+4，即m2-2m-3=0∴m=-1或m=3∵点D在第一象限∴点D的坐标为（3，4）由（1）知OC=OB∴∠CBA=45°设点D关于直线BC的对称点为点E∵C（0，4）∴CD∥AB，且CD=3∴∠ECB=∠DCB=45°∴E点在y轴上，且CE=CD=3∴OE=1∴E（0，1）即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，由（1）有：OB=OC=4∴∠OBC=45°∵∠DBP=45°∴∠CBD=∠PBA∵C（0，4），D（3，4）∴CD∥OB且CD=3∴∠DCE=∠CBO=45°∴DE=CE=∵OB=OC=4∴BC=4∴BE=BC-CE=∴tan∠PBF=tan∠CBD=设PF=3t，则BF=5t，OF=5t-4∴P（-5t+4，3t）∵P点在抛物线上∴3t=-（-5t+4）2+3（-5t+4）+4∴t=0（舍去）或t=∴P（，）；方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H，过Q点作QG⊥DH于G，∵∠PBD=45°，∴QD=DB，∴∠QDG+∠BDH=90°，又∵∠DQG+∠QDG=90°，∴∠DQG=∠BDH，∴△QDG≌△DBH，∴QG=DH=4，DG=BH=1由（2）知D（3，4），∴DH=4，∴HG=3，QF=1，∴Q（-1，3）∵B（4，0）∴直线BQ的解析式为y=-x+解方程组2+3x+4y=-35x+125得1=4y1=0，2=-25y2=6625∴点P的坐标为（，）．方法二：（1）略．（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，∴m+1=-m2+3m+4，即m2-2m-3=0∴m=-1或m=3∵点D在第一象限∴点D的坐标为（3，4）∵B（4，0），C（0，4），∴lBC：y=-x+4，D，E关于BC对称，∴DE⊥BC，DE与BC的交点F为DE的中点，KDE×KBC=-1，∵KBC=1，∴KDE=-1，lDE：y=x+1，lBC：y=-x+4，∴lDE与lBC的交点F（，），∵FX=X+EX2，FY=Y+EY2，∴E（0，1）．（3）过点D作直线BF的垂线，垂足为H，设点H（a，b），∵∠DBP=45°，∴△DHB为等腰三角形，点B可视为点D绕点H顺时针旋转90°而成，将点H平移至原点得点H′，则点D（3，4）平移后为D′（3-a，4-b），将点D′顺时针旋转90°，则点B′（4-b，a-3），将H′平移至H，则B′平移后即为点B（4+a-b，a+b-3），∵B（4，0），∴4+a-b=4，a+b-3=0，∴a=b=，H（，），∵P在直线BH上，KBH=，∴lBH：y=-x，∴2+3x+4=>，∴点P的坐标为（，）．【点评】此题考查传统的待定系数求函数解析式，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求P点坐标．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：leikun老师　难度：0.31真题：51组卷：305
解析质量好中差
&&&&，V2.28020解答： 解：（1）由已知得解得．
所以，抛物线的解析式为y=x2x+3．
（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA=1，OC=3，BC==5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．
（3）∵B（4，0）、C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=x+3，
①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y轴，
∴△MQB∽△COB，
∴=，即=，解得b=，代入y=x+3得，=a+3，解得a=，
∴M（，）；
②当∠QMB=90°时，如图3，
∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴=，解得m=，
作MN∥OB，
∴==，即==，
∴MN=，CN=，
∴ON=OCCN=3=，
∴M（，），
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）．
其他类似试题
（2015山东日照）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，
Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，
再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
（2015山东潍坊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx28mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【2015哈尔滨】27.在平面直角坐标系中，点0为坐标原点,抛物线y=-(x-2)(x-k)(k>2)与x轴交于点A、B(点 A在点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交X轴于点E.
(1)如图1，当AB=2时，求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接CD,过点0作CD的垂线,交抛物线y=-(x-2)(x-k)的对称轴于点F,求点 F的纵坐标；
（3）在(1)的条件下，如图3，点P为在x轴下方,且在抛物线的对称轴右侧抛物线上的一动点，连接AP，当∠PAB=∠0CP时，求tan∠APB的值.
【2015哈尔滨】9.如图，在□ABCD中，∠BCD的平分线CN交□ABCD的边AD 于点N,BF⊥CN,
交CN于点F,交CD的延长线于点E，连接BN、 NE,若 BN=6，BC=8，则 △DNE 的周长为（ ）
11 (C)9 (D) 12
更多相识试题
Copyright ? 2011- Inc. All Rights Reserved. 17教育网站 版权所有 备案号：
站长：朱建新第一问不再写了
菁优解析考点：．专题：压轴题．分析：（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组即可求得系数a、b的值；（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．则S=CDo（AE+BF）=-（m-）2+，所以当m=时，S取最大值；（3）需要分类讨论：①如图2，当PQ∥DC，PQ=DC时．②如图3，当CD∥PQ，且CD=PQ时．③如图4，当PC∥DQ，且PC=DQ时．分别求得这三种情况下的点Q的坐标．解答：解：（1）∵抛物线2+bx+52与直线AB交于点A（-1，0），B（4，）．∴，解得，，∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．∵点A（-1，0），B（4，），∴易求直线AB的解析式为：y=x+．又∵点D的横坐标为m，∴点C的坐标是（m，m+），点D的纵坐标是（-m2+2m+）∴AE=m+1，BF=4-m，CD=-m2+m+2，∴S=CDo（AE+BF）=×（-m2+m+2）×（m+1+4-m）=-（m-）2+（-1＜m＜4）．∴当m=时，S取最大值，此时C（，）；（3）假设存在这样的点P、Q使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形．∵点D是抛物线的顶点，∴D（2，），C（2，）．①如图2，当PQ∥DC，PQ=DC时．设P（x，-x2+2x+），则Q（x，x+），∴-x2+2x+-x-=3，解得，x=1或x=2（舍去），∴Q（1，1）；②如图3，当CD∥PQ，且CD=PQ时．设P（x，-x2+2x+），则Q（x，x+），∴x++x2-2x-=3，解得，x=5或x=-2，∴Q（5，3）、Q′（-2，-）；③如图4，当PC∥DQ，且PC=DQ时．过点P作PE⊥CD于点E，过点Q作QF⊥CD于点F．则PE=QF，DE=FC．设P（x，-x2+2x+），则E（2，-x2+2x+），∴Q（4-x，-x），F（2，-x），∴由DE=CF得，-（-x2+2x+）=-x-，解得，x=1或x=2（舍去），∴Q（3，2）综上所述，符合条件的点Q的坐标有：（1，1）、（5，3）、（-2，-）、（3，2）．点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质以及最值的求解方法．解答（3）题时要分类讨论．答题：dbz1018老师　
其它回答（2条）
（2）先求AB解析式为y=x+，把DC当成底（两解析式纵坐标的差），A，B横坐标之差为高，就是5，则底为（-m?+2m+）-（m+）=-m?+m+2∴S=（-m?+m+2）×5×=-m?+m+5 &&& & &将其配方得S=-（m-）?+，即S取最大值时m为，带入AB中得C（，）（3）是平行四边形，即AB与抛物线的解析式纵坐标之差等于CD& & &D由顶点公式可求为（2，），C为（2，），所以CD为3& & &当抛物线在AB上方时，-m?+m+2=3，解得m=1（2舍去，与CD重合）∴Q1（1，1）& & &当抛物线在AB下方时，-m?+m+2=-3，解得m=5或-2&∴Q2（5，3），Q3（-2，-）共3个Q点
不好意思，考虑少了一种情况．．．．．2楼很有道理
&&&&，V2.28020如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴将A与B两点坐标代入得：，解得：。∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x。（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1。∴直线OB的解析式为y=x。∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m。∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x）。又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0。∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4。此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2。∴D点的坐标为（2，﹣2）。（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3）。根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=。∴直线A′B的解析式是y=。∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上。∴设点N（n，），又∵点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴=n2﹣3n，解得：n1=，n2=4（不合题意，舍去）。∴N点的坐标为（）。如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（），B1（4，﹣4）。∴O、D、B1都在直线y=﹣x上。由勾股定理，得OD=，OB1=，∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1。∴。∴点P1的坐标为（）。将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（）。综上所述，点P的坐标是（）或（）。
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可。（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。（3）综合利用几何变换和相似关系求解：进行翻折变换，将△NOB沿x轴翻折，注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。还可以进行旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°求解。
下列说法“①任意两个正方形必相似；②如果两个相似三角形对应高的比为4：5，那么它们的面积比为4：5；③抛物线y=-（x-1）2+3对称轴是直线x=1，当x＜1时，y随x的增大而增大；④若
；⑤一元二次方程x2-x=4的一次项系数是-1；⑥
不是同类二次根式”中，正确的个数有（　　）个
（1）已知a=
，求a2b+ab2的值．（2）已知x2-
x+1=0，求x2+
的值；（3）用配方法求代数式y2-6y+11的最小值．
(满分l2分)某商店在四个月的试销期内，只销售A，B两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，将决定经销其中的一个品牌，为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图(1)第四个月销量占总销量的百分比是_______；(2)在图10-13中补全表示B品牌电视机月销量的折线；(3)为跟踪调查电视机的使用情况，从该商店第四个月售出的电视机中，随机抽取一台，求抽到B品牌电视机的概率；(4)经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．
高考全年学习规划
该知识易错题
该知识点相似题
高考英语全年学习规划讲师：李辉
更多高考学习规划：
客服电话：400-676-2300
京ICP证050421号&京ICP备号 &京公安备110-1081940& 网络视听许可证0110531号
旗下成员公司考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,平行四边形的判定
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=-b2a=1，得到b=-2a②，抛物线过点A（-2，0），得到0=4a-2b+c③，然后由①②③可解得，a=-12，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=-12x2+x+4；（2）假设存在满足条件的点F，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，-12t2+t+4），则FH=-12t2+t+4，FG=t，先根据三角形的面积公式求出S△OBF=12OB•FH=-t2+2t+8，S△OFC=12OC•FG=2t，再由S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC，得到S四边形ABFC=-t2+4t+12．令-t2+4t+12=17，即t2-4t+5=0，由△=（-4）2-4×5=-4＜0，得出方程t2-4t+5=0无解，即不存在满足条件的点F；（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+4，再求出抛物线y=-12x2+x+4的顶点D（1，92），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是DE=92-3=32．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，-m+4），则点Q的坐标是（m，-12m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ=（-12m2+m+4）-（-m+4）=-12m2+2m，解方程-12m2+2m=32，求出m的值，得到P1（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ=（-m+4）-（-12m2+m+4）=12m2-2m，解方程12m2-2m=32，求出m的值，得到P2（2+7，2-7），P3（2-7，2+7）．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），∴c=4 ①．∵对称轴x=-b2a=1，∴b=-2a ②．∵抛物线过点A（-2，0），∴0=4a-2b+c ③，由①②③解得，a=-12，b=1，c=4，∴抛物线的解析式为y=-12x2+x+4；（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，-12t2+t+4），其中0＜t＜4，则FH=-12t2+t+4，FG=t，∴S△OBF=12OB•FH=12×4×（-12t2+t+4）=-t2+2t+8，S△OFC=12OC•FG=12×4×t=2t，∴S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12．令-t2+4t+12=17，即t2-4t+5=0，则△=（-4）2-4×5=-4＜0，∴方程t2-4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F；（3）设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0），∵B（4，0），C（0，4），∴n=44k+n=0，解得k=-1n=4，∴直线BC的解析式为y=-x+4．由y=-12x2+x+4=-12（x-1）2+92，∴顶点D（1，92），又点E在直线BC上，则点E（1，3），于是DE=92-3=32．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，-m+4），则点Q的坐标是（m，-12m2+m+4）．①当0＜m＜4时，PQ=（-12m2+m+4）-（-m+4）=-12m2+2m，由-12m2+2m=32，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，∴m=3，P1（3，1）．②当m＜0或m＞4时，PQ=（-m+4）-（-12m2+m+4）=12m2-2m，由12m2-2m=32，解得m=2±7，经检验适合题意，此时P2（2+7，2-7），P3（2-7，2+7）．综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+7，2-7），P3（2-7，2+7）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
请在这里输入关键词：
科目：初中数学
计算：+|-4|+（-1）0-（）-1．
科目：初中数学
如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．
科目：初中数学
如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．
科目：初中数学
今年我市把男生“引体向上”项目纳入学业水平体育考试内容，考试前某校为了解该项目的整体水平，从九年级220名男生中，随机抽取20名进行“引体向上”测试，测试成绩（单位：个）如图1：其中有一数据被污损，统计员只记得11.3是这组样本数据的平均数．（1）求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差；（2）请补充完整下面的频数、频率分布表和频数分布直方图（如图2）；频数、频率分布表：测试成绩/个频数频率1～50.106～1011～1516～2030.15合计201.00（3）估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成11个以上（包含11个）“引体向上”？
科目：初中数学
如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．（1）求证：DE∥BC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度．
科目：初中数学
函数y=中，自变量x的取值范围为．
科目：初中数学
我国“钓鱼岛”周围海域面积约170&000km2，该数用科学记数法可表示为．
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！