高中数学数列专题递推求通项

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-08-12 08:52 标签： 高中数学数列专题
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高中数学：几种常见递推数列通项求法课件.ppt20页
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* * * * 主讲人：王
级：三年三班 学习目标： 1. 掌握几种常见递推数列通项公式的求法：累加法、累乘法、构造新数列法。 3. 培养学生的应用意识和实际解题能力。 2. 能够熟练辨别几种求数列通项的类型。 * 知识回顾： * 知识回顾： 累加法 * 累乘法 知识回顾： * Company Logo 问题一： 已知数列 中 求通项公式 * 问题二：在数列 中，已知 ， 若 ，求数列通项 * 归纳总结： 2.在数列 中，已知
， 若 则用＂累乘法＂求数列通项 1.在数列 中，已知
， 若 则用“累加法＂求数列通项 * 实战演练 练习1：（2010 新课标全国，17题） * 已知数列 中， ， 求通项公式 ． 答案： 练习2、（2009
江西18题） * 问题三：已知数列 中， ， 且有 ，求通项公式 。 * 归纳总结： * 实战演练 练习3：（2011山东，填空13题） * 问题四: 在数列 中， 且 求数列通项 * 归纳总结： * 实战演练 练习4：（2008
广东，选择第9题） 已知数列 中， ， 且有 ，求通项公式 。 * 小结与归纳 构造为等比数列 累加法 累乘法 构造为等差数列 * 思考题：（综合应用提高） 1.已知在数列 中， ，且有 求通项公式
3.已知在数列 中， ， 且有 ，求通项公式
2.已知数列
中， 求数列
通项。 * *
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　　一、一阶线性递推数列求通项问题
一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
&&& 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
　　当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０．
&&& 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
　　当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式.
例１已知数列中，,求的通项公式．
解析：解法一：转化为型递推数列．
∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．
解法二：转化为型递推数列．
∵=2xn-1+1(n≥2)　　①　　∴=2xn+1　　②
②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x2-x1=2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．
解法三：用迭代法．
当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
例２　已知函数的反函数为
求数列的通项公式.
解析：由已知得，则．
令=,则.比较系数，得.
即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．
评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．
若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.
这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.
例３　设数列求数列的通项公式．
解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．
例４　设求数列的通项公式．
解析：设用代入，可解出．
∴是以公比为-2，首项为的等比数列．
这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列　
例５　设数列求数列的通项公式．
解析：由可得
故即用累加法得
例６　在数列求数列的通项公式．
解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．
令使数列是以 为公比的等比数列(待定)．
即∴对照已给递推式，& 有即的两个实根．
由式①得；由式②得．
例７　在数列求．
解析：由　①，得　　②．
式②+式①，得，从而有．∴数列是以６为其周期．故==-1．
三、特殊的n阶递推数列
例８　已知数列满足，求的通项公式．
解析：∵　　 ①
　　　∴&&& ②
&②－①，得．∴故有
将这几个式子累乘，得
例9　数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．
解析：由 ①，得 ②．
式①－式②，得，或，故有.
将上面几个式子累乘，得，即．
∵也满足上式，∴．
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