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求解啊，微积分无穷小等价的题。。。
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→0+时，两个函数都是无穷小，且(sin√x+x^(2/3))&#47。x→0时，(tanx-sinx)/x^3=tanx&#47，所以两个无穷小等价;√x=sin√x/√x+x^(1/6)→1+0=1
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等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
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等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
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考研数学题型总结
第一讲 求极限的各种方法教学 目的 通过教学使学生掌握求极限的各种方法，重点掌握用等价无穷小量代换求极 g ( x) 限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求 lim f ( x) 极限 ；利用 Taylor 公式求极限；数列极限转化成函数极限求解1．用等价无穷小量代换求极限重 点 难 点2．用罗必塔法则求极限 3．用对数恒等式求 lim f ( x) 4．利用 Taylor 公式求极限 5．数列极限转化成函数极限求解 1．约去零因子求极限g ( x)极限教2．分子分母同除求极限 3．分子(母)有理化求极限 4．应用两个重要极限求极限学5．用等价无穷小量代换求极限 6．用罗必塔法则求极限提7．用对数恒等式求 lim f ( x)g ( x)极限8．数列极限转化成函数极限求解 9．n 项和数列极限问题 10．单调有界数列的极限问题纲1第一讲求极限的各种方法求极限是历年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说 明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。 用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求 lim f ( x) 零因子是解题的重要技巧。 1．约去零因子求极限g ( x)极限是重点，及时分离极限式中的非x4 ?1 x ?1 x ? 1 【说明】 x ? 1 表明 x与1 无限接近，但 x ? 1 ，所以 x ? 1 这一零因子可以约去。 ( x ? 1)(x ? 1)(x 2 ? 1) ? lim( x ? 1)(x 2 ? 1) ? 6 【解】 lim x ?1 x ?1 x ?1例 1：求极限 lim 2．分子分母同除求极限 例 2：求极限 lim 【说明】? 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ? 1? 1 1 x3 ? x2 x 【解】 lim ? lim ? x ?? 3 x 3 ? 1 x ?? 3 ? 1 3 3 x【评注】(1) 一般分子分母同除 x 的最高次方；x3 ? x2 x ?? 3 x 3 ? 1? ?0 a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? ? ? a 0 ? ? ?? (2) lim m ?1 x ?? b x m ? b ? ? ? b0 ? a m m ?1 x n ? ? bn3．分子(母)有理化求极限 例 3：求极限 lim ( x ? 3 ?2 x ???m?n m?n m?nx 2 ? 1)( x 2 ? 3 ? x 2 ? 1)( x 2 ? 3 ? x 2 ? 1) x2 ? 3 ? x2 ?1【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 lim ( x ? 3 ?2 x ? ??x 2 ? 1) ? limx ? ??? lim2 x2 ? 3 ? x2 ?1x ?0x ????0例 4：求极限 lim1 ? tan x ? 1 ? sin x x3【解】 limx ?01 ? tan x ? 1 ? sin x tan x ? sin x ? lim 3 3 x ?0 x x 1 ? tan x ? 1 ? sin x1 lim? limx ?0tan x ? sin x 1 tan x ? sin x 1 ? lim ? 3 2 x ?0 4 x x3 1 ? tan x ? 1 ? sin x x?02【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 ．．．．．．．．．．．．． 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是 limsin x 1 1 ? 1 和 lim(1 ? ) x ? lim(1 ? ) n ? lim(1 ? x) x ? e ， 第一个重要极限 x?0 x ?? n?? x ?0 x x n1过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。? x ?1? 例 5：求极限 lim ? ? x ??? x ? 1 ? ?x【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑 ?x x1 ，最后凑指数部分。 X2x ?1 1? ? ? x ?1? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? 2 ? 【解】 lim ? ? ? lim ?1 ? ? ? lim ??1 ? x ?1 ? ?1 ? ? ? ?e ? ? x ? ?? x ? 1 x ? ?? x ? ?? ? x ?1? x ?1? ? ? ? 2 ? ?? ? ? ?1 ? ? ? x ? 2a ? 例 6：(1) lim ?1 ? 2 ? ；(2)已知 lim ? ? ? 8 ，求 a 。 x ??? x ??? ? x ? ? x?a ?x x5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：1 当 x ? 0 时, x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln( ? x) ~ e ? 1 ,x1 ? cos x ~1 2 b x , ?1 ? ax ? ? 1 ~ abx ； 2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．limsin x ? x x?x ＝ lim ３ ＝0 是不正确的 3 x ? 0 tan x x ?0 x(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．x ln(1 ? x) ? x ? 0 1 ? cos x x ln(1 ? x) x?x 【解】 lim ? lim ? 2. x ?0 1 ? cos x x ?0 1 2 x 2 sin x ? x 例 8：求极限 lim x ? 0 tan 3 x ? 1 x2 sin x ? x sin x ? x cos x ? 1 1 【解】 lim ? lim ? lim ? ? lim 2 2 ? ? 3 2 x ? 0 tan 3 x x ?0 x ?0 x ?0 6 x 3x 3x ?sin x ? sin ? sin x ? ? sin x ? ? 例 9：求极限 lim . 4 x ?0 x (sin x ? sin sin x) sin x sin x ? sin sin x cos x ? cos(sin x)? x cos ? lim ? lim 【解】 lim 4 3 2 x ?0 x ?0 x ?0 x x 3x例 7：求极限 lim3? limsin x 1 cos x(1 ? cos(sin x)) sin(sin x)?cos x ? lim ? ? lim 2 x ?0 6 x x ?0 x ?0 6 3x 6x6．用罗必塔法则求极限 例 10：求极限 limln cos 2 x ? ln(1 ? sin 2 x) x ?0 x2? 0 或 型的极限,可通过罗必塔法则来求。 ? 0 ? 2 sin 2 x sin 2 x ? ln cos 2 x ? ln(1 ? sin 2 x) 1 ? sin 2 x 【解】 lim ? lim cos2 x 2 x ?0 x ?0 x 2x sin 2 x ? ? 2 1 ? ? lim ? ? ? ? ?3 2 x ?0 2 x ? cos 2 x 1 ? sin x ?【说明】 例 11：求limx ?0x 2 ? ? cos(t 2 )dt0x2sin 10 xx2.【说明】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 【解】 limx ?0x 2 ? ? cost 2 dt0x ?0 sin 10 x x10 1 8 x 1 ? cos x 4 1 ? lim ? lim 2 8 ? 8 x ?0 x ?0 5 x 10 5x g ( x) 7．用对数恒等式求 lim f ( x) 极限2? limx 2 ? ? cost 2 dt0x2? lim2 x ? 2 x cos x 4 x ?0 10x 9例 12：极限 lim[1 ? ln(1 ? x)] xx ?0【说明】 （１）该类问题一般用对数恒等式降低问题的难度 （２）注意 x ? 0 时， ln(1 ? x) ~ x 【解】lim[1 ? ln(1 ? x)] = lim ex ?0 x ?02 x2 ln[1? ln(1? x )] x=ex ?0lim2 ln[1? ln(1? x )] x?ex ?0lim2 ln(1? x ) x? e2.1 例 13：求极限 lim 3 x ?0 x?? 2 ? cos x ? x ? ?? ? ? 1? . 3 ? ?? ? ? ?? 2 ? cos x ? ln ? ? e ?1 3 ? ? lim ? 【解】 原式 ? lim 3 x ?0 x ?0 x2 x cos x ? 1 ln ? （1 ） cos x ? 1 1 3 ? lim ?? ? lim 2 2 x ?0 x ?0 3x 6 x? 2 ? cos x ? x ln ? ? 3 ? ?【又如】limx ?0(1 ? x) ? e xxn21 x8．数列极限转化成函数极限求解1? ? 例 14：极限 lim? n sin ? n?? n? ?4【说明】这是 1 形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若 转化成函数极限，可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。?1? ? 【解】考虑辅助极限 lim ? x sin ? x ? ?? x? ?x2? lim ex ? ??1 ? ? x 2 ? x sin ?1 ? x ? ?? lim e ?y ?0? 1 ?1 ? ? ? sin y ?1 ? y2 ? y ??e?1 61? ? 所以， lim? n sin ? n?? n? ?n2?e?1 69．n 项和数列极限问题 n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算； (2)利用两边夹法则求极限。 例 15：极限 lim?? 1 1 1 ? ??? 2 2 n ??? n2 ? 22 n2 ? n2 ? n ?1? ? ? ?【 说 明 】 用 定 积 分 的 定 义 把 极 限 转 化 为 定 积 分 计 算 , 是 把 f (x) 看 成 ［ 0,1 ］ 定 积 分 。1 1? ?1? ?2? ? n ?? lim ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? ? ? f ( x)dx ? 0 n?? n ? ?n? ? n ?? ? ?n? ? ? 1? 1 1 1 ? ??? 【解】原式＝ lim ? 2 2 2 n ?? n ? ?1? ?2? ?n? 1? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ?n? ?n? ?n? ?? ? ? ? ? ? ???例 16：极限 lim? 【说明】1 01 2 ?1 dx ? ? ln 2 2 ?1 1? x 12? 1 1 1 ? ??? 2 n ??? n2 ? 2 n2 ? n ? n ?1? ? ? ?(1)该题与上一题类似，但是不能凑成 lim1? ?1? ?2? ? n ?? ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? 的形式，因而用两边夹 ? n ? n?? n ?n? ? n ?? ? ? ?法则求解； (2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。 【解】 lim? 因为 又所以? 1 ? 1 1 ? ? ??? ? n ??? n2 ?1 n2 ? 2 n2 ? n ? ? n 1 1 1 ? ? ??? ? 2 2 2 2 n ?n n ?1 n ?2 n ?n n n lim ? lim ?1 n ?? n 2 ? n n ?? n 2 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? ＝１ lim? ? ??? ? 2 ? 2 2 n ?? n ?2 n ?n ? ? n ?1n n ?125例 17：求2 n ? 1 ? ? 2n 2n 2n ? ? lim? ? ?? ? n ??? n ? 1 1 1? n? n? ? ? 2 n? ?【说明】该题需要把两边夹法则与定积分的定义相结合方可解决问题。 【解】1 1 2 n 2 n 1 2 nn 1 n 2n 2n 2n 1 ? (2 ? 2 n ? ? ? 2 n ) ? ? ??? ? (2 n ? 2 n ? ? ? 2 n ) 1 1 n n ?1 n n ?1 n? n? 2 n 1 2 n 1 2 n n 1 n 1 n n n n lim ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? lim (2 ? 2 ? ? ? 2 n ) n?? n ? 1 n n ?? n 1 2x 1 1 ? ? 2 x dx ? |0 ? 0 ln 2 ln 2 2 n ? 1 ? ? 2n n n 2 2 ? ? ?? 1 lim ? ?? ? n ??? n ? 1 1 1 ? ln 2 n? n? ? ? 2 n? ?10．单调有界数列的极限问题 例 18：已知 x1 ? 1 ， xn ? 1 ?xn?1 , n ? 2 ，证明 lim xn 存在，并求该极限 n ?? 1 ? xn?1【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【解】xn?1 ?2 1 ? xn?1 x x xn ? xn?1 1 xn?1 ? xn ? 1 ? n ? 1 ? n?1 ? ? ( xn ? xn?1 )? 1 ? xn 1 ? xn?1 (1 ? xn?1 )(1 ? xn ) 9 1 ? n ?1 ( x 2 ? x1 ) ? 0 9 该数列单调增加有上界，所以 lim xn 存在，设 lim xn ＝Ａ 1 ? xn ? 1 ?n ?? n ??对于 x n ? 1 ? 即 lim xn ＝xn ?1 A 1? 5 , 得Ａ＝ , 令 n ? ? ， A ?!? 1? A 2 1 ? xn ?11? 5 n ?? 2 例 19：设数列 ?xn ? 满足 0 ? x1 ? ? , xn?1 ? sin xn (n ? 1, 2,?)? x ? xn2 （Ⅰ）证明 lim xn 存在，并求该极限； （Ⅱ）计算 lim ? n ?1 ? . n ?? n ?? ? xn ? 【解】 （Ⅰ）因为 0 ? x1 ? ? ，则 0 ? x2 ? sin x1 ? 1 ? ? .可推得 于是10 ? xn?1 ? sin xn ? 1 ? ? , n ? 1, 2,?，则数列 ?xn ? 有界.xn ?1 sin xn sin （因当 x ? 0时， x ? x ） 则有 xn?1 ? xn ，可见数列 ?xn ? 单调减少， ， ? ? 1， xn xn6故由单调减少有下界数列必有极限知极限 lim xn 存在.n ??设 lim xn ? l ，在 xn?1 ? sin xn 两边令 n ?? ，得n ??l ? sin l ，解得 l ? 0 ，即 lim xn ? 0 .n ??（Ⅱ） 因? x ? xn2 ? sin xn ? xn2 ? lim ? n?1 ? ? lim ? ? ，由（Ⅰ）知该极限为1 型， n?? n ?? xn ? xn ? ? ?111? sin x ?1 ? ? 2 3 ?1 ? x2 ? lim ? sin x ? ? lim e x ? x ? lim e x ? e 6 (使用了罗必塔法则) ? ? ? 1 1 x ?0 ? x x ?0 x ?0 ? 1 ? ? xn?1 ? xn2 ? sin xn ? xn2 故 lim ? ? lim ? ?e 6. ? ? n?? n?? ? xn ? ? xn ?1 ?1?sin x ? x 217第二讲 无穷小与函数的连续性教学 目的 通过教学使学生掌握无穷小量及无穷小量，无穷大量的概念。无穷小量与无穷大 量之间的关系，函数的连续性的判定及函数的间断点的求法。重 点 难 点1．用等价无穷小量代换求极限 2．函数的连续性的判 3. 间断点的求法１. 无穷小 如果 lim ? ? 0 ,就说在这个极限过过程中 ? 是无穷小量。教２.无穷大lim ? ? ＋? ，lim ? ? －? ，lim ?｜ ? ，就说在这个极限过过程中 ? 是无穷大量。 ｜ ?３无界量 4.函数的连续性 定义 1 函数 y ? f ?x ? 在点 x0 的某一领域内有定义，如果学lim (1)极限 x ? x f ? x ? 存在；0提(2) lim f ? x ? ? f ? x0 ? 。x ? x0那么就称 y ? f ?x ? 在点 x0 连续。 ５、函数的间断点 第一类间断点 左右极限相等（可去间断点）纲间断点（左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点） 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在8第二讲无穷小与函数的连续性无穷小量、函数的连续性、间断点的判定等问题的实质是极限问题，理解这些问题的概念，熟练 运用求极限的方法是解决这类问题的关键。 １. 无穷小 如果 lim ? ? 0 ,就说在这个极限过过程中 ? 是无穷小量。 【说明】 （1）说一个函数（数列）是无穷小量，必需指明在哪个极限过程中。在这个极限过程中? 是无穷小量，在另一个极限过程中 ? 不一定是无穷小量。 x ? 0 时，sin x 是无穷小量，但 x ? 1时， sin x 不是无穷小量； （2）0 是唯一可作为无穷小的常数； （3） x ? 3x 作为无穷小量（ x ? 0 ） ，主要看低次方项；作为无穷大量（ x ? ? ） ，主要看高2 3次方项； 在同一变化过程中? ? 0 ,就说 ? 是比 ? 高阶的无穷小,记作 ? ? ? ?? ? ; ? ? 如果 lim ? ? ,就说 ? 是比 ? 低阶的无穷小. ? ? 如果 lim ? c ? 0 ,就说 ? 与 ? 是同阶无穷小; ? ? 如果 lim k ? c ? 0, k ? 0 ,就说 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小， ? ? O(? k ) . ? ? 如果 lim ? 1 ,就说 ? 与 ? 是等价无穷小,记作 ? ~ ? . ?如果 lim 例 1：当 x ? 0 时， ? ( x) ? kx 2 与 ? ( x) ? 1 ? x arcsin x ? cos x 是等价无穷小，则求 k.【解】 由题设， lim? ( x) 1 ? x arcsin x ? cos x ? lim x ?0 ? ( x) x ?0 kx 2= limx ?0x arcsin x ? 1 ? cos x kx ( 1 ? x arcsin x ? cos x )2= 得k ?1 x arcsin x ? 1 ? cos x 3 lim ? ? 1， 2 2 k x ?0 4k x3 . 4?例 2： x ? 0 时无穷小量 ? ??x0cost 2 dt, ? ? ? tan t dt, ? ? ? sin t 3 dt ，排列起来，使排在后面0 0x2x的是排在前面的一个的高阶无穷小量。排列顺序是（ a) ? , ? , ? ． b)） d)?,? , ? ．c) ? , ? , ? ．9? , ? ,? ．【说明】 （1）无穷小量的阶主要看它和哪个 x 同阶，然后再 x 阶排定顺序； （2）无穷小量求导数后阶数降低一阶。kk? ?＝ 【解】 ? ?＝cos x (0阶)， ?＝2 x tan x(2阶)， ?21 2 xsin( x ) 3 (1阶) ，应选 Ｂ。例 3：设函数 f (x) 在 x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且 f (0), f ?(0), f ??(0) ? 0 ．证明：存在惟 一的一组实数 a, b, c ，使得当 h ? 0 时，af (h) ? bf (2h) ? cf (3h) ? f (0) ? o(h 2 ) ．【分析】条件告诉我们 lim 因而af (h) ? bf (2h) ? cf (3h) ? f (0) ?0 x ?0 h2f ( x ) 连续lim af (h) ? bf (2h) ? cf (3h) ? f (0)x ?0?lim af (0) ? bf (0) ? cf (0) ? f (0) ? 0x ?0f (0) ? 0, a ? b ? c ? 1 ? 0lim af (h) ? bf (2h) ? cf (3h) ? f (0) 罗 af ?(h) ? 2bf ?(2h) ? 3cf ?(3h) ? lim ?0 2 x ?0 x ?0 2h h同上 af ?(0) ? 2bf ?(0) ? 3cf ?(0) ? 0 ， f ?(0) ? 0, a ? 2bb ? 3c ? 0 。。。。。。。 。。。。。。 【证】略 ２.无穷大lim ? ? ＋? ， lim ? ? －? ， lim ?｜ ? ，就说在这个极限过过程中 ? 是无穷大量。 ｜ ?定理：当自变量在同一变化过程中时，1 为无穷小量。 f ( x) 1 （２）若 f (x) 为无穷小量，且 f ( x) ? 0 ，则 为无穷大量。 f ( x)（１）若 f (x) 为无穷大量，则 【说明】常见无穷大量的阶 　 n ? n ? n ? a (a ? 1) ? n lnk n n(n ? ?)３无界量 如不存在 M ? 0 使，对 ?x ? I ，都有 | f ( x) |? M ，则称 f (x) 在 I 上无界lim f ( x) ? ? ，则 (a ? ? , a) 上无界， lim f ( x ) ? ? ，则 (a,??) 上无界x?a x ? ??例 4： x ? ０时，变量 a)无穷小 4.函数的连续性1 1 sin 是( 2 x xC)b) 无穷大；c)无界，但不是无穷大； d)有界，但不是无穷小．10函数 y ? f ?x ? 在点 x0 的某一领域内有定义，如果lim (1)极限 x ? x f ? x ? 存在；0(2) lim f ? x ? ? f ? x0 ? 。x ? x0那么就称 y ? f ?x ? 在点 x0 连续。 如果函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内每一点都连续,则称 f (x) 在开区间 ( a, b) 内连续;如果函数f (x) 在开区间 (a, b) 内连续,在点 a 右连续,在点 b 左连续,则称函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续。如果 lim f ? x ? ? f ? x0 ? ,就说函数 f ?x ? 在点 ?x ? x0x0 左连续。 x0 右连续。如果 lim f ? x ? ? f ? x0 ? ,就说函数 f ?x ? 在点 ?x ? x0? 1 ? e tan x , x ? 0, ? x ? 在x ? 0连续， (?2) 。 则a= 例５： f ( x) ? ? arcsin 2 ? ?ae2 x , x ? 0, ? 【解】 lim f ?x ? ? －2 ， lim f ?x ? ? a ， a ? ?2 ? ?x ? x0 x ? x0５、函数的间断点 设函数 f ?x ? 在点x0 的某去心领域内有定义.在此前提下,如果函数 f ?x ? 有下列三种情形之一:在 x ? x0 没有定义;虽在 x ? x0 有定义,但 lim f ? x ? 不存在; 虽在 x ? x0 有定义,且 lim f ? x ? 存在,但 lim f ? x ? ? f ? x0 ? ; 则函数 f ?x ? 在点 x0 为不连续,而点 x0 称为函数 f ?x ? 的不连续点或间断点. 间断点 x0 的分类:x ? x0 x ? x0 x ? x0? ? ? ? 可去间断点: f ?x ? ? f ?x ?，(补充定义使之连续) 跳跃间断点: f ?x ? ? f ?x ?， 第二类间断点: 左极限 f ?x ? 及右极限 f ?x ? 至少有一个不存在，? ? 第一类间断点:左极限 f x0 及右极限 f x0 都存在，? 0? 0? 0? 0? 0? 0无穷间断点: lim f ? x ? ? ? ，x ? x0第一类间断点左右极限相等（可去间断点）间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点） 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在） 例 6：求 f ( x) ?ln x x 2 ? 3x ? 2的间断点，并指出它的类型。【分析】由于初等函数在定义域内都是连续的，所以间断点必定是无定义的或分段函数的分点。11【解】 lim f ( x) ? limx ?0 x ?0? ? ， x ? 0 是第二类间断点 x ? 3x ? 2 ln x 1/ x lim f ( x) ? lim 2 ? lim ? ?1， x ? 1 是第一类间断点 x ?1 x ?1 x ? 3 x ? 2 x ?1 2 x ? 3 ln x lim f ( x) ? lim 2 ? ? ， x ? 2 是第二类间断点 x?2 x?2 x ? 3x ? 22xln x? sin t ? sin t ?sin x 例 7： f ( x) ? lim? ，求 f (x) 的间断点，并指出其类型． ? t ? x sin x ? ?【解】 f ( x) ? e? sin t ? x ln? ?1?1? ? sin x ? t ?x sin t ?sin x lim?esin t ?1) sin x t ? x sin t ?sin x x( lim?ecos t x lim sin x t ? x cos t?ex sin xx ? 0 可去间断点， x ? 2k? (k ? 0) 第二类间断点，? ? ln(1 ? ax3 ) ? ? x ? arcsin x 例 8： f ( x ) ? ? 6 ? e ax ? x 2 ? ax ? 1 ? x ? x sin 4 ?【解】x?0 x ? 0 , a =？时, f (x) 在 x=0 点连续，x=0 是可去间断点。 x?0f (0 ? 0) ? lim f ( x) ? lim ? ?x ?0= lim ?x ?01?3ax2 1 1? x2ln(1 ? ax3 ) ax3 ? lim x ?0 x ? arcsin x x ?0 ? x ? arcsin x 2 3ax2 3ax ? ?6a. = lim ? lim ? x ?0 ? 1 ? x 2 ? 1 x ?0 ? 1 x 2 2e ax ? x 2 ? ax ? 1 f (0 ? 0) ? lim f ( x) ? lim x ?0 ? x ?0 ? x x sin 4 ax 2 ax e ? x ? ax ? 1 ae ? 2 x ? a ? 4 lim ? 2a 2 ? 4. = 4 lim 2 ? ? x ?0 x ?0 2x x 2 令 f (0 ? 0) ? f (0 ? 0) ，有 ? 6a ? 2a ? 4 ，得 a ? ?1 或 a ? ?2 . 当 a=-1 时， lim f ( x ) ? 6 ? f (0) ，即 f(x)在 x=0 处连续.x ?0当 a=-2 时， lim f ( x) ? 12 ? f (0) ，因而 x=0 是 f(x)的可去间断点.x ?0例 5：确定 a, b 的值，使得 f ( x) ?ex ? b 有第二类间断点 x ? 0 及可去间断点 x ? 1 。 ( x ? a)(x ? 1)（ x ? 常数 lim e ? b） 0 ， b ? ex ?1ex ? b 【解】 lim f ( x) ? lim ?A x ?1 x ?1 ( x ? a)(x ? 1)lim f ( x) ? limx ?0ex ? e ?? x ?0 ( x ? a)(x ? 1) ，a ? 012第三讲 导数与微分法研究教学 目的 通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌 握导数的各种求导方法。 1．隐函数的导数求法 2．参数方程确定的函数的导数求法 3．形如 y ? f ( x) g ( x ) 的函数的导数求法DD取对数求导法４. 变动上线的积分表示的函数的导数重 点 难 点一、基本概念教1．导数及其变形 2．分段函数的导数通过左右导数来求 ３.导数的几何意义 4.微分的定义二、求导方法学１.求导公式及其应用 ２.复合函数求导法 ３．隐函数的导数求法提4．参数方程确定的函数的导数求法 5．极坐标方程表示的的函数的导数求法 ６．形如 y ? f ( x)g ( x)的函数的导数求法DD取对数求导法７．分段函数的导数 ８．变动上线的积分表示的函数的导数纲13第三讲导数与微分法研究一元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、求驻点、求拐 点、 求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。 重点掌握分段函数的导数、 隐函数的导数、 （极 参数 坐标）方程确定的函数的导数。变动上限的积分表示的函数的导数每年都考。一、基本概念1．导数及其变形f ( x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? lim ? lim x ? x0 ?x ?0 h?0 x ? x0 ?x h 例 1：设 f (x) 在 x0 可导，求 f ( x0 ? 3h) ? f ( x0 ) f ( x 0 ? 2h) ? f ( x 0 ? 2h) (1) lim ， (2) lim h ?0 h ?0 h h 1 1 )] (3) lim n[ f ( x 0 ? ) ? f ( x 0 ? n ?0 n 2n lim2．分段函数的导数通过左右导数来求 例 2：设 f ( x) ?| x ? a | ? ( x), ? ( x) 在 x ? a 连续，文在什么条件下 f (x) 在 x ? a 可导？ 【解】 lim ?x?af ( x) ? f (a ) ? lim? ? ? ( x) ? ?? (a) x?a x?a f ( x) ? f (a) lim ? lim ? ( x) ? ? (a) ? x ?a x ?a ? x?a 当 ? ? (a) ? ? (a) ，即 ? (a) ? 0 时， f (x) 在 x ? a 可导。【讨论】 f ( x) ?| x | ， f ( x) ? x | x | ， f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 1) | x 2 ? 1 | 分别有几个不可导点。 例 3：已知函数 f ( x) ? ?? x2x ?1?ax ? b x ? 1处处可导，试确定 a、 b 的值。【解】(1)欲使 f (x) 在 x ? 1 处可导，必先在 x ? 1 处连续， 故有 lim f ( x) ? lim f ( x) ? f (1) ，即 a ? b ? 1 ? ?x ?1 x ?1（2）又 f (x) 在 x ? 1 处的左、右导数分别为(1 ? ?x) 2 ? 1 ?2 ?x?0 ?x ， a (1 ? ?x) ? b ? 1 a?x f ?? (1) ? lim? ? lim? ?a ?x?0 ?x?0 ?x ?x ， 故 a ? 2 ，从而 b ? ?1 ，所以，当 a ? 2 ， b ? ?1 时 f (x) 处处可导。 f ?? (1) ? lim?３.导数的几何意义 设函数 y ? f (x) 在点 x0 的导数存在， f ' ( x0 ) ， 为 则导数值为函数 y ? f (x) 上一点 x0 ，f ( x0 ) ） （y 处的切线的斜率。 此时， 切线方程为： ? y0 ? f ' ( x0 )(x ? x0 ) ； 法线方程为： ? y0 ? ? y2 例 4：求 y ? x 的切线方程，使此切线与直线 y ? x ? 1 的斜率相同。1 ( x ? x0 ) 。 f '( x0 )【解】设切点为（ x0 ， y0 ） ，则有： y0 ? x0 ，214由已知，切线斜率与 y ? x ? 1 相同，则 y ' | x0 ? 1，1 1 ，? y 0 ? 2 4 1 1 1 切线方程为： y ? ? x ? 即y ? x? 。 4 2 4 4 例 5：函数 y ? f (x) 由方程 xy ? 2 ln x ? y 确定，求 y ? f (x) 在 (1,1) 处的切线方程。 【解】略可解得： x 0 ? 4.微分的定义 设 函 数 y ? f ?x ? 在 某 区 间 内 有 定 义 ， x0 及 x0 ? ?x 在 这 区 间 内 ， 如 果 因 变 量 的 增 量?y ? f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ? 可表示为 ?y ? A?x ? 0??x ?，其中 A 是不依赖于 ?x 的常数，而 0??x? 是 ?x ? 0 时比 ?x 高阶的无穷小， 那么称函数 y ? f ?x ? 在点 x 是可微的。 A?x 叫做函数 y ? f ?x ? 在 而0点x0 相应于自变量增量 ?x 的微分，记作 dy 。即 dy ? A?x 。二、求导方法１.求导公式及其应用(略)２.复合函数求导法（略）３．隐函数的导数求法1 d2y x ? y ? sin y ? 0 所确定的隐函数 y ? f ?x ? 的二阶导数 2 例 6：求由方程 2 dx y? cos y ? 0 ?????????? （*） 【解】两边对 x 求导得： 1 ? y ? ? 2 ? ? 2 sin y ? y ? 2 d2y d ? 2 ? 4 sin y ?? ?y 由此得 ? ? ? 2 2 ? 2 ? cos y ? ? ? 2 ? cos y dx ? dx ?2 ? cos y ?3 ? ?2 ? cos y ? 1 ? y ?? ? ? y ?? cos y ? y ? sin y ? y ?? ? 0 2 方 法 二 ： 对 （ * ） 式 再 两 端 求 导 得 ：? ? 2 1 ?? ? y 2 sin y ? 2 ? cos y ? sin y ? 2 ? y ? sin y ? 4 sin y ? ? ?? ? 2 ?y ? ? ? 1 2 ? cos y 2 ? cos y ?2 ? cos y ?3 1 ? cos y 24．参数方程确定的函数的导数求法 （1）若参数方程 ?2? x ? ? ?t ? 确定 x 与 y 之间函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数。 ? y ? ? ?t ?dy d 2 y d dx ? dx dx2（2）计算导数的方法dy ? ??t ?dt ? ??t ? ? ? ， dx ? ??t ?dt ? ??t ?例 7:函数 y ? f (x) 由参数方程 ?? x ? t sin udu ? ? ? y ? sin t ?a确定，求dy d2y ， dx dx 2【解】 ?? ?dx ? sin tdt dy ? costdtdy ? cot t dx15dy d ( ) ? ? csc 2 tdt dx例 8:函数 y ? f (x) 由方程 ? 【解】略d2y 1 ?? 3 2 dx sin t?x ? t 2 ? 2t 2 ?t ? y ? sin y ? 1确定，求d2y dx 25．极坐标方程表示的的函数的导数求法 设极坐标方程为 ?＝? (? ) ，化为直角坐标 ?? x ? ? (? ) cos? ，进一步转化为直角坐标求解。 ? y ? ? (? ) sin ?dy dx2? 例 9: 函数 y ? f (x) 的极坐标方程为 ?＝e ，求? x ? e 2? cos? 【解】 ? 2? ? y ? e sin ??dx ? e 2? (2 cos? ? sin ? )d? ? 2? ?dy ? e (2 sin ? ? cos? )d?dy 2 cos ? ? sin ? ? dx 2 sin ? ? cos ?６．形如 y ? f ( x) g ( x ) 的函数的导数求法DD取对数求导法dy dx 【解】 ln y＝cos x ln(sin x ? 1)例 10: y＝(sin x ? 1) cos x ，求 方程两边关于 x 求导1 cos2 x y ?＝ ? sin x ln(sin x ? 1) ? y sin x ? 1 ? cos 2 x ? y ?＝(sin x ? 1) cos x ?? sin x ln(sin x ? 1) ? ? sin x ? 1? ?7．分段函数的导数 分段函数的导数在分段点通过左右倒数来讨论。? g ( x) ? e ? x ? x ? 0 ， g (x) 有二解连续的导数， g (0) ? 1, g ?(0) ? ?1, 求 f ?(x) 例 11:设 f ( x) ? ? x ?0 x?0 ? 【解】 当 x ? 0 时 [ g ?( x) ? e ? x ]x ? g ( x) ? e ? x f ?( x) ? x2 当 x ? 0时 g ( x) ? e ? x g ?( x) ? e ? x g ??( x) ? e ? x g ??(0) ? 1 f (0) ? lim ? lim ? lim ? x ?0 x ?0 x ?0 2x 2 2 x28.变动上线的积分表示的函数的导数f (x) 连续，若 F ( x) ? ? f (t )dt ，则 F ?( x) ? f ( x)ax16例 12：求导数d x t x ?a cos( 2t )e dt ? cos( 2 x)e dx d 3 cos( 2t )e t dt ? ?2 cos( 4 x)e 2 x （2） dx ?2 x d x2 t 2 x2 2x （3） ?2 x cos( 2t )e dt ? 2 x cos( x )e ? 2 cos( 2 x)e dx x d x d d x t x x cos( 2t )e t dt ? [ x ? x cos( 2t )e t dt ] ? （4） ?a ?a cos( 2t )e dt ? x cos( 2 x)e a dx dx dx 1 d f (tx)dt （5） f ( x)是连续函数，求 dx ?0 1 1 x 令y ? tx, 则? f (tx)dt ? ? f ( y )dy 0 x 0 d 1 1 x 1 所以， ?0 f (tx)dt ? ? x 2 ?0 f ( y)dy ? x f ( x) dx（1） 例 13：设 f (x) 可导， f ?( x) ? xf ?( x ? 1) ? 4 ，并且?1 0f ( xt)dt ? ? f (t ? 1)dt0x? x3 ? x 2 ? 2 x【解】 令y ? tx, 则 代入 得求 f (x)?10f (tx)dt ?x1 x f ( y )dy x ?0? ?1 0 x 0f ( xt)dt ? ? f (t ? 1)dt ? x3 ? x 2 ? 2 x0f (t )dt ? x ? f (t ? 1)dt ? x 4 ? x 3 ? 2x 20x两边两次求导f ( x ? 1) ? 6 x 2 ? 3x f ( x) ? 6 x 2 ? 15x ? 9? 例 14：设函数 f(x)连续，且 f (0) ? 0 ，求极限 limx ?0x0( x ? t ) f (t )dtxx ? f ( x ? t )dt0.【解】 由于?x0f ( x ? t )dt ?x ?t ?u 0?xf (u)(?du) ? ? f (u)du ,于是0x x 0 0xlimx ?0?x0( x ? t ) f (t )dtx 0x ? f ( x ? t )dtx? limx ?0x ? f (t )dt ? ? tf (t )dt x ? f (u )du0 x? = limx ?00f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x)?x0f (u )du ? xf ( x)= limx ?0? ?x 0x0f (t )dt=f (u )du ? xf ( x)xf (?１) . x ?0 xf (? ) ? xf (0) ２ lin=f (0) 1 ? . f (0) ? f (0) 217第四讲 微积分中存在性问题的证明方法教学 目的 通过教学使学生掌握微积分中存在性问题证明的一般方法，熟练掌握用介 值定理或根的存在性定理证明存在性问题；用中值定理证明存在性问题；用泰 勒公式证明存在性问题 1．用介值定理或根的存在性定理证明存在性问题 2．用中值定理证明存在性问题 3．用泰勒公式证明存在性问题重 点 难 点教1．基本结论 (1)有界性；最值性；零点定理；介值性定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西 中值定理 2．证明思路 (1)设 f (x) 在[a,b]上连续，条件中不涉及到导数或可微，证明存在 ? ? [a, b] ，使得f ( x) ? c ，一般用介值定理或根的存在性定理。(2) 设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在 ? ? (a, b) ，使得结论中包含 ? 和 一阶导数的等式成立，一般用中值定理。 (3) 设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)上二阶可微，证明存在 ? ? (a, b) ，使得结论中包含学提? 和二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。(4)设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)上三次（或以上）可导，证明存在 ? ? (a, b) ，使得 结论中包含 ? 和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。纲(5) 条 件 中 包 含 f (c) ??b af ( x)dx 时 ， 要 首 先 使 用 积 分 中 值 定 理 处 理 ， 得 到f (c) ? f (? ) ，作为其他证明的条件。3.存在性证明中辅助函数的构造方法18第四讲微积分中存在性问题的证明方法微积分中存在性问题的证明问题涉及闭区间上连续函数的性质、微分中值定理、积分中值定理和 泰勒公式，是历年考试的重点，一定熟练掌握。这一问题的突破点是选择正确的解题思路并合理构造 辅助函数，有时辅助函数需要借助微分方程来寻找寻找。 1．基本结论 (1)有界性：若 f ( x) ? C[a, b] ? ?M ? 0, ?x ?[a, b], f ( x) ? M 。 (2)最值性：若 f ( x) ? C[a, b] ，则 f ( x ) 在 [ a, b] 能取到最大值和最小值。 (3)零点定理： f ( x) ? C[a, b] ， f (a) f (b) ? 0 ， 若 且 则在 ( a, b) 内至少存在一点 c ， f (c) ? 0 。 使 (4) 介 值 性 ： 若 f ( x) ? C[a, b] ， M , m 分 别 是 f ( x ) 在 [ a, b] 上 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 则?? ? [m, M ] ，在 [a, b] 至少存在一点 c ，使 f (c) ? ? 。(5)罗尔定理 如果函数 f (x) 满足： （1）在闭区间 [a, b] 上连续? （2）在开区间 ( a, b) 内可导? （3） 在区间端点处的函数值相等，即 在该点的导数等于零，即f (a) ? f (b) ? 那么在 (a, b) 内至少在一点 ? (a ? ? ? b) ? 使得函数 f (x)f ' (? ) ? 0 ?(6)拉格朗日中值定理 如果函数 f (x) 满足（1）在闭区间 [a, b] 上连续? （2）在开区间 ( a, b) 内可 导? 那么在 ( a, b) 内至少有一点 ? (a ? ? ? b) ? 使得等式f (b) ? f (a) ? f ' (? )(b ? a)(7)柯西中值定理 如果函数 f (x) 及 F (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续,在开区间 (a, b) 内可导,且 F ( x) 在'(a, b) 内每一点均不为零，那末在 (a, b) 内至少有一点 ? (a ? ? ? b) ,使等式2．证明思路f (b) ? f (a) f ' (? ) 成立 ? F (b) ? F (a) F ' (? )(1)设 f (x) 在[a,b]上连续，条件中不涉及到导数或可微，证明存在 ? ? [a, b] ，使得 f ( x) ? c ，一 般用介值定理或根的存在性定理。 (2) 设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在 ? ? (a, b) ，使得结论中包含 ? 和一阶导数的 等式成立，一般用中值定理。 (3) 设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)上二阶可微，证明存在 ? ? (a, b) ，使得结论中包含 ? 和二阶导 数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。 (4)设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)上三次（或以上）可导，证明存在 ? ? (a, b) ，使得结论中包含 ? 和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。 (5)条件中包含 f (c) ? 他证明的条件。?b af ( x)dx 时，要首先使用积分中值定理处理，得到 f (c) ? f (? ) ，作为其193.存在性证明中辅助函数的构造方法 存在性证明中成功构造辅助函数是解题的关键。辅助函数大多来源于结论，从对结论的分析中得出辅 助函数。 例 1、设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) ? f (2a) ，证明在[0,a]上存在 ? 使得f (a ? ? ) ? f (? ) .【分析】 f (a ? ? ) ? f (? ) ? f (a ? ? ) ? f (? ) ? 0 ? f (a ? x) ? f ( x) ? 0 【证明】令 G( x) ? f (a ? x) ? f ( x) ， x ? [0, a] ． G (x) 在[0,a]上连续，且G(a) ? f (2a) ? f (a) ? f (0) ? f (a) G(0) ? f (a) ? f (0)当 f (a) ? f (0) 时，取 ? ? 0 ，即有 f (a ? ? ) ? f (? ) ； 当 f (a) ? f (0) 时， G(0)G(a) ? 0 ，由根的存在性定理知存在 ? ? (0, a) 使得， G (? ) ? 0 ，即f (a ? ? ) ? f (? ) ．例 2 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ? ? (0,3) ， 使 f ?(? ) ? 0. 【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点 c ? [0,3) ，使得 f (c) ? 1 ? f (3) ，然后在[c,3]上应用 罗尔定理即可. 条件 f(0)+f(1)+f(2)=3 等价于 之间，最终用介值定理可以达到目的. 【证明】 因为 f(x)在[0，3]上连续，所以 f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值 M 和最小值 m，于是f (0) ? f (1) ? f (2) ? 1 ，问题转化为 1 介于 f(x)的最值 3m ? f (0) ? M ， m ? f (1) ? M ， m ? f (2) ? M .故m ?f (0) ? f (1) ? f (2) ? M. 3由介值定理知，至少存在一点 c ? [0,2] ，使f (c ) ?f (0) ? f (1) ? f (2) ? 1. 3因 为 f(c)=1=f(3), 且 f(x) 在 [c,3] 上 连 续 ， 在 (c,3) 内 可 导 ， 所 以 由 罗 尔 定 理 知 ， 必 存 在20? ? (c,3) ? (0,3) ，使 f ?(? ) ? 0.例 3、设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， f (1) ? 0 ，证明：在(0,1)内存在 ? ，使得f ?(? ) ? ?f (? )?． 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：f ?(? ) ? ?f (? )?? ? f (? ) ? ?f ?(? ) ? 0 ? f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ? ?xf ( x) ? ? 0【证明】令 G( x) ? xf ( x) ，则 G (x) 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且G(0) ? 0 f (0) ? 0, G(1) ? 1 f (1) ? 0 , G?( x) ? f ( x) ? xf ?( x)由罗尔中值定理知，存在 ? ? (0,1) ，使得 G?(? ) ? f (? ) ? ?f ?(? ) ．即 f ?(? ) ? ?f (? )?例 4 设函数 f (x) 在［0，1］上连续， （0，1）内可导，且 f (1) ? k 证明： ? ? ? (0,1)，使f ?(? ) ? (1 ? ? ?1 ) f (? ) 【分析】本题的难点是构造辅助函数， （k ? 1） ．?1 k 0xe1? x f ( x)dxf ?(? ) ? (1 ? ? ?1 ) f (? )xf ?( x) ? f ( x) ? xf ( x)令 g ( x) ? xe? x f ( x) 【证明】略?f ?(? ) ? (? ? 1) f (? )[ xf ( x)]? ? xf ( x)?f ?(? ) ? f (? ) ? ?f (? )xe? x f ( x) ? 1xf ( x) ? e xf (1) ? ?e1?? f (? )g (1) ? g (? )例 5 设函数 f (x) 在［0，1］上连续， （0，1）内可导，且 f (0) ? f (1) ? 0, f ( 1 ) ? 1 2 证明：(1) ? ? ? ( 1 ,1)，使f (? ) ? ? 2 (2)对于任意实数 ? ， ? ? ? (0,? )，使f ?(? ) ? ? ( f (? ) ? ? ) ? 1 【分析】本题的难点是构造辅助函数，f ?(? ) ? ? ( f (? ) ? ? ) ? 1 f ?( x) ? ?f ( x) ? 1 ? ?xf ?(? ) ? ?f (? ) ? ? ? 1 ?f ?( x) ? ?f ( x) ? ?x ? 1 ? 0f ( x) ? e ??dx?C ? (1 ? ?x)e ? ??dx dx? ? Ce ?x ? x ? ? ? ? ?21[ f ( x) ? x]e ??x ? C令 g ( x) ? e ??x [ f ( x) ? x]例 6、设函数 f (x) 在［0，1］上连续， （0，1）内可导，且 f (0) ? 0, ?x ? (0,1), f ( x) ? 0 证明： ? ? ? (0,1)，使nf ?(? ) f ?(1 ? ? ) ? f (? ) f (1 ? ? )（ n 为自然数） ．【分析】本题构造辅助函数的难度大于上一题，需要积分（即解微分方程）方可得到：nf ?(? ) f ?(1 ? ? ) nf ?() f ?(1 ? x) nf ?( x) f ?(1 ? x) ? ? ? ?? dx ? ? dx f (? ) f (1 ? ? ) f ( x) f (1 ? x) f ( x) f (1 ? x) ? n? 1 1 df ( x) ? ?? df ?(1 ? x) ? ln f n ( x) ? ? ln f (1 ? x) f ( x) f (1 ? x)?? f n ( x) f (1 ? x) ? 1【证明】令 G( x) ? f n ( x) f (1 ? x) ，则 G (x) 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 G(0) ? G(1) ? 0 ，? ? ? (0,1)，使 G?(? ) ? 0 ，即nf n?1 (? ) f ?( x) f (1 ? ? ) ? f n (? ) f ?(1 ? ? ) ? 0又 f ( x) ? 0 ，约去 fn?1，( x) ，整理得证．例 7、设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， f (0) ? 0 ， f (1) ? 1 .证明： (1)在(0,1)内存在 ? ，使得 f (? ) ? 1 ? ? ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点 ? ，?使得f / (? ) f / (? ) ? 1 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗 日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论. 【证明】 （I） 令 F ( x) ? f ( x) ? 1 ? x ，则 F(x)在[0，1]上连续，且 F(0)=-1&0, F(1)=1&0,于是由介值 定理知，存在存在 ? ? (0,1), 使得 F (? ) ? 0 ，即 f (? ) ? 1 ? ? . （ II ） 在 [0, ? ] 和 [? ,1] 上 对 f(x) 分 别 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 知 存 在 两 个 不 同 的 点? ? (0, ? ),? ? (? ,1) ，使得 f ?(? ) ?f (? ) ? f (0) f (1) ? f (? ) ， f ?(? ) ? ? ?0 1??22于是f ?(? ) f ?(? ) ?f (? ) 1 ? f (? ) 1 ? ? ? ? ? ? ? 1. ? 1? ? ? 1??类似地还有 例 8 、 设 函 数 f (x) 在 [a,b] 上 连 续 ， 在 (a,b) 上 可 导 ， 证 明 ： 在 (a,b) 内 存 在 ? , ? 使 得f / (? ) ?a?b / f (? ) ． 2?例 9：设函数 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)上可导， f (a) ? f (b) ? 1 证明：在(a,b)内存在 ? ,? 使得 e? ?? [ f / (? ) ? f (? )] ? 1 ． 例 10：设函数 f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在 ? ? (a, b) ，使得 f ??(? ) ? g ??(? ). 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ， 则问题转化为证明 F ??(? ) ? 0 , 只需对 F ?( x) 用罗尔定理， 关键是找到 F ?( x) 的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用 F(a)=F(b)=0, 若能再找一点c ? (a, b) ，使得 F (c) ? 0 ，则在区间 [a, c],[c, b] 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 F ?( x) 用罗尔定理即可。 【证明】构造辅助函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ，由题设有 F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在(a, b)内具有相等 的最大值, 不妨设存在 x 1 ? x 2 , x1 , x 2 ? (a, b) 使得f ( x1 ) ? M ? max f ( x), g ( x2 ) ? M ? max g ( x) ，[ a ,b ] [ a ,b ]若 x 1 ? x 2 ，令 c ? x1 , 则 F (c) ? 0. 若 x 1 ? x 2 ，因 F ( x1 ) ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? 0, F ( x2 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? 0 ，从而存在c ?[ x1, x2 ] ? (a, b) ，使 F (c) ? 0.在 区 间 [a, c],[c, b] 上 分 别 利 用 罗 尔 定 理 知 ， 存 在?1 ? (a, c), ?2 ? (c, b) ， 使 得F ?(?1 ) ? F ?(?2 ) ? 0 . 再对 F ?( x) 在区间 [?1 , ?2 ] 上应用罗尔定理，知存在 ? ? (?1 , ?2 ) ? (a, b) ，有F ??(? ) ? 0 ， 即 f ??(? ) ? g ??(? ).23第五讲 微积分中不等式的证明方法讨论教学 目的 通过教学使学生掌握利用函数的单调性证明不等式；利用拉格朗日中值定 理证明不等式；利用函数的最值证明不等式；利用泰勒公式证明不等式；积分 表示的不等式的证明 1．利用函数的单调性证明不等式 2．利用泰勒公式证明不等式 3．积分表示的不等式的证明重 点 难 点1.利用函数的单调性证明不等式 教 若在 (a, b) 上总有 f ?( x) ? 0 ，则 f (x) 在 (a, b) 单调增加；若在 (a, b) 上总有f ?( x) ? 0 ，则 f (x) 在 (a, b) 单调减少。2.利用拉格朗日中值定理证明不等式 对于不等式中含有 f (b) ? f (a)的因子, 可考虑用拉格朗日中值定理先处理 学 以下。 3.利用函数的最值证明不等式 提 令 f ( x)在区间 b, a] 上连续，则 f ( x)在区间 b, a] 存在最大值 M 和最小值 m ， [ [ 那么： m ? f ( x) ? M 4.利用泰勒公式证明不等式 如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰 纲 勒公式证明不等式。 5.积分表示的不等式的证明24第五讲微积分中不等式的证明方法讨论不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。利用函数的单调性证明不等式是不等式 证明的基本方法，有时需要两次甚至三次连续使用该方法。其他方法可作为该方法的补充，辅助函数 的构造仍是解决问题的关键。 1.利用函数的单调性证明不等式 若在 ( a, b) 上总有 f ?( x) ? 0 ，则 f (x) 在 ( a, b) 单调增加；若在 ( a, b) 上总有 f ?( x) ? 0 ，则 f (x) 在 ( a, b) 单调减少。 【评注】构造恰当的辅助函数是解决问题的基础，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有 时需要对 ( a, b) 进行分割，分别在小区间上讨论。 例１：证明：当 0 ? a ? b ? ? 时，b sin b ? 2cos b ? ? b ? a sin a ? 2cos a ? ? a .【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【解】 令f ( x) ? x sin x ? 2cos x ? ? x ? a sin a ? 2cos a ? ? a,0 ? a ? x ? b ? ? ，则 f ?( x) ? sin x ? x cos x ? 2sin x ? ? ? x cos x ? sin x ? ? ，且 f ?(? ) ? 0 . 又 f ??( x) ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x ? 0 ， 0 ? x ? ? 时, x sin x ? 0 ） （ ， 故 当 0 ? a ? x ? b ? ? 时 ， f ?( x ) 单 调 减 少， 即 f ?( x) ? f ?(? ) ? 0 ， 则 f ( x ) 单 调 增 加， 于是f (b) ? f (a) ? 0 ，即b sin b ? 2cos b ? ? b ? a sin a ? 2cos a ? ? a .【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0” ，另一端即 为所作辅助函数 f ( x ) ，然后求导验证 f ( x ) 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值） 。2 例 2：设 e ? a ? b ? e , 证明 ln b ? ln a ?2 24 (b ? a ) . e2【分析】即证 ln b ?24 4 b ? ln 2 a ? 2 a 2 e e 4 ln x 4 2 ? 2 ， 【证明】设 ? ( x) ? ln x ? 2 x ， 则 ? ?( x) ? 2 x e e 1 ? ln x ? ??( x) ? 2 , x2所以当 x&e 时， ? ??( x) ? 0, 故 ? ?(x ) 单调减少，从而当 e ? x ? e 时，2? ?( x) ? ? ?(e 2 ) ?4 4 ? 2 ?0， 2 e e25即当 e ? x ? e 时， ? (x) 单调增加.2因此当 e ? a ? b ? e 时， ? (b) ? ? (a) ，2即 故4 4 b ? ln 2 a ? 2 a ， 2 e e 4 ln 2 b ? ln 2 a ? 2 (b ? a ) . e ln 2 b ?2 2【评注】 本题也可设辅助函数为 ? ( x) ? ln x ? ln a ? 例 3：证明不等式： ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 ( x ? 0)4 ( x ? a), e ? a ? x ? e 2 ，请自己证明。 2 e【分析】当 x ? 1 时，两端都等于 0，等号成立；应分 0 ? x ? 1及1 ? x ? ? 两种情况讨论。 即证： （1） x ? 1, ( x ? 1) ln x ? x ? 1 （2） x ? 1, ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 （3） x ? 1, ( x ? 1) ln x ? x ? 1 下面的证明就简单了。 例 4：设 b ? a ? e ，证明： lnb 2(b ? a ) ? a a?b【分析】该题的关键是设辅助函数，由多种设法 （1） f ( x) ? lnx 2( x ? a) ? , b?a?e a a?x（2） f ( x) ? (a ? b)(ln x ? ln a) ? 2( x ? a) ， b ? a ? e 当然，第二种设法更简单 例 5：设 x ? 0, a ? e ，证明 a a? x ? (a ? x) a 【分析】辅助函数也有多种设法 （1） f ( x) ? a a? x ? (a ? x) a ， x ? 0, a ? e （2） f ( x) ? (a ? x) ln a ? a ln(a ? x) ， x ? 0, a ? e （3） f ( y) ? y ln a ? a ln y ， y ? a ? e 当然，第三种设法更简单。 【练习】设 b ? a ? 0 ，证明不等式2a ln b ? ln a 1 ? ? 2 b?a a ?b ab22.利用拉格朗日中值定理证明不等式26对于不等式中含有 f (b) ? f (a)的因子, 可考虑用拉格朗日中值定理先处理以下。a ?b a a ?b ? ln ? a b b 1 ln a ? ln b 1 ? 【分析】即证： ? a a?b b例 6：证明：当 0&b&a 时， 【证明】令 f ( x) ? ln x,x ? [b, a] ，在 [b, a ] 上使用拉格朗日中值定理，知存在? ? (b, a)，使ln a ? ln b 1 ? f ?(? ) ? a ?b ?1 ln a ? ln b 1 1 1 1 ? ? ? ，即 ? ，变形得证。 a a?b b a ? b2 2b ? ? ? a, 所以2 例 7：设 e ? a ? b ? e , 证明 ln b ? ln a ?4 (b ? a ) e2【证明】 对函数 f ( x) ? ln 2 x 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得ln 2 b ? ln 2 a ?2 ln ???(b ? a), a ? ? ? b.下面证明 设 ? (t ) ?2 ln ??4 , a ? ? ? b. e2ln t 1 ? ln t ，则 ? ?(t ) ? ， t t2当 t&e 时， ? ?(t ) ? 0, 所以 ? (t ) 单调减少，从而 ? (? ) ? ? (e 2 ) ，即ln ?ln e 2 2 ? 2 ? 2， ? e e2故 ln b ? ln a ?24 (b ? a ) . e2例 8：设 0 ? a ? b ，则2a ln b ? ln a 1 ? ? 2 b?a a ?b ab2【提示】证明ln b ? ln a 1 a ? ? a (ln x ? ln a) ，可构造 f ( x) ? x ? b?a ab x3.利用函数的最值证明不等式[ [ 令 f ( x)在区间 b, a] 上连续，则 f ( x)在区间 b, a] 存在最大值 M 和最小值 m ，那么：m ? f ( x) ? M27例 9：设 1 ? x ? 1 , 证明1 2p ?1? x p ? (1 ? x) p ? 1,( p ? 1)证明：令 f ( x) ? x p ? (1 ? p) p ,x ? [0,1]，由 f ?( x) ? px p?1 ? p(1 ? x) p?1 ? 0 得 x p ?1 ? (1 ? x) p ?1 ，球的惟一的驻点 x ?1 ， 2f (0) ? f (1) ? 1, f ( 1 ) ? 2所以：1 2p ?1，1 2 p ?1和 1 是 f (x) 在[0，1]上的最小值和最大值。1 2p ?1? x p ? (1 ? x) p ? 1,４..利用函数的凹凸性证明不等式（ （1）在 a, b） 上，若 f ??( x) ? 0 ，则 y ? f (x) 的图像是凹的，弦在图像的上方； （ （２）在 a, b） 上，若 f ??( x)＜0 ，则 y ? f (x) 的图像是凸的，弦在图像的下方；例 10: 设 0 ? x ? y ??2, 证明 tan x ? tan y ? 2 tan解： f ( x) ? tan x, 0 ? x ??2x? y 22 1 x? y ) 得证 所以 y ? f (x) 的图像是凹的， [ f ( x) ? f ( y )] ? f ( 2 2５.利用泰勒公式证明不等式（见第七讲）f ??( x) ? sec 2 x tan x ? 0, 0 ? x ??28第六讲 中值定理的其它应用教学 目的（1） 正确理解函数在指定区间上单调性的判定法。 （2） 会球函数的极值与最值。 （3） 掌握用定义及二阶导数判定函数图形的凹凸性并求出拐点。 会求曲线的水平与垂直渐进线重 点 难 点重点：函数单调性的判定，曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定 难点：函数单调性的判定，曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定1.函数单调性的判定 2.一元函数的极值教（１）极值是函数的局部概念 （２）极值点在驻点及不可导点取得 （３）极值点的判别法 3..曲线的凹凸性与拐点学曲线的凹凸性与其二阶导数的符号之间的关系。 设 f ( x ) 在 ? a, b? 上连续，在 ? a, b ? 内具有一阶和二阶导数，那么 (1) 若在 ? a, b ? 内 f ??( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 ? a, b? 上的图形是凹的； (2) 若在 ? a, b ? 内 f ??( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 ? a, b? 上的图形是凸的; (3) （拐点）曲线的凹，凸的分界点称为拐点。 ４.函数的最值提纲假定 f ( x) 在 ? a, b? 上连续，在开区间 ? a, b ? 内可导，且至多存在有限个点处的导数为 零或不存在的情况下讨论函数 f ( x) 在 ? a, b? 上最大值和最小值的求法 ５.函数的渐近线29第六讲中值定理的其它应用中值定理用于求函数的增减区间、判定函数的增减性、求函数的凹凸区间，求函数的拐点、 求函数的极值与最值、求函数的渐近线等。 1.函数单调性的判定 函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上连续，在 ? a, b ? 内可导。 (1)如果 ? a, b ? 内 f ?( x ) ＞0，那么函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上单调增加； (2)如果 ? a, b ? 内 f ?( x ) ＜0，那么函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上单调减少。 2.一元函数的极值 （１）极值是函数的局部概念 （２）极值点在驻点及不可导点取得 （３）极值点的判别法 第一充分条件：设函数 f ( x ) 在 x0 处连续， 若 x ? ? x0 ? ? , x0 ? 时， f ?( x) ? 0 ，而 x ? ? x0 , x0 ? ? ? 时， f ?( x) ? 0 ，则 f ( x ) 在 x0 处取 得极大值； 若 x ? ? x0 ? ? , x0 ? 时， f ?( x) ? 0 ，而 x ? ? x0 , x0 ? ? ? 时， f ?( x) ? 0 ，则 f ( x ) 第二充分条件：设函数 f ( x) 在 x0 处具有二阶导数且 f ?( x0 ) ? 0 , f ??( x0 ) ? 0 当 f ??( x0 ) ? 0 时，函数 f ( x) 在 x0 处取得极大值；当 f ??( x0 ) ? 0 时，函数 f ( x) 在 x0 处 取得极小值。 求函数 f ( x ) 的极值的步骤 （1）求出导数 f ?( x ) ； （2）求出 f ( x ) 的全部驻点以及使得导数不存在的点 （3）用第一充分判别法考察这些点是否为极值点，如果是，再判断类型。 例 1：.求函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? 1 的极值 【解】 f ?( x) ? 6 x( x ?1)2 2x0 处取得极小值；??3由 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 的驻点为 x ? ?1, x ? 0, x ? 1f ??( x) ? 6( x2 ?1)(5x2 ?1)f ??(0) ? 6 ? 0, f ??(?1) ? f ??(1) ? 0∴ f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值 f (0) ? 030在 x ? ?1, x ? 1 由第二充分判别法无法判定(??, ?1)f ?( x ) 的符号 f ( x) 的单调性(?1, 0)(0,1)(1, ??)????????由第一充分判别法 f ( x ) 在 x ? ?1, x ? 1 处都没有极值。 例２：求函数 f ( x) ? 【解】 f ?( x) ? 2 x?x212( x 2 ? t )e ?t dt 的单调区间与极值。2?x21e ?t dt =0驻点为 x ? 0, x ? ?1, x ? 1f ??( x) ? 2? e ?t dt ? 4x 2 e ? x2x221f ??(0) ? 0 ， f ??(?1) ? 0x ? 0 是极大值点， x ? ?1, x ? 1是极小值点，极大值为1 (1 ? e ?1 ) 2，是极小值为０单增区间 (??,?1), (0,1) ；单减区间 (?1,0), (1,??) 例３：设函数 f(x)在 (??,??) 内连续，其导函数的图形如图所示，判断 f(x)有的极值。 yO 【解】略 3..曲线的凹凸性与拐点x曲线的凹凸性与其二阶导数的符号之间的关系。 设 f ( x ) 在 ? a, b? 上连续，在 ? a, b ? 内具有一阶和二阶导数，那么 （１）若在 ? a, b ? 内 f ??( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 ? a, b? 上的图形是凹的； （２）若在 ? a, b ? 内 f ??( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 ? a, b? 上的图形是凸的;31（３） （拐点）曲线的凹，凸的分界点称为拐点。拐点必定在二阶导数等于 0 及不可导点取 ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 得。 ．． 例 3：求曲线 y ? 3x4 ? 4x3 ? 1 的拐点及凹、凸的区间 【解】函数的定义域为 (??, ??)y? ? 12 x3 ?12 x22 y?? ? 36 x 2 ? 24 x ? 36 x( x ? ) ? 0 3 2 解这个方程的 x1 ? 0 x2 ? 3? ??,0?y?? 的符号y 的凹凸性所以点 ? 0,1? ４.函数的最值 + 凹? 2? ? 0, ? ? 3?凸?2 ? ? , ?? ? ?3 ?+ 凹? 2 11 ? ? , ? 是曲线的拐点。 ? 3 27 ?(1)最值必在驻点、不可导点和端点取得； (2)最值反映了函数的整体性质；f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn ) 的大小，其中最小的是 ? a, b? 上的最小值，最大的是 ? a, b?上的最大值。 例４.求函数 f ( x) ? x ? 1 ? x 【解】 f ?( x) ? 1 ? （ ?5 ≤ x ≤ 1 ）的最值。(3) 最 值 的 求 法 ： 设 f ( x) 在 ? a, b ? 内 的 驻 点 及 不 可 导 点 为 x1 , x2 ,? xn ， 比 较3 2 ，由 f ?( x) ? 0 解得 x ? ，比较 4 2 1? x 3 5 f (?5) ? 6 ? 5, f ( ) ? , f (1) ? 1 ，得到在 ??5,1? 上， f ( x) 的最小值为 4 4 3 5 最大值为 f ( ) ? 。 f (?5) ? 6 ? 5 ， 4 4５.函数的渐近线x ? x0lim f ( x) ? ?, x ? x0 ?铅直； f ( x) ? K , y ? K ?水平； limx ??limx ??f ( x) ? k , lim f ( x) ? kx ? b, y ? kx ? b?斜。 x ?? x321例５：求曲线 y ? xex2的渐近线.【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是 否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点. 【解】 当 x ? ?? 时，极限 lim y 均不存在，故不存在水平渐近线；x ? ??又因为1y 2 2 2 lim ? lim e x ? 1 ，lim( xe x ? x) ? 0 ，所以有斜渐近线 y=x.另外，在 x=0 处 y ? xe x 无 x ?? x ?? x x ??111定义，且 lim xex ?0x2? ? ，可见 x=0 为铅直渐近线.３例６：曲线 y ?1 ? ln(1 ? e x ) ，渐近线的条数为 x 1 xx【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【解】 因为 lim[ ? ln(1 ? e )] ? ? ，所以 x ? 0 为垂直渐近线；x ?0又 lim [ ? ln(1 ? e )] ? 0 ，所以 y=0 为水平渐近线；x x ???1 xy 1 ln(1 ? e x ) ln(1 ? e x ) ex ] ? lim ?1， 进一步， lim ? lim [ 2 ? = lim x ??? x x ??? x x ??? x ??? 1 ? e x x x1 lim [ y ? 1 ? x] ? lim [ ? ln(1 ? e x ) ? x] = lim [ln(1 ? e x ) ? x] x ??? x ??? x ??? x= lim [ln e (1 ? e ) ? x] ? lim ln(1 ? e ) ? 0 ，x x ??? x ??? ?x ?x于是有斜渐近线：y = x. 例７ 求曲线 f ?x ? ?x3 的渐近线. x 2 ? 2x ? 3【解】f ?x ? x3 ? 3 ?1 x x ? 2 x 2 ? 3x( x ? ?) 得 k ? 1 .再由（3）式f ?x ? ? kx ?x3 ? x ? ?2 x 2 ? 2x ? 3( x ? ?) 得 b ? ?2. 从而求得此曲线的斜渐近线方程为 y ? x ? 2.又由 f ?x ? ?x3 易见 lim f ? x ? ? ? ， lim f ? x ? ? ? 垂直渐近线方程为： x ? ?3 x ?1 ?x ? 3??x ? 1? x＝ ? 3, x ?133第七讲 泰勒公式及其应用教学 目的 通过教学使学生掌握带有皮亚诺余项的泰勒公式,带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式,函数的 Maclaurin 公式, 会用一阶泰勒公式解决问题。重 点 难 点1．泰勒公式的内容 2.利用 Taylor 公式求极限 3．利用 Taylor 公式求证明题 一、一阶泰勒公式教1.带有皮亚诺余项的泰勒公式 2.带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 3．函数的 Maclaurin 公式 二、应用学 (1) 把函数 f (x) 展开成 n 阶 Maclaurin 公式 (2)求 f (x) 的 n 阶导数 提 (3)利用 Taylor 公式求极限 (4)利用 Taylor 公式求证明题纲34第七讲一、一阶泰勒公式１.带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式泰勒公式其应用定理 1（泰勒） 若函数 f 在(a,b)上存在直到 n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在 n＋1 阶导函数, 则对任意给定的 x, x0 ? (a, b) ,至少存在一点 ? 使得：f ( x) ? f ( x0 ) ?f ?( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( n?1) (? ) ( x ? x0 ) ? ? ? ( x ? x0 )n ? ( x ? x0 )n?1 1! n! (n ? 1)!? 在 x, x0 之间。2.带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理 2 若函数 f 在(a,b)上存在直到 n 阶的连续导函数,则对任意给定的 x, x0 ? (a, b)f ?( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? x0 ) ? ? ? ( x ? x0 )n ? 0(( x ? x0 )n ) 1! n!称为泰勒公式的余项.（1）3、 函数的 Maclaurin 公式x2 xn e ? 1 ? x ? ? ? ? ? 0( x n ) 2! n! 3 5 x x x 2 m?1 sin x ? x ? ? ? ? ? (?1)m?1 ? 0( x 2 m ) 3! 5! (2m ? 1)!x2m x2 x4 m x cos x ? 1 ? ? ? ? ? (?1) ? 0( x 2 m?1 ) 2! 4! (2m)! 2 3 n x x n ?1 x ln(1 ? x) ? x ? ? ? ? ? (?1) ? 0( x n ) 2 3 n ? (? ? 1) 2 ? (? ? 1)? (? ? n ? 1) (1 ? x)? ? 1 ? ? x ? x ??? ? 0( x n ) 2! n! 1 ? 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ? 0( x n ) 1? x二、应用1.把函数 f (x) 展开成 n 阶 Maclaurin 公式 例１： 把函数 f ( x) ? x sin x 展开成含 x 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 .2 216x3 x5 x7 ? ? ? ?( x 7 ) , 【解】 sin x ? x ? 3! 5! 7!35x 6 x10 x14 ? ? ? ?( x14 ) . 3! 5! 7! x 8 x12 x16 x 2 sin x 2 ? x 4 ? ? ? ? ?( x16 ) 3! 5! 7! 6 例２： 把函数 f ( x) ? cos2 x 展开成含 x 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . sin x 2 ? x 2 ?【解】cos x ? 1 ??x2 x4 x6 ? ? ? ?( x 6 ) , 2! 4! 6! 4x 4 26 x 6 cos 2 x ? 1 ? 2 x 2 ? ? ? ?( x 6 ), 3! 6! 1 2x 4 25 x 6 cos2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 1 ? x 2 ? ? ? ?( x 6 ) . 2 3! 6!2.求 f (x) 的 n 阶导数 例３：f ( x) ? x 2 ln(1 ? x) ，求 f ( n) (0)(n ? 3) .x2 x n?2 ??? ? 0( x n ?2 )) 2 n?2 (n) f ?(0) f (0) n x ??? x ? 0( x n ) 又 f ( x) ? f (0) ? 1! n! x4 xn ? x3 ? ? ? ? ? 0( x n ) 2 n?2 (n) n! f (0) 1 (n) ? 所以， ， f ( 0) ? n?2 n! n?22 2【解】 f ( x) ? x ln(1 ? x) ? x ( x ?3.利用 Taylor 公式求极限 例4 求极限 (1) limx ?0cos x ? e x [ x ? ln(1 ? x)]2?x2 2(2) lim x ?01 1 ( ? cot x ) . x x【分析】用泰勒公式求极限把函数展开到 x 多少次方呢？对于分子和分母有一个能确定次数的，把另 一个展开到相同次数即可，例如：x ?0limx ? sin x x3? limx ? (x ?x ?0x2 21 3 1 3 x x ? o( x 3 )) 1 6 ? ? lim 6 3 3 6 x?0 x x1? x2 x4 x2 x4 ? ? [1 ? ? ] ? o( x 4 ) 2 24 2 4 2 x x2[x ? x ? ? o( x 3 ))] 2但是对于分子和分母都不能确定次数的，要以具体情况而定。【解】(1) limx ?0cos x ? e ＝lim x [ x ? ln(1 ? x)] x?02?361 【点评】本题先确定分母展开的次数， ln( ? x) 至少展开到二阶，确定了分母的次数后，以次确定分 子展开的次数。(2) lim x ?05x 4 ? o( x 4 ) 5 lim 24 ? 4 x ?0 12 x ? ? o( x 5 ) 2 ?1 1 1 sin x ? x cos x ( ? cot x) ? lim x ?0 x x x x sin x 3 x x2 x ? ? ? ( x3 ) ? x[1 ? ? ? ( x 2 )] 3! 2! ? lim 3 x ?0 x1 1 3 ? ) x ? ? ( x3 ) 1 2! 3! ? lim ? 3 x ?0 x 3. (例５：试确定 A, B, C 的值，使得ex (1 ? Bx ? Cx2 ) ? 1 ? Ax ? o( x3 ) ， 3 3 其中 o( x ) 是当 x ? 0 时比 x 高阶的无穷小.【分析】题设方程右边为关于 x 的多项式，要联想到 e 的泰勒级数展开式，比较 x 的同次项系数， 可得 A, B, C 的值. 【解】将 e 的泰勒级数展开式 e ? 1 ? x ?x xxx 2 x3 ? ? o( x3 ) 代入题设等式得 2 6? x 2 x3 3 ? 2 3 ?1 ? x ? 2 ? 6 ? o( x ) ? [1 ? Bx ? Cx ] ? 1 ? Ax ? o( x ) ? ?整理得1? 1? ? ?B 1 ? ( B ? 1) x ? ? B ? C ? ? x 2 ? ? ? C ? ? ? o( x3 ) ? 1 ? Ax ? o( x3 ) 2? 6? ? ?2比较两边同次幂系数得? ?B ? 1 ? A ? 1 ? ? B ? C ? ? 0 ，解得 2 ? 1 ?B ?2 ?C ? 6 ? 0 ?4.利用 Taylor 公式求证明题 例 6 设 f ??( x0 ) 存在，证明1 ? ?A ? 3 ? 2 ? ?B ? ? . 3 ? 1 ? ?C ? 6 ?f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h ) ? 2 f ( x 0 ) ? f ??( x0 ) ． h ?0 h2 f ??( x0 ) 2 h ? o( h 2 ) , 【证明】 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )h ? 2! f ??( x0 ) 2 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )h ? h ? o( h 2 ) 2! ． lim37所以： limh ?0f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) ? 2 f ( x 0 ) h2 f ??( x0 ? h)h 2 ? o(h 2 ) ? lim ? f ??( x0 ) h ?0 h21 2例 7 设函数 f (x) 在［0，1］上有三阶连续的导数，且 f (0) ? 1, f (1) ? 2, f ?( ) ? 0 证明： ? ? ? (0,1) 使 f ???(? ) ? 24。 【证明】 f ( x) ? f ( 1 ) ? f ?( 1 )(x ? 1 ) ? 1 f ??( 1 )(x ? 1 ) 2 ? 1 f ???(? )(x ? 1 ) 3 2 2 2 2 2 2 6 2? f ( 1 ) ? 1 f ??( 1 )(x ? 1 ) 2 ? 1 f ???(? )(x ? 1 ) 3 2 2 2 2 6 2， ?在 1 与x之间 2f (0) ? f ( 1 ) ? 1 f ??( 1 )(? 1 ) 2 ? 1 f ???(?1 )(? 1 ) 3 2 2 2 2 6 2f (1) ? f ( 1 ) ? 1 f ??( 1 )( 1 ) 2 ? 1 f ???(? 2)( 1 ) 3 2 2 2 2 6 21 ? f (1) ? f (0) ?1 48?1 ? (0, 1 ) 2? 2 ? ( 1 ,1) 2[ f ???(?1 ) ? f ???(? 2 )]f ???(x) 在 [?1 , ? 2 ] 上连续，设 f ???(x) 在 [?1 , ? 2 ] 上的最大值和最小值分别为 m, M则 m ? [ f ???(?1 ) ? f ???(? 2 )] / 2 ? M ．所以 ?? ? [?1 , ? 2 ] 使f ???(? ) ? [ f ???(?1 ) ? f ???(? 2 )] / 2 ? 24【评论】(1)本题把泰勒公式与介值定理结合使用，有一定难度。 (2) 泰勒公式的展开点一般选在特别的中间点或端点。 例 8： f (x) 在［０，１］上具有二阶导数，且满足 f ( x) ? a, f ??( x) ? b ， c 是 （０,１）内的任意一点．证明： f ?(c ) ? 2a ? 【证】 f ( x) ? f (c) ? f ?(c)( x ? c) ?b 21 f ??(? )( x ? c) 2 , ?在c，x之间。 21 f ??(?1 )c 2 , ?1 ? (0, c) ………………………(1) 2 1 f (1) ? f (c) ? f ?(c)(1 ? c) ? f ??(? 2 )(1 ? c) 2 , ? 2 ? (0, c) ………………(2) 2 1 2 2 (2)-(1)得： f (1) ? f (0) ? f ?(c) ? [ f ??(? 2 )(1 ? c) ? f ??(?1 )c ] 2 f (0) ? f (c) ? f ?(c)( ?c) ?f ?(c) ? f (1) ? f (0) ?1 1 [ f ??(? 2 )(1 ? c) 2 ? f ??(?1 )c 2 ] 2 2b b b ? 2a ? [(1 ? c) 2 ? c 2 ] ? 2a ? [1 ? 2c ? 2c 2 ] ? 2a ? ，因为 c 2 ? c 2 2 2 例 9 设 f ( x) 在 [a, b] 上 二 阶 可 导 , 且 f ?(a) ? f ?(b) ? 0 , 则 存 在 ? ? (a, b) , 使 得38f ??(? ) ?【证明】4 f (b) ? f (a) (b ? a)2 .?x ? (a, b) ,将函数 f ( x) 在点 a 与点 b 处 Taylor 展开f ??(?1 ) ( x ? a) 2 a ? ?1 ? x , 2! , f ??(? 2 ) f ( x) ? f (b) ? f ?(b)( x ? b) ? ( x ? b) 2 x ? ?2 ? b . 2! , f ( x) ? f (a) ? f ?(a)( x ? a) ?令x?a ? b 代入得： 2 f ??(?1 ) (b ? a)2 f ??(? 2 ) (b ? a)2 a?b a?b f( ) ? f (a ) ? f( ) ? f (b) ? 2 2! 4 , 2 2! 4 ,上述二项相减,移项并取绝对值得(b ? a)2 f ??(?2 ) ? f ??(?1 ) f (b) ? f (a) ? 4 2 2 (b ? a) f ??(?2 ) ? f ??(?1 ) (b ? a)2 ? ? f ??(? ) 4 2 4 ,?? 其中, f ??(? ) ? max{ f ??(?1 ) , f ??(?2 )} ,取 f (? ) ? (b ? a) 2 f (b) ? f (a)【分析】本题在4a?b 点展开，则 f ?(a) ? f ?(b) ? 0 这一条件难以应用。 239第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法教学 目的 通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。重 点 难 点1 不定积分的概念 2 不定积分的计算 3 定积分的计算 1.不定积分 1.1 不定积分的概念教 原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。 1.2 不定积分的计算 (1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法 学 (4)分部积分法 2.定积分 提 (1)基本积分法； (2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数 (3)利用函数的奇偶性化简定积分 纲 (4)一类定积分问题第八讲 一、不定积分1 不定积分的概念 原函数：若在区间 原函数的个数: 若不定积分与定积分的各种计算方法上 F ?( x) ? f ( x) ，则称 F (x) 是 是 在区间的一个原函数. ， 都是上的一个原函数, 则对40在区间上的原函数；若 ，则也是在区间上的原函数，则必有 │ Ｒ}..可见，若的全体原函数所成集合为{原函数的存在性:连续函数必有原函数.不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作? f ( x)dx原函数。一个重要的原函数：若 f (x) 在区间 上连续， a ? I ，则?x af (t )dt 是的一个2 不定积分的计算 (1)裂项积分法例 1：x4 ?1 x4 ?1? 2 2 dx ? ? dx ? ? ( x 2 ? 1 ? 2 )dx 2 ? x2 ?1 x ?1 x ?1 x3 ? ? x ? 2 arctanx ? C 。 3例 2：dx cos2 x ? sin 2 x 2 2 ?? ? cos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x dx ? ? (csc x ? sec x)dxdx ( x 2 ? 1) ? x 2 ?? 2 2 dx ? dx ? dx 2 ? ? 1 ? arctan x ? C 例 3： ? 2 2 ? x2 ? 1 ? x x ( x ? 1) x ( x ? 1) x(2)第一换元积分法 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不 定积分 cos 2xdx ，如果凑上一个常数因子 2，使成为?? cos 2 xdx ? 2 ? cos x ? 2 xdx ? 2 ? cos 2 xd ? 2 x ? ? 2 sin 2 x ? C111?3 例 4：??dx d x d x ? 2? ? 2? 1? x x ?1 ? x ? 1? x? ?2? 2arctan x ? C例 5：?xdx21? x2? ??1 ?1? d ? ? ? ?? x 1? x ? x ? 121 ? 1? 1? ? 2 ? ?x ?d1 ? x411 ? ? 22 2 ?? 1 ? 2 ? 1 ? ?1? ? 2 ? ?1? ? d ?? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? d ?1 ? ? ? ? 2 2 ? ?x? ? ? ?x? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?? x ? ? 1? ? ? ? x??112 2 1 ? ? 1 ? ?2 ?1? ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? C ? ? 1 ? ? ? ? C 2 ? ? x? ? ? x? ? ?1例 6：?arctanxx (1 ? x)dx ? 2 ?t? x arctan x arctan t d x ????? 2 ? dt 1? x 1? t2? 2 ? arctan t d (arctan t ) ? (arctgt ) 2 ? c ? (arctg x ) 2 ? c .(3)第二换元积分法 第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含 n ax ? b ,处理方法是令 n ax ? b ? t ,x?1 n (t ? b) ; a被积函数包含 a 2 ? x 2 (a ? 0) ,处理方法是令 x ? sin t或x ? 被积函数包含 a 2 ? x 2 (a ? 0) ,处理方法是令 x ? 被积函数包含 x 2 ? a 2 (a ? 0) ,处理方法是令 x ? 例 7：计算?a 2 ? x 2 dx? a ? 0??t ?【解】令 x ? a sin t , ??2?x , 则t ? arcsin , ?a ? x ? a ，且 2 aa 2 ? x 2 ? a cos t ? a cos t , dx ? a cos tdt , 从而?a2 a cos t .a cos tdt ? a 2 ? cos 2 tdt ? a ? x dx ? 2 =2 2? ?1 ? cos 2t ?dta2 ? 1 a2 a2 ? t ? sin 2t ? ? C ? t ? sin t cos t ? C ? = 2 ? 2 2 2 ?由图 2.1 知sin t ?所以x a2 2cos t ?a2 ? x2 a?a2 x a2 x a2 ? x2 arcsin ? ? ?C a ? x dx 2 a 2 a a = =a2 x x 2 arcsin ? a ? x2 ? C 2 a 242例 8:?dx x ? 3 x2?????6?t ?6 xt 2 dt dt ? ?6? (1 ? t )dt ? 6? ??? 1? t 1? t1 ? ? ? ?6? 6 x ? 3 x ? ln 1 ? 6 x ? ? c . 2 ? ?(4)分部积分法? f ( x)dg ( x) 不好计算,但 ? g ( x)df ( x) 容易计算时,使用分部积分公式: ? f ( x)dg ( x) ? f ( x) g ( x) ? ? g ( x)df ( x) .常见能使用分部积分法的类型:当积分n x n n (1) x e dx , x sin xdx , x cos xdx 等,方法是把 e x , sin x, cos x 移到 d 后面,分部积分的目???的是降低 x 的次数n m n (2) x ln xdx , x arcsin??mxdx , ? x n arctanmxdx 等,方法是把 x n 移到 d 后面,分部几分的目的是化去 ln x, arcsin x, arctanx . 例 9: x 2 e x dx ? x 2 de x ? x 2 e x ? e x ? 2 xdx ????x e ? 2 ? xdx ? x e ? 2( xe x ? ? e x dx) ? ex ( x2 ? 2 x ? 2) ? C2 x 2 x例 10:?ln x 1 1 ? 1? dx ? ? ln xd ? ? ? ? ? ln x ? ? d ln x ? 2 x x x ? x?1 dx 1 ? ln x ? ? 2 ? ? (ln x ? 1) ? C x x x例 11:? (1 ? 6 x2) arctan xdx ? ? arctan xd ( x ? 2 x 3 ) ?? x ? 2 x3 ? arctan x ? ?3x ? 2 x3 dx ? 1 ? x22? x ? 2 x ? arctan x ? ? ? 2x ? 1 ?xx ? ?? x ? 2 x ? arctan x ? x3 2? ? dx ? ?1 ? ln ?1 ? x 2 ? ? C 2例 12:? cos2xdx ? ? cos xd sin x ? cos x sin x ? ? sin 2 xdx =? cos x sin x ? x ? ? cos 2 xdx ，例 13:? cos xdx ? 2 ? 4 sin 2 x ? c . ? sec xdx ? ? sec x ? sec xdx ? ? sec xdtgx ? sec xtgx ? ? tgx sec xtgxdx = sec xtgx ? ? (sec x ? 1) sec xdx ? sec xtgx ? ? sec = sec xtgx ? ln | sec x ? tgx | ? ? sec xdx ,解得23 2 2 3x13xdx ? ? sec xdx43解得? sec3xdx ?1 1 sec xtgx ? ln | sec x ? tgx | ?c . 2 2【点评】以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧 例 14 设函数 f (x) 的一个原函数是sin x , 求 ? xf ?( x ) dx 。 x? x cos x ? sin x ? sin x ? 【解】 f ( x) ? ? ? ? x2 ? x ?? xf ?( x)dx ? ? xd ( f ( x)) ? xf ( x) ? ? f ( x)dx ? x? cos x ? 2 sin x ?c xx cos x ? sin x sin x ? ?c x x2【点评】本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法.例 15 计算? (1 ? xxe arctan x23dx)2【说明】涉及到 arcsin x, arctanx 的积分一般有两种处理方法. (1)用分部积分法; (2)作变量替换令 arcsin x ? t或 arctan x ? t【解法一】? (1 ? x12xe arctan x2dx ? 3)2? 1 1 e arctan x 1 2 arctan x ? (1 ? x 2 ) 32 d (1 ? x ) ? ? 2 ? 2? e d ? 1 ? x 2 ? 2 ?? ? ? ???1? x1e arctanx ? ?e arctan x ? ?1 1? x2e arctanx1 dx 1? x2??e arctan x (1 ? x 2 ) 231? x2dx ……【点评】:分部积分后,后面的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法. 【解法二】令 arctan x ? y, x ? tan y? (1 ? xxe arctan x2)2dx ? ? 3tan y ? e y ? sec 2 y 1 dy ? ? sin ye y dy ? e y (sin y ? cos y ) ? C 3 2 sec y44?1 arctan x ? x 1 ? e ? ? 2 2 1? x2 ? 1? x? ??C ? ?y 【点评】变量替换后几分的难度大大降低, sin ye dy 是每种教材上都有的积分.?2.定积分 定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算. (1)基本积分法例 16： 计算?3 3 0dx (1 ? 5 x ) 1 ? x 22【解】 令 x ? tan t ，则?3 3 0dx (1 ? 5 x 2 ) 1 ? x 2????6 0sec 2 tdt costdt ?? 6 2 2 (1 ? 5 tan t ) sec t 0 cos t ? 5 sin 2 t?6 0??1 6 d (2 sin t ) 1 ? 0 1 ? (2 sin t ) 2 ? 2 arctan(2 sin t ) 2??8(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数 例 17： 计算?3 0x x ? 2 dx2 3【解】?3 0x x ? 2 dx ? ? x(2 ? x)dx ? ? x( x ? 2)dx ?0 28 3例 18 计算?3 0max{x,1 ? x}dx1 2 0 1【解】?1 0max{x,1 ? x}dx = ? (1 ? x)dx ? ? 1 xdx ?2(3)利用函数的奇偶性化简定积分?a ?a?0 ? f ( x)dx ? ? a ??0 f ( x)dx ?4 5当f ( x)是奇函数 当f ( x)是偶函数例 19 计算?1 ?1( x ? 1 ? x 2 ) 2 dx1 1 ?1【解】?1 ?1( x ? 1 ? x 2 ) 2 dx = ? 1dx ? 2??1x 1 ? x 2 dx =2+0=245例 20 计算?1 ?1( x ? x )e?x?xdx1 ?x【解】?1 ?1( x ? x )e1dx = ? xe?1dx ? ? x e?11?xdx? 0 ? 2? xe ? x dx ? 2 ? 4e ?10例 21 计算e x sin 2 x ? ??4 1 ? e x dx4?【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于 原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。x 2 0 e sin x e x sin 2 x e x sin 2 x dx ? ? 4 dx ? ? ? dx x ? ??4 1 ? e x 0 ? 1? ex 4 1? e 4??【解】令 x ? ?y ，? ?y ? ? ?y 0 e sin 2 y sin 2 x e x sin 2 x sin 2 (? y) e sin 2 y dy ? ? 4 dx dx ? ? ? d (? y ) ? ? 4 dy ? ? 4 ? ??4 1 ? e x 0 1? e y 0 1? ex 0 1 ? e?y 1 ? e?y 40所以x 2 0 e sin x e x sin 2 x e x sin 2 x ? 2 4 ? ??4 1 ? e x dx ? ? 0 1 ? e x dx ? ? ??4 1 ? e x dx ? ? 04 sin xdx ? 8 ? 1 4???(4)一类定积分问题 例 22： 已知 f (x) 是连续函数， f ( x) ? 3x 2 ? 2?1 0f ( x)dx ，求 f (x)【分析】本题的解题关键是理解定积分是一个固定的常数。 【解】令1?1 0f ( x)dx ? A, 则 f ( x) ? 3x 2 ? 2 A ，1 0A ? ? f ( x)dx ? ? (3x 2 ? 2 A)dx ? 1 ? 2 A 所以 A ?01 3f ( x) ? 3x 2 ?2 346第九讲 定积分的证明题与应用教学 目的 通过教学使学生掌握有关定积分的存在性问题与不等式的证明方法，掌握微 元法、面积、体积及弧长的计算。 1 不定积分有关的的存在性问题的证明； 2 不定积分有关的的不等式的证明； 3．面积、体积、弧长的计算。一、定积分的性质 二、定积分证明题重 点 难 点教（１）存在性证明 （２）积分表示的不等式的证明 三、定积分应用 1．微元法学2．面积 （1）直角坐标情形 （2）极坐标情形提3．体积 4．弧长 1）y=f(x)在区间[a,b]上可导，且 f ?(x) 连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长L ? ? 1 ? f 2 ( x)dx ，是弧长公式。ab纲2）参数方程 x ? ? (t ) y ? ? (t ) （ ? ? x ? ? ）? ??? ?与? ??? ? 在 ??， ?上连续，则 L ? ?? ??? ? 2 ?t ? ? ? ? 2 ?t ?dt47第九讲一、定积分的性质 （１）当 a ? b 时， （２）线性性：定积分的证明题与应用a?baf ( x)dx ? ?? f ( x)dx .bb b a a?ba[kf ( x) ? sg ( x)]dx ? k ? f ( x)dx s ? g ( x)dx（３）区间可加性：?baf ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dxa ccb（４）不等性： [ a, b] 上 f ( x) ? g ( x) ，则?baf ( x)dx ? ? g ( x)dx . (a ? b)ab?baf ( x )dx ? ? f ( x) dx . (a ? b)ab（５）积分中值定理：如果函数 f (x) ， g (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续， g (x) 在 [ a, b] 上不变号， 则在积分区间 [ a, b] 上至少存在一个点 ? ，使?baf ( x)g ( x)dx ? f (? )? g ( x)dx .ab1 当 g ( x)＝ 时?baf ( x)dx ? f (? )(b ? a)二、定积分证明题 1.存在性证明 例 1: f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 上可导，又 f (1) ? 2?1 2 0f ( x)dx ，证明存在 ? ? (0,1) ，使得f ?(? ) ? 0 。【分析】凡是微分中值定理中又涉及积分中值定理的，应首先应用积分中值定理获取一些特定点的函 数值信息，再用微分中值定理证明。 【 证 明 】 f (x) 在 [0,1] 上 连 续 ， 在 [ 0, ] 上 使 用 积 分 中 值 定 理 得 ， 存 在 c ? [ 0, ] ，1 21 21 f (1) ? 2 f (c)( ? 0) ， 即 f (1) ? f (c) ， 在 [c,1] 上 使 用 罗 尔 中 值 定 理 知 存 在 ? ? (0,1) ， 使 得 2f ?(? ) ? 0 。例２: f (x) 在 [0,2] 上连续，在 (0,2) 上二阶可导，又 f (0) ? f ( ) ? 0 ， 2 明存在 ? ? (0,2) ，使得 f ??(? ) ? 0 。1 2?1 1 2f ( x)dx ? f (2) ，证1] 【分析】先用积分中值定理知存在 c ? [ ， ， f (2) ? f (c) ，三次使用罗尔定理得证。【证明】略1 248例３:f (x) 在 [a, b] 上 连 续 ， 在 f ( x) ? 0 上 二 阶 可 导 ， 证 明 存 在 ? ? (a, b) ， 使 得b??af ( x)dx ? ? f ( x)dx ??1 b f ( x)dx 。 2 ?a例４:f (x) 在 [0, ? ] 上 连 续 ， 在??0f ( x)dx ? 0 ，??0f ( x) cos xdx ? 0 ， 证 明 存 在 不 同 的 点?1 , ? 2 ? (0, ? ) ，使得 f (?1 ) ? f (? 2 ) ? 0 。【证】令 F ( x) ??x0f (t )dt ， F ?( x) ? f ( x) ， F (0) ? F (? ) ? 0? ???0f ( x) cos xdx ? ? cos xdF( x) ? cos xF( x) |? ?? sin xF ( x)dx 00 0? ? sin xF ( x)dx ＝０0?存在? ? (0, ? ) 使得 sin ?F (? ) ? 0 ， sin ? ? 0, F (? ) ? 0 ???,两次使用中值定理得证。 2. 积分表示的不等式的证明 例５:比较大小?１０ln t [ln( ? t )]n dt 与? t n | ln t | dt 1０１【证明】在 [0,1] 上， t ? ln(1 ? t ) ? 0, tn? [ln(1 ? t )] n t n ln t ? [ln(1 ? t )] n ln t ，?０ln t [ln(1 ? t )]１n１ dt ? ? t n | ln t | dt ０例６: 设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 .证明：对任何 a ? [0,1] ,有?a0g ( x) f ?( x)dx ? ? f ( x) g ?( x)dx ? f (a) g (1).01证： F (x) ??x0g (t ) f ?(t )dt ? ? f (t ) g ?(t )dt ? f ( x) g (1) ，01则 F(x)在[0，1]上的导数连续，并且F ?(x) ? g ( x) f ?( x) ? f ?( x) g (1) ? f ?( x)[g ( x) ? g (1)] ，由于 x ? [0,1] 时， f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 ，因此 F ?( x) ? 0 ，即 F(x)在[0，1]上单调递减.注意到 F (1) ? 而1?10g (t ) f ?(t )dt ? ? f (t ) g ?(t )dt ? f (1) g (1) ，01 1 0 01? g (t ) f ?(t )dt ? ? g (t )df (t ) ? g (t ) f (t )0? ? f (t ) g ?(t )dt01= f (1) g (1) ??10f (t ) g ?(t )dt ，故 F(1)=0.因此 x ? [0,1] 时， F ( x) ? 0 ，由此可得对任何 a ? [0,1] ，有?a0g ( x) f ?( x)dx ? ? f ( x) g ?( x)dx ? f (a) g (1).0149例 7:设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足?a f (t )dt ? ?a g (t )dt ，x ? [a , b)， ?a f (t )dt ? ?a g (t )dt .证明：xxbb?a xf ( x)dx ? ?a xg ( x)dx . ?a F (t )dt ，xbb【证明】令 F(x) = f (x) ? g(x)， G ( x ) ? 由题设 G(x) ? 0，x ? [a , b]，G(a) = G(b) = 0， G?( x) ? F ( x) . 从而?abxF ( x)dx ? ? xdG ( x) ? xG ( x) a ? ? G ( x)dx ? ? ? G ( x)dx ，b a a abbb由于 G(x) ? 0，x ? [a , b]，故有? ? G ( x )dx ? 0 ，ab即b?a xF ( x)dx ? 0 .b因此?a xf ( x)dx ? ?a xg ( x)dx .?b例８:设 f (x) 在 [0,1] 上连续，且单调减小， f ( x) ? 0 ，证明，当 0 ? ? ? ? ? 1 时，? ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx0 0?【证明】令 F ( x) ? x 三、定积分应用 1．微元法??0f (t )dt ? ? ? f (t )dt0x0 ?? ? x ?1………….许多可以化为求 y ? f (x) 在区间[a , b]上的定积分的实际问题，都可以用这种方法处理，这个 方法称为：元素法。 其步骤如下：??1? 写出所求量A的元素：dx ? f ( x)dx ? b ? ? 2? 则A ? ?a f ( x)dx ? ?2．面积 （1）直角坐标情形 设图形由 y ? f ( x), y ? g ( x), x ? a, x ? b ， （a&b）围成，且 f ( x) ? g ( x) ， A： 则所围成的面积? ? dA ? b[ g ( x) ? f ( x)]dx ? A ? [ g ( x) ? f ( x)]dx ? ?a ?50例８：计算由曲线 y ? ln x, y轴与直线 ? ln a, y ? ln b, (b ? a ? 0) 。 y 【解】S1 ? (ln a ? ln b)a ? a ln b ? a ln ab b b S 2 ? ? [ln b ? ln x]dx ? ( x ln b) ? ? ln xdx a a a? b ln b ? a ln b ? b ln b ? a ln a ? b ? a所以：S = S1 ? S 2 = b ? a （2）极坐标情形 设图形由 r ? r (? ),? ? ? ,? ? ? , (? ? ? ) 围成的曲边扇形，任取 [? ,? ? d? ] 上的小曲边扇形， 则：1 2 ? ? dA ? 2 r (? ) d? , ? ? 1 ?A ? ? r 2 (? )d? ? 2 ?例９：计算心形线 r ? a(1 ? cos? ), (常数 a＞０)所围成图形的面积： 【解】该心形线所围成图形为心状，根据求曲边扇形 的面积公式：A1 ? ??01 [a (1 ? cos ? )] 2 d? 2?? a2 3 1 [ ? ? 2 sin ? ? sin 2? ] 0 2 2 43 ? ?a 2 4再根据图形的对称性知，所得面积： Ａ＝ 2 A1 ＝ ?a 。23 23．体积 （1）平行截面已知的立方体体积: V ??baA( x)dx .（2）旋转体的体积:对曲线 y ? f (x) , a ? x ? b ,Vx ? ? ?f 2 ( x)dxab.例 10：过点 P(1.0) 作抛物线 y ? 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积。 【解】设切点为 ( x0 , x0 ? 2 )x ? 2 的切线，求该切线与抛物线 y ? x ? 2 及 x 轴所围平面图形51切线方程y?1 ( x ? 1) 2 x ?2 0 1 x ?2 ? ( x ? 1) 0 2 x ?2 0 0?切点在切线上，∴x0 ? 3 ，∴切线方程：1 y ? ( x ? 1) 23 1 ? V ??? ( x ? 1)2 dx ? ? ? 3 ( x ? 2)dx ? x 6 1 4 2 。4 弧长 (1)y=f(x) 在 区 间 [a,b] 上 可 导 ， 且 f ?(x) 连 续 ， 则 在 [a,b] 上 的 曲 线 可 求 长 ， 且 弧 长L ? ? 1 ? f 2 ( x)dx ，是弧长公式。ab(2）参数方程 x ? ? (t ) y ? ? (t ) （ ? ? x ? ? ）? ??? ?与? ??? ? 在 ??， ?上连续，则 L ? ?例 1: 求曲线 x ? 【解】? ??? ? 2 ?t ? ? ? ? 2 ?t ?dty ? 1的全长（ x 2 ? y 2 ? a 2的周长 ）y ? 1? 2 x ? x1 ? y?2 ? 2 ? 2 x ? 1 xy ? 1? xy? ? 1 ?11 xL ? ? 2?02 x?1 dx x令x =tdx=2tdt 当 x=0 时 t=0 节当 x=1 时 t=1则L ??012 x ? 2 x ? 1dt = 2 22?011 1 1 ln(1 ? 2 ) 2 。 ( x ? ) 2 ? dt =1+ 2 4 2 252第十讲 空间解析几何中的问题教学 目的 通过教学让学生掌握向量的基本概念，向量的数量积，向量的向量积，平 面及其方程，直线及其方程，常用二次曲面的方程及其图形，常用二次曲面的 方程及其图形重 点 难 点重点：向量的数量积，向量的向量积，平面方程，直线方程 难点：常用二次曲线、二次曲面的方程及其图形.一、向量的基本概念 教 二、两向量的数量积 三、两向量的向量积 四、平面及其方程 五、直线及其方程 学 六、常用二次曲面的方程及其图形 七、常用二次曲面的方程及其图形提纲53第十讲一、向量的基本概念 （１）坐标系 （２）两点间的距离公式空间解析几何中的问题（３）向量的坐标表示 AB ? xi ? y j ? zk ? {x, y, z} （４）向量的长度 | AB |? 向量的单位化 （５）向量的方向 ? 二、两向量的数量积 （１） a ? b ?| a | ? | b | cos(a , b ) （２） a ? b ? a x bx ? a y b y ? a z bzx2 ? y2 ? z2? 方向角 ?方向余弦?? ?? ???? ? ? (3) a ? a ?| a | 2 .? ? ? ? (4) a ? b ? a ? b ? 0(5) cos(a, b ) ?? ? ? ? ?a? b| a |?| b | ? ? ? ? （６） a ? b ? a ? b ? 0 ? a x bx ? a y by ? a z bz ? 0 ：三、两向量的向量积 （１）设 a 、 b 为向量，作向量 R＝a ? b 使得：?????? ? ? ?? ? 1) | R |?| a | ? | b | sin(a, b ) ? ? ? 2) R 垂直于 a ? b 所确定的平面，指向按右手法则（２） a? b ? (ax i ? a y j ? az k ) ? (bx i ? by j ? bz k )? ? ? ? ? ? ? ?? i ? ax bx? j ay by? k az bz（３）应用 １）利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量；54２） a//b ? a ? b ? 0 ? 四、平面及其方程? ???a ax a ? y ? z bx by bz? （１）已知平面?过点 M0（x0、y0、z0） n ? ?A, B, C? 为?的法矢量。 ，1）点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0； 2）一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C 不全为零； （２）平面间的位置关系 1）两平面垂直： π1 ⊥ π 2 2）两平面平行： π1 ∥ π 2? ?? ? n1 ⊥ n 2 ； ? ? n1 ∥ n 2 。3）平面间的夹角（常指锐角） cos ? ? ：A1 A2 ? B1 B2 ? C1C22 2 2 A12 ? B12 ? C12 A2 ? B2 ? C2。 （３）点到平面的距离 点 M0(x0、y0、z0)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为d?Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D A2 ? B 2 ? C 2五、直线及其方程 （１）空间直线的对称式方程和点向式方程x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 （=t） ? ? m n p ? y ? y0 z ? z 0 ? ? 当 m=0 时，则方程的点向式记为： ? n p ?x ? x 0 ?（２）直线的一般方程为 ? （３）两直线的夹角 （4) 直线与平面的夹角 六、常用二次曲面的方程及其图形 1、球面 ：? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2?x ? x0 ?2 ? ?y ? y0 ?2 ? ?z ? z0 ?2 ? R 2x 2 ? y2 ? z2 ? R 2552、椭球面x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ?1 a2 b c3、旋转曲面 设 L 是 x0z 平面上一条曲线， ?f ?x, z ? ? 0 得旋转曲面：? ? y?0L 绕 z 旋转一周所f ? x 2 ? y2 , z ? 0x 0 ? x 2 ? y 2 ? ?z ? z 0 ? ? x 2 ? y 2 ,2??z ? z0x0 ? ? x 2 ? y2得f 例 例： zz 0 ? z 代入方程 f ?x, z ? ? 0??x 2 ? y2 , z ? 0?? x 2 ? y2 , z ? a x 2 ? y2?? 称为旋转抛物面x 2 ? y2 z2 ? 2 ? 1 ，(单) 旋转双曲面： a2 cz??4、椭圆抛物面x 2 ? y2 z2 ? 2 a2 cz ? ax 2 ? by 2 a，b ? 05、单叶双曲面x 2 y2 z2 ? ? ?1 a 2 b2 c2x 2 y2 z2 6、双叶双曲面 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 a b c7、二次锥面 圆锥面 z 物柱面2x 2 y2 z2 ? ? ?0 a 2 b2 c2? x 2 ? y2y ? ax 2?a ? 0?（8）柱面 f ( x, y) ? 056七、常用二次曲面的方程及其图形 （1）空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线.?F ( x, y, z ) ? 0 ? ?G( x, y, z) ? 0(2)空间曲线的参数方程? x ? x(t ) ? ? y ? y (t ) ? z ? z (t ) ?(3)空间曲线在坐标面上的投影?F ( x, y, z ) ? 0 消去ｚ的方程 ? ?G( x, y, z) ? 0H ( x, y) ? 0 曲线关于 xoy 面投影柱面曲线关于 xoy 面投影为 ??H ( x, y) ? 0 ? Z ?0例１：已知曲线 C : ?? x2 ? y 2 ? 2z 2 ? 0 ，求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. ? x ? y ? 3z ? 5【分析】曲线上一点 ( x, y, z ) 到 XOY 面的距离为 z ，但把目标函数设为 f ( x, yz) ? z ，不便 于计算，因而常把目标函数设为 f ( x, yz) ? z 2 ，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘 法求解即可。2 2 2 2 【解】 L ? z ? ?1 ( x ? y ? 2 z ) ? ?2 ( x ? y ? 3 z ? 5)? ?L ? ?x ? 2?1 x ? ?2 ? 0 ? ?L ? ? 2?1 y ? ?2 ? 0 ? ?y ? ?L ? ? 2 z ? 4?1 z ? 3?2 ? 0 ? ?z ? ?L ? x 2 ? y 2 ? 2 z 2 ? 0 ? ??1 ? ?L ? x ? y ? 3z ? 5 ? 0 ? ? ??2由前两个方程知 x ? y ，代入后两个方程知求的解 (1,1,1), (?5,?5,5)57最远的点 (?5,?5,5) 和最近的点 (1,1,1) . 例２：椭球面 S1 是椭圆x2 y2 ? ? 1 绕 X 轴旋转而成，圆锥面 S2 是由过点（4, 0）且与椭圆 4 3x2 y2 ? ? 1 相切的直线绕 X 轴旋转而成。 4 3（Ⅰ）求 S1 和 S2 的方程； （Ⅱ）求 S1 和 S2 之间的立体体积。【分析】设 L 是 xoy 平面上一条曲线 f ( x, y) ? 0 ，L 绕 x 旋转一周所 得旋转曲面为 f ( x,? y ? z ) ? 0 【解】 S1 :2 2x2 y2 ? z2 ? ?1 4 3设过点（4,0）与椭圆相切的直线方程为 y ? ax ? 4a 设切点为 ( x0 , y0 ) ，则3x y0 dy ，又 3x 2 0 ? 4 y 2 0 ? 12 ?? 0 ?a? dx 4 y0 x0 ? 41 x?2 2得 ( x0 , y 0 )＝(1,? ) ，上方切线为 y ?3 2?1 ? S2 : y ? z ? ? x ? 2? ?2 ?2 2 222 1 ? 3? 3 V ? ? ? ? 3 ? ? ? (3 ? x 2 )dx