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哈洛工业设计
刘先生 | 哈洛：面面垂直的判定定理
范文一：课题：二面角及其平面角
班级：____________
姓名：__________
【学习目标】
1.了解空间角中二面角的定义
2.掌握并运用平面与平面垂直的判定定理
【重点难点】平面与平面垂直的判定定理的运用
【学习过程】
复习回顾：
1、线面垂直的定义：
2、线面垂直的判定：
一、二面角的平面角：
1、半平面：一个平面内的一条直线把这个平面分成_______________，其中的
__________________都叫作半平面.
2、二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫作二面角,
____________叫作二面角的棱，这_____________叫作二面角的面.
3、二面角的记法： __________________.
思考：我们常说：“把门开大一些”是指哪个角大一些?
4、二面角的平面角:以二面角的棱l上_________为端点，在两个半平面内分别作_______________的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. 其中____________________________的二面角叫作直二面角
注意：作二面角的平面角应注意哪些问题？
例1、 作出下列二面角的平面角。
作二面角的平面角的方法：
例2、 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，作出下列二面角的平面角，并求出其大小。
(1) 平面ABC1D与平面ABCD所成二面角 D1 C1
(2) 二面角A1-AB-C
(3) 二面角A-BC1-C
小结提升：本节课我们学习了哪些内容？
3、二面角的平面角
范文二：（高中数学人教版必修二第二章）自主学习任务单 课题
班级 编制人 审核人
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明; 2.能运用平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明
自学质疑学案 学习记录 学案内容
一、 走进探知园 为了解决实际问题，需要研究两个平面所成的角，如修筑水坝时，为了坚固耐用，必 须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平 面与地球赤道平面成一定的角度。你知道这是根据什么数学知识吗？
二．探究新知 阅读课本 67～69 页，回答下列问题。 探究 1．二面角的定义,如何来刻画二面角的大小?
(2)图形表示与符号表示
(3)如何来刻画它的大小?
探究 2. 现实生活中我们看到,门框木柱 AB 与地面垂直,经过木柱 AB 的门面不论转到什么位置,都有门 面垂直于地面,为此,得到面面垂直的判定. (1) 两个平面垂直的定义:
画出两个互相垂直的平面，并用符号表示：
(2) 两个平面垂直的判定定理的内容：
图形表示： 符号表示： (3) 面面垂直要转化为_______________ 三．运用新知 例 1、如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于圆 O 所在的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一 点,求证:平面 PAC ? 平面 PBC
例 2、如图，已知 AB ? 平面 BCD ， BC ? CD ，你能发现哪些平面互相垂直吗？为什么？
四．自我反思 1、 请回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
2、在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
3、你在这节课中的表现怎样？有何体会？
五．巩固提升 如 图 , 正 方 形 SG1G2 G3 中 , E , F 分 别 是 G1G 2 , G2 G3 的 中 点 , D 是 EF 的 中 点 , 现 在 沿
SE, SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1G2 G3 三点重合,重合后的点记为 G ,则在
四面体 S ? EFG 中必有( )
A. SG ? ?EFG 所在平面 C.GF ? ?SEF 所在平面
B.SD ? ?EFG 所在平面 D.GD ? ?SEF 所在平面
? 2、如图，在三棱锥 V ? ABC 中， ?VAB ? ?VAC ? ?ABC ? 90 ，试判断平面 VBA 与平面
VBC 的位置关系，并说明理由
聊城二中教研室
范文三：线面垂直与面面垂直的判定
线线垂直判定
（1）线线垂直的定义：两条直线所成角是直角。 a,b所成角为90??a?b
（2）等腰三角形三线合一、勾股定理的逆定理等。
（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 a//b,a?c?b?c
（4）线面垂直的定义：如果直线与平面垂直，则直线与平面内的任何一条直线垂直。
??l?m m???
线面垂直判定
（1）线面垂直定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直。
若a垂直于?内任一直线?a??
AC?AB?A?AC,AB????
(2)线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
a?b,a?c,b,c??且b,c相交?a?? （线线垂直?线面垂直）
(3)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
????m??l?? l?m,l????
面面垂直判定
(1)面面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。?,?所成的二面角为直二面角????
(2)面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。a??,a??????
????? l???
例1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?底面ABCD F是PC的中点． 求证：（1）PA∥平面BDF； （2）平面PAC?平面BDF．
【练习1】 如图，已知BD⊥平面ABC，AC＝BC，N是棱AB的中点． 求证：CN⊥AD.
【练习2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA∥平面EDB； (2)求证：PB⊥平面EFD.
【例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证：BC1//平面CA1D； （2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。
【练习1】如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA3. 求证：平面PBE⊥平面PAB；
【练习2】?如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点． 求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.
【高考链接】
1．如图,在三棱锥S?ABC中,平面SAB?平面SBC,AB?BC,AS?AB,过A作AF?SB, 垂足为F,点E，G分别是棱SA，SC的中点.
求证:(1)平面EFG//平面ABC;
2．（北京卷（文））如图,在四棱锥P?ABCD中,AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底
面ABCD,PA?AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证: (1)PA?底面ABCD;(2)BE//平面PAD;(3)平面BEF?平面PCD
3．（课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱ABC?A1B1C1中,CA?CB,AB?AA1,?BAA1?60?.
(Ⅰ)证明:AB?AC; 1
?,求三棱柱ABC?A1B1C1的体积. (Ⅱ)若AB?CB?
1、二面角的平面角的定义：_____________________________________
2 在图中作出该二面角的一个平面角?AOB.
回答下列问题：
（1）作二面角的平面角时需满足哪些条件？
1、 结合实际模型（如张开的书本）正确理解二面角、二面角的平面角的概念； 2、 理解两个平面垂直的定义、画法、记法；
2.3.2 平面与平面垂直的判定（第一课时）
学习目标：
（2）?AOB的大小与点O在直线l上的位置有关吗？ （3）什么叫做直二面角？
3.二面角的平面角?的范围：_____________ 特别:当?=______时,两个半平面重合 当?=______时,两个半平面合成一个平面 4.求二面角的平面角的步骤: (1)找到活作出二面角的平面角
(2)证明(1)中的角就是所求的角
3)计算此角的大小
概括为“一作，二证，三计算”
学习重点：会找两个平面的二面角,并计算,理解并掌握两平面垂直的定义 学习难点：找两个平面的二面角 知识点1、二面角的有关概念
1.二面角的相关概念：
（1）半平面：____________________________ （2）二面角：
__________________________ （3）二面角的棱: ____________________________ （4）二面角的面_____________________________ 2.二面角的画法及表示：用不同的形式表示下列各组二面角
_____________
____________
_____________
知识点二：二面角的平面角 观察思考：
把一张长方形的纸按图折成一个二面角
三、典例分析1
三棱锥V-ABC中，VA?
AC?BC?VB?2,AB?2,VC?1,试画出二面角
V-AB-C的平面角，并求它的度数。
??l??，改变二面角的大小时，你能发现
哪些角度在变化，能不能用我们学过的一个角表示该二面角的变化？
典例分析2：利用定义证明面面垂直
1.如图，在四面体ABCD中，BD=2a,AB=AD=CB=CD=AC=a,求证：平面
ABD⊥平面BCD.
练习正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值.
利用定义法证明两个平面垂直，判定方法是：（1）构造出二面角的平面角；（2）证明这个平面角为90°;(3)根据两个平面垂直的定义知这两个平面垂直.
知识点三、两个平面垂直的定义（自主学习课本68页，完成以下问题）
1：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是
，就说这两个平面互相
2：两个互相垂直的平面的画法：
学生总结:_______________________________________ ____________________________________________________ 课后反思_________________________________________ __________________________________________________________
2.3.2 平面与平面垂直的判定（第二课时）
由判定定理可知:线面垂直?面面垂直
总结:要证明平面与平面垂直,可转化为寻找________________,即证明面面垂直
1熟练掌握两个平面垂直的判定定理；
两个平面垂直的判定定理的应用
2.在学习过程中培养空间想象能力.
二、典例分析：
学习重点：平面与平面垂直的判定定理及应用. 理解线线垂直、线面垂直、面面垂直
例1.在三棱锥P—ABC中，
的内在联系．
已知PA⊥AB, PA⊥AC.
学习难点：灵活应用平面与平面垂直判定定理解决问题.
求证：平面ABC⊥平面PAC
1. 平面垂直的定义:________________________________________________________
2. 证明两平面垂直的方法:____________
今天我们要学习判定两个平面垂直的其它方法
知识点一:两个平面互相垂直的判定定理（重点内容）
例2.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对
文字语言：___________________________________________________
角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.
图形语言：
符号语言：
作用:_________________________________________________
练习1.如图，ABC-A1B1C1是直棱柱，△A1B1C1是正三角形，E是CC1的中点.求证：平面AB1E⊥平面AA1B1B.
练习2.如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点, 求证:平面PAC⊥平面PBC.
ABC?A1B1C1
2．（2012新课标2卷19）、本题满分12分 如
面面垂直的判定方法：（1）
1.（2012·江苏高考·Ｔ16）如图，在直三棱柱
?ACB?90?AC?BC?
（1）证明：平面BDC1的体积比。
AA1，D是棱AA1的中点，DC1?BD 2
（2）平面BDC?BDC；1分此棱柱为两部分，求这两部分
EABC?A1B1C1中，A1B1?A1C1，D，
AD?DE，F为B1C1的中点． BC，CC1上的点（点D 不同于点C）
课后反思：___________________________________________________
_________________________________________________________
范文五：线面垂直的判断定理
数学科学学院 刘桂钦
一、 教学目标
（一） 知识与技能目标
理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。
（二） 过程与方法目标
通过直观感知、操作，归纳概括出直线与平面垂直的判定定理。
（三） 情感与态度目标
通过该内容的学习，培养学生的空间想象能力及合情推理能力，并从中体会“转化”的数学思想。
二、 教学重、难点
教学重点：直线与平面垂直的判定定理的理解掌握。
教学难点：直线与平面垂直的判定定理的推导归纳。
三、 教学过程
（一）构建定义
1、直观感知
通过观察图片，如地面上树立的旗杆、水面上大桥的桥柱等，使学生直观感知直线和平面垂直的位置关系，并在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。然后再引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。
2、观察思考
首先让学生思考如何定义一条直线与一个平面垂直，然后带着问题观察在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC所在直线的位置关系，这可以通过多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，并引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直这一结论。
3、抽象概括
问题：通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 这可以让学生讨论后口头回答，老师再根据学生回答构建出线面垂直的定义与画法。（板书）
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，
平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一l 的公共点P叫做垂足。
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面P 的平行四边形的一边垂直，如右图所示。
4、加深理解
在给出了线面垂直的定义和画法之后，可以继续问学生：
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否就与这个平面垂直？
（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线是否就垂直于这个平面内的任一直线？
这样通过问题的辨析，加深学生对概念的理解，以掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化。
（二）探索发现
1、观察猜想
思考：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？
虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
然后让学生观察跨栏、简易木架等实物的图片，并引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
2、操作确认
如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：
（1）折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕
AD与桌面所在的平面垂直？
（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥
CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？ C 通过这个实验，可以引导学生独立发现直线与平面D
垂直的条件，并培养学生的动手操作能力和几何直
3、合情推理
在上面的试验后，可以引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理，这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 用符号语言表示为：
n??,m?n?P???l?? l?m,l?n?
（三）例题分析
例1、求证：与三角形的两条边都垂直的直线必与第三条边垂直。
分析：这道题主要是让学生感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件。
例2、如右图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。 分析：这道题主要是让学生进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。
首先引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可
用判定定理证，再提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面内α内找到两条与直线b垂直的相交直线上。
（四） 课堂小结
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？
（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？
P （五）巩固练习
1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，
O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证： D
PO⊥平面ABCD B 2、已知：菱形ABCD在平面M内，P为M外一点，PA=PC．
求证：AC⊥平面PBD．
（六）布置作业
1．课本：课后练习1、2题．
2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1．
（七）板书设计
范文六：20数学通讯　　　　　　　　　　　　　2007年第9期
巧证线面垂直的判定定理
(桃江一中,湖南　413400)
中图分类号:O123-42　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:(-0020-01　　线面垂直的判定定理,是立体几何中的重点与
难点.教材利用镜面对称的方法,个几何证明.巧证.
定理　b<a∩b=O,l⊥则lα.⊥
证　在平面α内任取一条直线g,根据异面直线所成角的定义,不妨设g,l都过点O.
当g与a(或b)重合时,由条件易得l⊥g.
当g与a,b都不重合时,在g上任取点G(异于点O),过点G作a的平行线交b于点B,作b的
a(AB,OG相交于C,则,OC为△AOB的中线,由中2
(OA2-OB2)-AC2(1)OC=2
再在直线l任取点D(异于点O),则同理可得
(DA2+DB2)-AC2(2)DC=2
(DA2-OA2)+(DB2-DC-OC=22
OB)=OD+OD=OD(∵l⊥a,l⊥b).
∴OC2+OD2=DC2,∴OD⊥OC,即l⊥g.
α.综上得,直线l⊥
λ圆C1的切线长等于|ex+a|,其中e表示离心率;
3)椭圆上且在已知圆外的动点P(x,y)到已知
λ圆C2的切线长等于|ex-a|,其中e表示离心率.
3　与双曲线相关的一个圆系
λ)2定理3　已知双曲线2-2=1和圆(x+c
推论3　已知双曲线2-2=1和圆C1:(x+
λλ)2+y2=r2,λ=)2+y2=r2,圆C2:(x-cc
+2,c=a+b,则
+y=r,其中r表示圆的半径,λ=a+b,则
1)当r<时,圆与双曲线相离;
1)若半径r满足r>
时,公共弦(两端点都是a
切点)所在直线的方程是x=-;公共弦的长等
-1,其中e表示离心率;圆心到公共弦
2)当r=时,圆与双曲线相切于一点,且切
的距离等于;
点是双曲线实轴的左顶点;
时,圆与双曲线相切于两点.a
2)双曲线上且在已知圆外的动点P(x,y)到已
λ|,其中e表示离心知圆C1的切线长等于|ex+a
3)双曲线上且在已知圆外的动点P(x,y)到已λ|,其中e表示离心知圆C2的切线长等于|ex-a
λ)2+y2=r2改为(x-cλ)2注　若把圆
+y=r,有完全类似的结论.
从定理3中易得下面的结论,即
),男,湖南桃江人,湖南桃江一中一级教师.作者简介:胡芳举(1970—
范文七：《直线与平面垂直的判定》教学设计
一、 学习内容分析
本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第二章2.3.1节。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。 本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带。学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。
二、学习者分析 本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了线线垂直的证明，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于线面垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。但是学生对于理解线面垂直的定义有一定的困难，受线面平行的影响，很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。
三、教学重点、难点
重点：直线与平面垂直的判定定理。
难点：探究得出出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．
四、教学目标
（1）知识与技能目标：
1.描述直线与平面垂直的定义；
2.运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题.
（2）过程与方法目标：
1.通过对实例、图片的观察，概括定义，正确理解定义，增强观察能力；
2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
（3）情感态度与价值观目标：
1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳，感受生活中的数学美；
2.通过经历直线与平面垂直判定定理的探究，体验探索的乐趣
五、教学过程
1．复习回顾，引入新课
问题：同学们，我们已经学习了空间中直线与平面的位置关系，有哪些位置关系？
【师生活动】学生集体可能回答：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交
【追问】有些位置关系是比较特殊的，一种是线面平行，还有一种呢？
【师生活动】教师引导学生回答线面垂直这种位置关系是一种特殊的线面位置关系并揭示课题
2．逐步探索，得出定义
问题：在日常生活中你见到的线面垂直的现象有哪些？
【师生活动】学生列举生活中的线面垂直现象，然后教师也展示生活中的一些线面垂直现象，例如篮球架和地面垂直，旗杆和地面垂直。对于旗杆与地面垂直的现象进行抽象化，让学生对下列问题进行思考。
(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是
(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动, 而旗杆AB
与影子BC所成的角度是否会发生改变?
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？
【设计意图】：第（1）与（2）两问是为了让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问是为了进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，那么学生就可以得到直线AB与地面内任意一条直线垂直。在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．
【师生活动】师生一起给出线面垂直的定义：如果直线l与平面内?的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面?互相垂直，记作：l??.直线l叫做平面?的垂线，平面?叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点p叫做垂足。
3. 创设情境，猜想定理
【师生活动】教师引导学生认识到由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直是非常困难的，需要寻找简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直。 【实验】准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作折叠纸片，得到折痕
与桌面接触）
，，．如图，过△
的顶点、边，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使
【师生活动】教师引导学生分别根据这两个示意图进行实验，并思考：
与桌面一定垂直吗？ 1. 折痕
2. 为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？
对于思考2教师引导学生根据定义进行回答。
【设计意图】：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.
【师生活动】教师引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？
【设计意图】：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线。
问题：如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线
图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？ ，把桌面抽象为平面(如
问题：如果将图3中的两条相交直线直线还垂直于平面吗？ 、的位置改变一下，仍保证，你认为【设计意图】：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。
【师生活动】教师引导学生根据试验给出直线与平面垂直的判定方法。引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.
图形语言：
符号语言：m??,n??,m?n?B???l?a
【教师归纳】“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
4.运用定理，证明问题
练习：1.如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？
2.如图６，已知，则吗？请说明理由．
【师生活动】引导学生分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明，并用文字语言概括：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
【教师归纳】：这个问题给出了判断直线和平面垂直的又一个方法，间接判定直线与平面垂直．这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．
练习：3如图７，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．
证：AC⊥平面VKB
(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；
(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；
（请学生判定后，追问：EF与VB的位置关系如何？）
5.回顾总结 ，作业布置
【师生活动】教师引导学生从知识和方法两个方面进行总结．
知识方面：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理．
方法方面：转化思想．
范文八：课题：直线与平面垂直的判定（一）
【教学目标】
知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生理解直线与平面垂直的定义和判定定理，并能对它们进行简单的应用；
过程与方法目标：通过对定义的总结和对判定定理的探究，不断提高学生的抽象概括和逻辑思维能力；
【教学重点】直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用． 【教学难点】对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．
【教学过程】
一、直线与平面垂直定义的构建
1、联系生活、创设情境
复习了直线与平面的三种位置关系后，思考其中旗杆与地面、竖直的墙角线与地面、大桥的桥柱与水面之间的位置关系、大漠孤烟直属于这三种情况中的那一种，它们还给我们留下了什么印象？从而提出问题：什么是直线与平面垂直？
引导学生观察旗杆和它在地面上影子的位置关系，使其发现：旗杆所在直线l与地面所在平面?内经过点B的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l与平面?内不经过点B的直线垂直吗？
3、总结定义——形成概念
由学生总结出直线与平面垂直的定义，即如果直线l与平面
?内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面?互相垂直．引导学生用符号语言将
它表示出来．然后提出问题：如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线”，结论还成立吗？
设计意图：在具体的情境中，通过思考和操作，体会和感知直线与平面垂直的定义，进而提炼出线面垂直的定义。 二、直线与平面垂直判定定理的构建
1、类比猜想——提出问题
根据线面平行的判定定理进行类比，通过不断的猜想和分析，最终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？
设计意图：不少老师都在本环节中进行了一些有益的尝试，但考虑到学生的认知水平，我仍然决定采用类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，进行分析． 2、动手试验——验证猜想
问题一、给你一本书，通过适当的摆放，你能得到与桌面垂直的直线吗
设计意图：归纳线面垂直的必要条件
问题二：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）．
同学们看，此时的折痕AD与桌面垂直吗？
又问：为什么说此时的折痕AD与桌面不垂直？
设计意图：归纳只要直线与平面内有一条直线不垂直，那么直线l就与平面
?不垂直． 问题三：通过试验，你能得到什么结论？在回答此问题时大部分学生都会直接给出结论：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．此时注意引导学生观察，直线AD还经过BD、CD的交点．请他们思考在增加了这个条件后，试验的结论更准确的说应该是什么？
又问：如果直线l与平面?内的两条相交直线m、n都垂直，但不经过它们的交点， 那么直线l还与平面?垂直吗？
设计意图：提高学生抽象概括的能力，同时也培养他们严谨细致的作风． 3、提炼定理——形成概念
给出线面垂直的判定定理，请学生用符号语言把这个定理表示出来，并由此向学生指明，判定定理的实质就是通过线线垂直来证明线面垂直，它体现了降维这种重要的数学思想．
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：
l?m，l?n，m??，n??，m?n?A ?l??．
三、初步应用——深化认识 1、例题剖析：
已知：a//b，a??．求证：b??．
设计意图：不仅让学生学会使用判定定理，而且要让他们掌握分析此类问题的方法和步骤．
本题也可以使用直线与平面垂直的定义来证明，这可以让学生在课下完成． 另外，例1向我们透露了一个非常重要的信息，这里可以请学生用文字语言将例1表示出来——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1
中 （1） 求证：BC1?面A1B1CD （2） 求证：A C1?面A1BD
求证在正三棱锥中，对棱互相垂直。 设计意图：利用等腰，寻找掩藏的线线垂直
如图，PA垂直圆O所在平面，AC是圆O的直径，B是圆周上一点，问三棱锥P-ABC中有几个直角三角形?
设计意图：通过练习1和练习2培养学生熟练地进行线线垂直和线面垂直之间的转化，从而使他们能够对定义和判定定理进行灵活应用． 四、总结回顾——提升认识
2.3.1直线与平面垂直的判定导学案
一、学习目标：
（1）探究出直线与平面垂直的判定定理（2）利用定理解决实际问题
学习重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、自主学习
1、直线与平面垂直的判定定理（文字，图形和符号三种形式）
①文字叙述：
②符号语言描述：
③图形语言描述：
2、直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的______所成的____，叫做这条直线和这个平面所成的角．
当直线与平面垂直时，它们所成的角是______.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是____
探究：直线与平面垂直判定定理的应用
例1. 如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？
思考：如图６，已知
变式：如图７，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．
求证：AC⊥平面VKB
思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；
(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；
， 吗？请说明理由．
例2如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D11中，
（1）直线BA1与平面DD1B1B所成的角
（2）E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABCD-A1B1C1D1所成的角的正弦值
四、当堂检测
1．下列关于直线l,m与平面?,?的命题中，真命题是
(A)若l??且???，则l??
(B)若l??且?//?，则l??
(C)若l??且???，则l//?
(D)???m且l//m，则l//?
BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
3．如图，PA?矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点，
（1）求证：MN//平面PAD；
（2）若?PDA? 2如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝ ?
4，求证：MN?平面PCD
4如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明PB∥平面ACM；
(2)证明AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
2.3.2平面与平面垂直的判定
一．学习目标
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
学习重点：平面与平面垂直的判定。
学习难点：找出二面角的平面角。
二、自主学习
（一）、二面角的平面角
1、 如何找出二面角的平面角？
2、二面角的平面角为 90说明了什么？
（二）、平面与平面垂直的判定定理（文字，符号及图形表示）
①文字叙述：
②符号语言描述：
③图形语言描述：
例1已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为
变式如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一
点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为________．
先看懂课本p69例3
例2、如图正方体ABCD?A 1B1C1D1中，E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1,B1C1的中点，?
求证：平面MNF?平面ENF。
例3．如图，四棱锥P?ABCD的底面是边长为a的正方CPA?EABPA?AB形，底面ABCD，为的中点，且， （1）求证：平面PCE?平面PCD
A（2）求点D到平面PCE的距离
例4．如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求二面角D－AP－C的正弦值．
例5如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°
(1)指出图中哪个角是二面角B－AD－C的平面角，并说明理由；
(2)证明：平面ADB⊥平面BDC.
范文十：线面垂直的判定定理
制作：刘风丽
审核：数学组
学习目标： 1、掌握直线和平面垂直的定义及判定定理。
2、掌握判定直线和平面垂直的方法。
3、培养学生的几何直观能力，学会归纳、概括结论。
重点和难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
直线与平面垂直的定义
直线和平面垂直的画法
合作探究：
（1）、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
（2）、如果一条直线垂直于平面内的两条平行直线，能否判断这条直线和这个平面垂直
（3）、如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，能否判断这条直线和这个平面垂直 直线与平面垂直的判定定理：
文字语言：
符号语言：
小结：要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于什么？
例1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交
点， 且PA=PC，PB=PD。
求证：PO⊥平面ABCD。
例2、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，
求证 VB⊥AC。
例3、如图所示，AB是圆O的直径，PA ⊥ 圆O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，AN⊥PC，点N为垂足，求证：AN⊥平面PBC．
当堂检测：
D1 ACB1。 1、如图，在正方体AC1中，求证：(1)AC⊥平面D1DB ;(2)D1B⊥平面C1
2、(2007 天津)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
(Ⅰ)证明：CD⊥AE；(Ⅱ)证明PD⊥平面ABE