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初中数学人教新课标版七年级下第八章二元一次方程组教案（可编辑）
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初中数学人教新课标版七年级下第八章二元一次方程组教案（可编辑）
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介绍一点的数学常识 ——从太原期末试题的函数方程变式说起
介绍一点的数学常识——从太原期末试题的函数方程变式说起河北省清河中学&&孙恒振
& &群里的子木老师推荐了自己微信的文章《学好用好数学这个思维工具》，在该文中，子木老师以太原市的一道高三期末试题为例介绍了供求曲线图像题中的数学原理（原文附后），子木老师认为该题的答案是错误的，并提出了自己答案。笔者以为，该题的答案没有错误，特撰本文。太原市高三期末考试的政治卷第3题（陕西省西工大附中2014届高三下学期第十次适应性训练文综政治试题12题）原题如下：【原题】 支持价格是一国为了支持农业发展的需要对粮食等农产品所规定的最低收购价格。我国某农产品在以数量（Q）为横轴、价格（P）为纵轴的坐标系中，假设其供给曲线S恰好符合函数P(Q)=30+3Q，需求曲线D恰好符合函数P(Q)=180－Q。不考虑其他因素，则该农产品的支持价格为：
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A.P0＝142.5& &&&B.P2＜ 37.5 C.P1＞142.5& &&&D.P1＝37.5命题人给出的试题解析:&&C&&30＋3Q＝180-Q，Q＝37.5，P＝142.5，即均衡价格（E点）的Q0值为37.5，P0的值为142.5。支持价格要高于均衡价格，故选C。P1＞142.5。子木老师认为该题是错题，认为“本题的纠错后的正确答案为：支持价格应为P1＞37.5”& & 究竟是哪个才是真正的正确答案呢？ & &&&“供给曲线S恰好符合函数P(Q)=30+3Q”与“需求曲线D恰好符合函数P(Q)=180－Q”不是我们习惯的函数方程，因为西方经济学的图像中，P（价格）是自变量，Q（供求量）是因变量，其中P(Q)=30+3Q可以转化为Q=（P-30)÷3，P(Q)=180－Q可以转化为Q=180-P。转化之后，与转化之前的计算结果是一样的：均衡量Q=37.5.均衡价格P=142.5.支持价格是高于均衡价格，所以答案选择C.P1＞142.5 子木老师认为该题的答案是P1＞37.5，通过计算我们知道，37.5是均衡量而不是均衡价格，因此是不能成立的。两个答案的分歧在于对函数方程变式的理解，我们通常用X表示Y，如y=3x+1,这个函数方程也可以表述为“该直线符合X=（Y-1）÷3”，这在数学上是没有异议的。在该题中，既然计算的结果是均衡价格P=142.5，均衡量Q=37.5，支持价格是以均衡价格为参照的，因此也只能是P1＞142.5。什么情况下，答案才是P1＞37.5呢？那只能是在改变试题的原函数方程的情况下：将“假设其供给曲线S恰好符合函数P(Q)=30+3Q，需求曲线D恰好符合函数P(Q)=180－Q。”修改为“假设其供给曲线S恰好符合函数Q=30+3P，需求曲线D恰好符合函数QQ)=180－P。”这两个函数方程，才可以解答出P=37.5，进而才能得出P1＞37.5函数方程的变式≠改变方程，前者不过改变方程的解，后者不一定能保证方程的解不变。总之，原题的解题思路是没有问题的，认为该题答案错误的老师应该是不熟悉函数方程的变式吧。 附：子木老师的原文 学好用好数学这个思维工具
全国思想政治教师Q群里网友老师问陕西省西工大附中2014届高三下学期第十次适应性训练文综政治试题12题，这是一道关于“支持价格”的计算题，应该是2013年全国高考政治题12题的变式题。但题干中的函数式和命题人给出的解析都存在一些问题。在2016年5月，太原思想政治教师群里老师告诉我说，太原市高三期末考试的政治卷第3题又重复了这个错题。看来，太原命题老师，还不知道这是个错题。那子木老师，就要必要再说说这个题了【原题】 支持价格是一国为了支持农业发展的需要对粮食等农产品所规定的最低收购价格。我国某农产品在以数量（Q）为横轴、价格（P）为纵轴的坐标系中，假设其供给曲线S恰好符合函数P(Q)=30+3Q，需求曲线D恰好符合函数P(Q)=180－Q。不考虑其他因素，则该农产品的支持价格为：A.P0＝142.5& &&&B.P2＜ 37.5 C.P1＞142.5& &&&D.P1＝37.5命题人给出的试题解析:&&C&&30＋3Q＝180-Q，Q＝37.5，P＝142.5，即均衡价格（E点）的Q0值为37.5，P0的值为142.5。支持价格要高于均衡价格，故选C。P1＞142.5。【子木老师来纠错】第一、函数式不对。题中自变量是价格P，所以供给曲线S，用函数式表示应为：Q（S）=30+3P；需求曲线D，用函数式表示应为：Q（D）=180-P。令30+3P=180-P，则P0＝37.5，Q0＝142.5。这里必须注意：供求曲线表达的是以纵轴P为自变量而引起的供求数量变化轨迹。P是自变量的曲线才是供求曲线。那P为自变量时，为什么是在纵轴上？很多老师不明白其中的道理，还以为这是一个错误，甚至认为经济学家不懂数学坐标系的基本知识。事实上，完全不是这样的，子老师很我负责任地告诉大家，经济学家懂数学，特别是最先用图中的两条曲线表达价格与供求数量之间的互动关系的经济学家，简直就是数学家啊。子木老们著有《供求曲线的来龙去脉》一文，发表于2016年3月的《教学考试》，又于2016年6月载于“子木教研”微信公众号。在此，子木老师再概括地说一说，希望能给大家带来启发。高中政治《经济生活》以马克思主义政治经济学的价值规律为基础，认为：价值决定价格、供求影响价格的前提下，价格影响供求。这个关系，可以用数学坐标系来表达。在坐标系中，为表达“价值决定价格，供求影响价格”这个前提和基础，按照数学坐标系的表示常规，令供求数量（Q）为自变量用横轴表示，令价格（P）为因变量用纵轴表示。在这个前提和基础上，如果要表述“价格影响供求”，则价格（P）所在的纵轴作为自变量，供求数量（Q）所在的横轴作为因变量。这样，在同一个坐标系中，就把价格与供求之间的互动关系充分表达了出来。因此，供求曲线的自变量价格（P），设置在纵轴上。第二、在坐标系中，P表示商品自身价格，Q表示商品的供求数量，D叫需求曲线，S叫供给曲线，E叫均衡点。E点不叫均衡价格， E点对应的P0点才叫均衡价格，E点对应的Q0点叫均衡数量。第三、本题的纠错后的正确答案为：支持价格应为P1＞37.5。因此，子木老师认为，作为高中思想政治老师，确实也是不容易，真得需要好好地学习数学。常用数学思想来分析和思考思想政治问题，学好用好数学这个思维工具，是高中思想政治教师的一项必备的基本功。
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年级：初一
科目：数学
问题名称：
三位同学对问题“若方程组a1x+b1x=c1,a2x+b2x=c2的解是x=3,y=4求方程组3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2的解提出各自的想法。甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解。”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试。”丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5。通过换元替换法来解决？”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________.
三位同学对问题“若方程组a1x+b1x=c1,a2x+b2x=c2的解是x=3,y=4求方程组3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2的解提出各自的想法。甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解。”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试。”丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5。通过换元替换法来解决？”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________.
收到的回答: 1条
teacher073
x=3，y=4待入a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2，有
3a1+4b1=c1
3a2+4b2=c2 (1)
3a1x+2b1y=5c1
3a2x+2b2y=5c2
方程组两边除5有：
3/5a1x+2/5b1y=c1
3/5a2x+2/5b2y=c2 (2)
比较方程组（1）和（2）
有3x/5＝3 2y/5＝4
所以x＝5，y＝10
所以所求方程的解释x＝5，y＝10
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题号：2470603试题类型：解答题 知识点：二元一次方程的定义,二元一次方程组的定义,二元一次方程组的解法,二元一次方程组的应用&&更新日期：
已知二元一次方程:①x+y=4;②2x-y=2;③x-2y=1.请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程,组成一个方程组,并求出这个方程组的解.
难易度：容易
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二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b不为零。二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解 。
二元一次方程的特点：1.在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数。2.未知数的项的次数是1，指的是含有未知数的项（单项式）的次数是1，如3xy的次数是2，所以方程3xy-2=0不是二元一次方程。3.二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程1/x-y=1的左边不是整式，所以她不是二元一次方程。二元一次方程的解的特点：1.二元一次方程的每个解都包括两个未知数的值，是一对数值，而不是一个数值，如x=7不是方程x+y=18的一个解，而才是方程x+y=18的一个解。2.二元一次方程的解是具有相关性的一对未知数的值，二者相互制约，相互对应，不独立存在，当其中一个未知数的值确定以后，另一个未知数的值也确定了。3.一般情况下，一个二元一次方程有无数个解，如方程x+y=18的解还可以是等等。
二元一次方程的判定标准：1.二元：有两个未知数 2.一次：未知数的系数为13.整式方程：分母不含未知数
二元一次方程组：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。一般形式为：（其中a1，a2，b1，b2不同时为零）.
二元一次方程组的特点：1.组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数，如也是二元一次方程组。2.在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程合在一起。3.二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。4.二元一次方程组有时也由两个以上的方程组成。
二元一次方程与二元一次方程组的区别：
二元一次方程组的判定：①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.
二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
二元一次方程组解的情况：一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：1、有一组解。如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。3、无解。如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c&0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。例：解方程组 ：&&&& x+y=5①｛&&&& 6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即 y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即 x=-24/7∴ x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。2）加减消元法用加减法消元的一般步骤为：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。例：解方程组：&&&& x+y=9①｛&&&& x-y=5②解：①+②2x=14即 x=7把x=7代入①，得7+y=9解，得：y=2∴ x=7y=2 为方程组的解利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。3）加减-代入混合使用的方法例：解方程组：&&& &13x+14y=41①｛&&&& 14x+13y=40 ②解：②-①得x-y=-1x=y-1 ③把③ 代入①得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入③得x=1所以：x=1,y=2特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。二、换元法例：解方程组：&& （x+5)+(y-4)=8｛&& （x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。三、设参数法例：解方程组：&&&&& x:y=1:4｛&&&& 5x+6y=29令x=t，y=4t方程2可写为：5t+6×4t=2929t=29t=1所以x=1，y=4四、图像法二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。
二元一次方程组应用中常见的相等关系：1． 行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt①相遇问题（同时出发）：确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和=相遇时间 相遇路程÷相遇时间= 速度和相遇问题（直线）& 甲的路程+乙的路程=总路程相遇问题（环形）& 甲的路程 +乙的路程=环形周长②追及问题（同时出发）：追及时间＝路程差÷速度差&& 速度差＝路程差÷追及时间&& 追及时间×速度差＝路程差追及问题（直线）距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间追及问题（环形）快的路程-慢的路程=曲线的周长③水中航行顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间&& 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间&& 顺水速度=船速＋水速&& 逆水速度＝船速－水速&& 静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2&& 水速：（顺水速度－逆水速度）÷22．配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂3．增长率问题4．工程问题基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。5．几何问题①常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。②注意语言与解析式的互化:如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。③注意从语言叙述中写出相等关系：如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。④注意单位换算:如，“小时”“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。
二元一次方程组的应用：列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。⑶用含未知数的代数式表示相关的量。⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。⑸解方程及检验。⑹答案。综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
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