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平行线的性质解题方法例析
2012年第9期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　平行线的性质与平行线的判定不同，平行线的判定是由角的数量关系来确定线的位置关系，而平行线的性质则是由线的位置关系来确定角的数量关系，平行线的性质与判定是因果倒置的两种命题.对平行线的判定而言，两直线平行是结论，而对平行线的性质而言，两直线平行却是条件. 已知两直线平行，由平行线得到角的关系是平行线的性质，包括:①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是学习几何的重点与难点，它是研究平行线及直线平行的继续，是以后研究平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分.平行线性质的应用主要体现在以下三个方面：一是要求学生掌握平行线的三个性质，经过对比后，要求学生能够理解平行线的性质和判定的区别与联系；二是要求学生通过对实际问题的简单探究，训练并提高学生发现问题、分析问题、解决问题和逆向思维等方面的基本能力，要求学生能应用平行线的性质进行简单的推理论证；三是要求学生通过演练综合应用题，不仅能够区别平行线的性质和判定，而且能够灵活运用平行线的性质.下面笔者就针对有关平行线的性质应用问题举例谈谈解题方法，以期共同进步，教学相长.中国论文网 /9/view-3502674.htm　　例1：已知：如图，直线a∥b.　　求证：（1）∠1=∠6；（2）∠1+∠2=180°；（3）∠2+∠4+∠3+∠6=360°.　　证明：（1）∵a∥b（已知） ，　　∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） .　　又∵∠3=∠6（对顶角相等） ，　　∴∠1=∠6 .　　（2）∵a∥b（已知） ，　　∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） .　　又∵∠5+∠3＝180°（邻补角的定义），　　∴∠1+∠5＝180° .　　（3）∵a∥b（已知），　　∴∠1=∠3，∠4=∠5（两直线平行，同位角相等），　　∴∠2=∠5（两直线平行，内错角相等）.　　又∵∠5+∠3=180°，∠5+∠6=180°（邻补角的定义）,　　∴∠2+∠4+∠3+∠6=（∠5+∠3）+（∠5+∠6）=180°+180°=360°.　　即：∠2+∠4+∠3+∠6＝360°.　　解析：这里运用了平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等，对顶角相等，以及临补角的定义和等量代换等性质.如果不能牢记这些基本知识，就很难进行推理论证，所以要把这些性质熟记在心，并注意把性质与判定区别开来，而且还要学会使用因果推理论证的方法.“因”就是条件，“果”就是结论.　　例2：如图，如果∠1＝∠2，∠C＝∠D，那么∠A＝∠F吗？为什么？　　分析：要使∠A＝∠F，必须DF∥CA，因为如果DF∥CA，就有∠A＝∠F，那么在什么情况下DF∥CA呢？于是就会想到前面学过的平行线的判定定理，看看DF和CA有没有平行的可能.根据已知条件可知，∠2和∠3互为对顶角，∠2＝∠3，再由已知条件∠1＝∠2可得∠1＝∠3，而∠1和∠3是一对同位角，于是由平行线的判定定理可知BD∥CE（同位角相等，两直线平行），下面再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，即可得到∠4＝∠C；又因为已知∠C＝∠D，所以我们可以得到∠4＝∠D，于是可证明DF∥CA，从而可进一步推出∠A=∠F.　　解：结论：∠A＝∠F，道理如下：　　∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3 （对顶角相等）.　　∴∠1＝∠3.　　∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）.　　∴∠4＝∠C（两直线平行，同位角相等）.　　又∵∠C＝∠D，　　∴∠4＝∠D，　　∴DF∥CA （内错角相等，两直线平行）.　　∴∠A＝∠F （两直线平行，内错角相等）.　　例3：如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BC∥ED，BE是∠ABC的平分线，那么∠BED＝∠ADF吗？　　分析：由于BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以∠AFD＝∠AEB＝90°，根据平行线的判定定理可知：DF∥BE，根据平行线的性质定理可知：∠ADF＝∠ABE，（两直线平行，同位角相等），∠BED＝∠FDE（两直线平行，内错角相等）；再由已知条件BC∥ED，可知∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），∠BED＝∠EBC（两直线平行，内错角相等）；BE是∠ABC的平分线，∠ABE＝∠EBC（平分线的性质），所以可推出∠CBE＝∠FDE，∠ADF＝∠FDE，于是可知∠BED＝∠FDE＝∠ADF，即：∠BED＝∠ADF.　　解：结论：∠BED＝∠ADF，道理如下：　　∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F ，　　∴∠AFD＝∠AEB＝90°（垂直的定义）.　　∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行）.　　∴∠ADF＝∠ABE（两直线平行，同位角相等），　　∠BED＝∠FDE （两直线平行，内错角相等）.　　又∵BC∥ED（已知），　　∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等） ，　　∠BED＝∠EBC（两直线平行，内错角相等）.　　∵BE是∠ABC的平分线，　　∴∠ABE＝∠EBC（平分线的性质），　　∴∠BED＝∠CBE＝∠FDE，∠FDE＝∠ADF＝∠ADF（等量代换），　　∴∠BED＝∠ADF.　　根据上述综合应用平行线性质解答有关问题的方法可知：同学们在解答这类问题时，一定要牢牢掌握平行线的性质，知道平行线性质的来由，牢牢把握平行线的判定与性质的区别，而且能在推理过程中正确地应用它们，并注意文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化.还要懂得几何中的计算往往要说理，这就要求学生不仅要熟悉解答几何计算题的格式和要求，还要懂得由已知条件推得一系列新结论的推理方法.对于简单的题目，能做到想得明白，写得清楚，书写规范；对于较难的题目，要与图形结合，从图形中找出解决问题的入手点，进行探究思考、推理证明.另外，在解题过程中一定要清楚每一步推理的依据，严格按照解题的格式和要求去做.
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平行线的性质
(&甘肃陇南成县二期初中数学一班 )
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人教版课标初中数学七年级七年级数学下第5章 相交线与平行线平行线的性质
必修作业模版内容1．教学设计学科名称2．所在班级情况，学生特点分析3．教学内容分析4．教学目标5．教学难点分析6．教学课时7．教学过程8．课堂练习9．作业安排10． 附录（教学资料及资源）11． 自我问答
一、教学设计学科名称：平行线的性质（初中数学七年级）
二、所在班级情况，学生特点分析：
我所教学生数学学习状况分析 : 1. 学生的数学学习无目的、无计划、无标准要求。对学了什么, 应掌握什么,有什么作用是茫然的。2. 学生对数学学习不主动、自觉性差, 对学习内容的理解和学习任务的完成是被动消极的,所以同学间常出现抄作业现象,学习具有依赖性。 3.部分好 学生有上进的心理,但缺乏勤奋刻苦的学习精神,学习兴趣不浓，学习中思想常常走神或学习时间内干其他事情, 具有学习意志不坚定性。
&三、教学内容分析
&&&&&平行线是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，而且在实际中也有着广泛的应用。因此，探索和掌握好它的有关知识，对学生更好的认识世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的。
教材设置了一个通过探索平行线性质的活动，在活动中，鼓励学生充分交流，运用多种方法进行探索，尽可能地发现有关事实，并能应用平行线性质解决一些问题，运用自己的语言说明理由，使学生的推理能力和语言表达能力得到提高。为学生今后的学习打下了基础。
因此，无论在知识技能上，还是在学生能力的培养及感情教育等方面，这节课都起着十分重要的作用。
四、教学目标
&&&1、知识与技能目标：经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2、能力目标：经历探索平行线性质的过程，掌握平行线的性质，并能解决一些实际问题。
3、情感态度目标：在自己独立思考的基础上，积极参与小组活动对平行线的性质的讨论，敢于发表自己的看法，并从中获益。
4、品质素养目标：培养学生勤于思考、勇于探索、钻研的品质。
为实现以上教学目标，突出重点，解决难点，充分发挥现代教育技术的作用，我制作了多媒体课件，运用多媒体辅助教学，变静为动，融声、形、色为一体为学生提供生动、形象、直观的观察材料，激发学生学习的积极性和主动性。
五、教学难点分析
&&重点：平行线的三个性质以及综合运用平行线性质、判定等知识解题。
难点：区分性质和判定以及怎样综合运用同位角、内错角、同旁内角的关系解题。
六、教学课时
&&&&&1课时
七、教学过程
&&&&(一)引导学生逆向思维&
&&& 现在同学们已经掌握了利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补, 判定两条直线平行的三种方法.在这一节课里:大家把思维的指向反过来: 如果两条直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达?
&&&（二）实践探究
&&& 1.学生画图活动:用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交,标出所形成的八个角(如课本P21图5.3-1).
&&& 2.学生测量这些角的度数,把结果填入表内.
&&& 3.学生根据测量所得数据作出猜想.
&&& 图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系?
&&& 图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系?
&&& 图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系?
&&& 在详尽分析后,让学生写出猜想.
&&& 4.学生验证猜测.
&&& 学生活动:再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,你的猜想还成立吗?
5.师生归纳平行线的性质,教师板书.
平行线具有性质:
&&& 性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行, 同位角相等.
&&& 性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行, 内错相等.
&&& 性质3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行, 同旁内角互补.
&&& 教师让学生结合右图,用符号语言表达平行线的这三条性质,教师同时板书平行线的性质和平行线的判定.
&&& 平行线的性质&&&&&&&&&&& 平行线的判定
&&& 因为a∥b,&&&&&&&&&&&& 因为∠1=∠2,
&&& 所以∠1=∠2&&&&&&&&&& 所以a∥b.
&&& 因为a∥b,&&&&&&&&&&&& 因为∠2=∠3,
&&& 所以∠2=∠3,&&&&&&&&& 所以a∥b.
&&& 因为a∥b,&&&&&&&&&&&& 因为∠2+∠4=180°,
&&& 所以∠2+∠4=180°,&&& 所以a∥b.
&&& 6.教师引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别.
&&& 学生交流后,师生归纳:两者的条件和结论正好相反:
&&& 由角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补), 得出两条直线平行的论述是平行线的判定,这里角的关系是条件,两直线平行是结论.
&&& 由已知的两条直线平行得出角的数量关系(指同位角相等,内错角相等, 同旁内角互补)的论述是平行线的性质,这里两直线平行是条件,角的关系是结论.
&&& 7.进一步研究平行线三条性质之间的关系.
&&& 教师:大家能根据性质1,推出性质2成立的道理吗?
&&& 结合上图,教师启发分析:考察性质1、性质2的结论发生了什么变化? 学生回答∠1换成∠3,教师再问∠1与∠3有什么关系?并完成说理过程,教师纠正学生错误,规范地给出说理过程.
&&& 因为a∥b,所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等);
&&& 又∠3=∠1(对顶角相等),所以∠2=∠3.
&&& 教师说明:这是有两步的说理,第一步推理根据平行线性质1,第二步推理的条件不仅有∠1=∠2,还有∠3=∠1.∠2=∠3是根据等式性质.根据等式性质得到的结论可以不写理由.
&&& 学生仿照以下说理,说出如何根据性质1得到性质3的道理.
&&& 8.平行线性质应用.
&&& 例& (课本P23)如图是一块梯形铁片的线全部分,量得∠A=100°,∠B=115°, 梯形另外两个角分别是多少度?
&&& 教师把学生情况,可启发提问:①梯形这条件如何使用?②∠A与∠D、∠B 与∠C的位置关系如何,数量关系呢?为什么?
&&& 讲解按课本.
&&& （三）巩固练习
&&& 1.课本练习(P22).
&&& 本题综合应用平行线的判定和性质,教师要引导学生观察图形,考察已知角的数量关系,确定解题的思路.
&&&（四）作业
&&& 1.课本P25.1,2,3,4,6.
&&& 2.补充作业: 你能根据性质1，说出性质2，性质3成立的理由吗？如图，
因为a∥b.& 所以 ∠1=∠2(_______)
又∠3=∠_____,(对顶角相等)
所以∠2=∠3，
类似地，对于性质3，你能说出道理吗？
七、自我问答
&&&& 本节课设计的教学活动，难易程度由浅入深，层层递进，解决问题以学生为主，发挥学生的集体智慧，教师从中指导、总结，示范．在教学过程中，强调学生形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想
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