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解析几何请问极坐标方程和参变数方程的学习有什么意义呢?有普通解析式就够了嘛,为什么还要再学两个?
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减少设未知量,而且用参数方程的极坐标方程中有些未知数是可以设儿不解的,是未知数只是一个过程,方便求解.
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参数方程在解题中的广泛应用
参数方程在解题中的广泛应用
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参数方程在解题中的广泛应用
&参数方程在解析几何中是一个十分重要的内容，而且是高中数学的一个难点。近几年来高考对参数方程和极坐标的要求稍有降低，但是，可用参数方程求解的问题和内容有所增加且与三角函数联系紧密。本文以具体的例子阐述参数方程的广泛应用。　　一、探求几何最值问题　　有时在求多元函数的几何最值有困难，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理。　　例1（1984年考题）　在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、c，且c=10,，P为△ABC的内切圆的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值。　　解　由，运用正弦定理，可得：　　∵sinA?cosA=sinB?cosB　　∴sin2A=sin2B　　由A≠B，可得2A=π-2B。　　∴A+B=，则△ABC为直角三角形。　　又C=10,，可得：　　a=6,b=8,r=2　　如图建立坐标系，则内切圆的参数方程为　　所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα)，从而=80-8cosα　　因0≤α＜2π，所以　　例2　过抛物线　（t为参数，p＞0）的焦点作倾角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设0＜θ＜π，当θ取什么值时，｜AB｜取最小值。　　解　抛物线　（t为参数）的普通方程为=2px，其焦点为。　　设直线l的参数方程为：　　　（θ为参数）代入抛物线方程＝2px得：　　又∵0＜θ＜π　　∴当θ=时，｜AB｜取最小值2p。　　二、解析几何中证明型问题　　运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题。　　例3　在双曲线中，右准线与x轴交于A，过A作直线与双曲线交于B、C两点，过右焦点F作AC的平行线，与双曲线交于M、N两点，求证：｜FM｜?｜FN｜=?｜AB｜?｜AC｜（e为离心率）。　　证明　设F点坐标为(c,0)，　　A点坐标为(,0)。又，设AC的倾角为α，则直线AC与MN的参数方程依次为：　 将①、②代入双曲线方程，化简得：　同理，将③、④代入双曲线方程整理得：　　｜FM｜?｜FN｜=∴｜FM｜?｜FN｜=｜AB｜?｜AC｜。双曲线的一条准线与实轴交于P点，过P点引一直线和双曲线交于A、B两点，又过一焦点F引直线垂直于AB和双曲线交于C、D两点，求证：｜FC｜?｜FD｜=2｜PA｜?｜PB｜。　　证明　由已知可得。设直线AB的倾角为α，则直线AB的参数方程为　　　（t为参数）代入，可得：据题设得直线CD方程为　（t为参数）代入，得：，从而得，即得｜FC｜?｜FD｜=2｜PA｜?｜PB｜。　　三、探求解析几何定值型问题　　在解析几何中点的坐标为(x,y)，有二个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值时，参数法显然比较简单。　　例5　从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在x轴上截距的乘积。　　解　化方程为参数方程：　　　（θ为参数）　　设P为椭圆上任一点，则P(3cosθ,2sinθ)。　　于是，直线BP的方程为：　　直线的方程为：　　令y=0代入BP,的方程，分别得它们在x轴上的截距为和。　　故截距之积为：（）?（）=9。　　四、探求参数的互相制约条件型问题　　例6　如果椭圆与抛物线=6(x-n)有公共点，试求m、n满足的条件。　　分析　如果本题采用常规的代入消元法，将其转化为关于x的一元二次方程来解，极易导致错误，而且很难发现其错误产生的原因。若运用参数方程来解，则可“轻车熟路”，直达解题终点。　　解　设椭圆的参数方程为　　抛物线的参数方程为　　　（t为参数）　　因它们相交，从而有：　　由②得：　　代入①得：　　配方得：。即　　　　∵1≤≤9　∴-2≤n-m≤2　　所以｜m-n｜≤2为两曲线有公共点的条件。注：特别地，当n=3/2时，即为广东省1985年高考理科第34题。
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专题22 参数方程和极坐标方程-2016年高考数学三轮讲练测核心热点总动员（江苏版）
资料类别: /
所属版本: 通用
所属地区: 江苏
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下载次数：11次
资料类型：高考真题
文档大小：1.30M
所属点数： 0.3点
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资料概述与简介
2016年学易高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【江苏版】
热点二十二
参数方程和极坐标方程
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
例1 【2013江苏高考】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为
，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.
例2 【2014江苏高考】[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.
例3 【2015江苏高考】已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.
【热点深度剖析】
1. 江苏高考中，本知识点考查的主要内容有：极坐标与参数方程的基本概念、公式的理解与掌握.特别是极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，以及参数方程的简单应用是本知识点考查的重中之重.
2. 重点掌握将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，体会参数思想和数形结合思想的应用，明确解析几何的精髓.
3.预计16年极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化是考查重点内容.
【最新考纲解读】
|A　　|B　 |C　 |
|坐标系与参数方 |坐标系的有关概念　　
|对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）. |
|了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.
|理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.
|掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.
|简单图形的极坐标方程　　
|　 　|√　 |
|极坐标方程与直角坐标方程的互化　　|　 　|√　 |　
|参数方程　　
|　 　|√　 |　
|直线、圆及椭圆的参数方程　　
|　 　|√　 |　
|参数方程与普通方程的互化　　
|　 　|√　 |　
|参数方程的简单应用
|　 　|√　 |　
【重点知识整合】
1.平面直角坐标系中的伸缩变换：
2.极坐标系
（1）极坐标系的概念：平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.
（2）直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,则极坐标与直角坐标的互化公式如表:
（3） 常见曲线的极坐标方程：
|极坐标方程
|圆心在极点,半径为的圆
|圆心为,半径为的圆 |
|圆心为,半径为的圆 |
|过极点,倾斜角为的直线
|过点,与极轴垂直的直线
|过点,与极轴平行的 |
3、参数方程
（1）参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
（2）参数方程和普通方程的互化：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.
（3）常见曲线的参数方程：
①圆的参数方程为 （为参数）；
②椭圆的参数方程为 （为参数）；
③双曲线的参数方程
（为参数）；
④抛物线参数方程 为参数）；
⑤过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）。
【应试技巧点拨】
极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴正半轴重合，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化，极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造的形式，其中方程两边同乘以或同时平方是常用的变形方法，要注意变形的等价性。
2、参数方程与普通方程的互化方法
①将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝1等；②将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
3、利用参数方程解决问题的方法
①过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．
②对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
③解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
【考场经验分享】
1.目标要求：极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，以及参数方程的简单应用是本知识点考查的重中之重.
2.注意问题：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．利用直线参数方程t的几何意义解题先化为标准形式后才能利用．
3.经验分享：点到直线距离公式，椭圆参数方程是常用知识点
【名题精选练兵篇】
1. 【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
2. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，已知点的极坐标为，圆的极坐标方程为，
试判断点和圆的位置关系
3. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】选修4 ( 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标.
4. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】（坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆的一条准线的交点位于轴上,求实数的值.
5. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C所截得的弦长．
6. 【扬州市学年度第一学期期末检测试题】在极坐标系中，求圆上的点到直线（）距离的最大值.
7.【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015一模】选修4-4:坐标系与参数方程[ (本小题满分10分)
己知直线 的参数方程为（t为参数）,圆C的参数方程为.(a>0. 为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线的距离的最大值为，求a的值。
8.【扬州2015一模】已知曲线C1的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为，求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标
9.【南京盐城2015一模】（选修4-4：坐标系与参数方程）（本题满分10分）
在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离.
10.【镇江2015一模】(选修4-4：坐标系与参数方程)
已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为为参数）.
（1）请分别把直线和圆的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线被圆截得的弦长.
11.【泰州2015一模】（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）
己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，直线与圆相交于两点，求弦的长．
12.【苏州2015一模】选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数a的值.
13.【常州2015一模】选修4—4：坐标系与参数方程
已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程.
【名师原创测试篇】
1.已知直线C1: （t为参数），曲线C2:
(θ为参数).
(I)当a=时,求C1与C2的交点坐标；
(II)过坐标原点0作C1的垂线,垂足为A,P为OA中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.
2.曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.
（1）求曲线和直线的普通方程；
（2）为曲线上任意一点，求点P到直线的距离的最值.
3.已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
4.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.
(1)求的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.
5.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线l的极坐标方程为．
（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；
（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求的值．
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合作 / 友情链接解析几何初步、圆锥曲线、极坐标和参数方程专项训练；满分：150分时间：150分钟；一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小；x2y2；1.若双曲线2?2?1?a?0,b?0?上不存在；ab；双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率；2,??B.；?2,???C.?1,2?D.?1,2?；x216y2；2.抛物线y?2px?p?0?的准线过双曲
解析几何初步、圆锥曲线、极坐标和参数方程专项训练
满分：150分 时间：150分钟
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若双曲线2?2?1?a?0,b?0?上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为
双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为(
2.抛物线y?2px?p?0?的准线过双曲线?2?1的左焦点,则该抛物线的焦
3p点坐标为(
2,0 引直线l与曲线y??x2相交于A,B两点, O为坐标原点, 当△
AOB的面积取最大值时, 直线l的斜率等于(
4.给定圆P:x2?y2?2x及抛物线S:y2?4x过圆心P作直线l, 此直线与上述两曲线的四个交点, 自上而下顺次记为A,B,C,D如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列, 则直线的斜率为（
5.过双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左焦点F??c,0??c?0?,作圆x?y?的切
线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若?率为(
?,则双曲线的离心2
7.已知P,Q是椭圆3x2?5y2?1上满足?POQ?90?的两个动点，则OP??（
D.无法确定
8.若曲线C1:x2?y2?2x?0与曲线C2:y?y?mx?m??0有四个不同的交点, 则实数m的取值范围是(
???3???3???????
B.?????0,?
C.?????? ?,,0,??,??,??A. ? D.??33??3??3?????3??3???????33???1x2y2
9.设椭圆2?2?1?a?b?0? 的离心率为e?, 右焦点为F?c,0?, 方程
ax2?bx?c?0的两个实根分别为x1和x2, 则点P?x1,x2?(
A. 必在圆x2?y2?2内
B. 必在圆x2?y2?2上 C. 必在圆x2?y2?2外
D. 以上三种情形都有可能
10.如图, 一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动, M
和N是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么, 当小圆这样滚过大圆内壁的一周, 点M,N在大圆内所绘出的图形大致是(
11.三个顶点均在
椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点A是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是（
????26??2?2???????0,,1,,1?A． ?
D． ?????? 23232????????
M总在椭圆内部, 则椭12.已知F1,F2是椭圆的两个焦点, 满足1?MF2?0的点
圆离心率的取值范围是(
??2?2??1???,1?A. ?0,1?
D. ? ??222??????
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2. 若
AF1,F1F2,F2B成等比数列,则此椭圆的离心率为14.若不等式9?x2?k?x?2??2的解集为区间?a,b?, 且b?a?2, 则
15.过抛物线x2?2py?p?0?的焦点F作倾斜角为30°的直线, 与抛物线分别交于A,B两点(点A在y轴左侧) , 则
16.过双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰
在线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题9分）已知抛物线C:x2?4y,M为直线l:y??1上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B. (1)当M的坐标为?0,?1?时,求过M,A,B三点的圆的方程; (2)证明:以AB为直径的圆恒过点M.
18.（本小题9分）设点P?x0,y0?在直线x?m?y??m,0?m?1?上, 过点P作双曲线x2?y2?1的两条切线PA、PB, 切点为A,B, 定点
?1?M?,0?. ?m?
(1) 过点A作直线x?y?0的垂线, 垂足为N, 试求△AMN的重心G所在的曲线方程;
(2) 求证:A,M,B三点共线.
19.（本小题10分）如图,已知双曲线C:2?y2?1?a?0?的右焦点为F,点A,B分
别在C的两条渐近线上,AF?x轴,AB?OB,BF//OA(O为坐标原点). (1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P?x0,y0??y0?0?的直线l:02?y0y?1与直线AF相交于点M,与直
线x?相交于点N.
2证明:当点P在C上移动时,
恒为定值,并求此定值. NF
20.（本小题10分）设椭圆C1:2?2?1?a?b?0?, 抛物线C2:x2?by?b2.
(Ⅰ) 若C2经过C1的两个焦点, 求C1的离心率;
(Ⅱ) 设A?0,b?,Q?3,b?，又M,N为C1与C2不在y
轴上的两个交点, 若△AMN的垂心为B?0,b?, 且
△QMN的重心在C2上, 求椭圆C1和抛物线C2的方程.
21.（本小题12分）如图, 椭圆C:2?2?1?a?b?0? 经
过点P?1,?, 离心率e?, 直线l的方程为x?4.
(1) 求椭圆C的方程;
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P), 设直线AB与直线l相交于点M, 记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3. 问: 是否存在常数?, 使得k1?k2??k3? 若存在, 求?的值; 若不存在, 说明理由.
22.（本小题12分）如图，F1,F2是离心率为的椭圆C:2?2?1?a?b?0?的
左、右焦点，直线l:x??将线段F1F2分成两段，其长度之
设A,B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P,Q两点， 线段AB的中点M在直线l上． （Ⅰ） 求椭圆C的方程； （Ⅱ） 求F2?F2的取值范围．
23.选修4―4:坐标系与参数方程（本小题8分）
在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已
知点D的极坐标是?1,
??,曲线C的极坐标方程为. ?
(1)求点D的直角坐标和曲线C的直角坐标方程;
(2)若经过点D的直线l与曲线C交于A,B两点,求?DB的最小值.
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