A是可逆证明矩阵可逆，X是非零证明矩阵可逆，为什么X^T(A^TA)X = (AX)^T(AX) > 0，则A是正定证明矩阵可逆

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-16 22:57 标签： 非零矩阵是否都可逆
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求三阶矩阵（a,-1,ax-y)T(1,a,x+ay)T(b,c,bx+cy)T的秩抄错了，原题是(a,1,b)T(-1,a,c)T(ax-y,x+ay,bx+cy)T不过应该没有大碍吧
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bx+cy===>第二列乘-y后加到第三列,变为a -1
bx第一列乘-x后加至第三列,得a -1
0左上角二阶子式为|a -1|
a|=a^2+1在实数范围内,此数非零,所以原来三阶矩阵得秩为2
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为什么r(A^TA)=r（A）=r（AA^T）怎么证明呢?
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证明方程AX=0与A^TAX=0同解AX=0 显然有A^T*AX=0A^T*AX=0则有X^T*A^T*AX=0 即(AX)^T*AX=0,一个矩阵和它的转置相乘是0,则矩阵是0.则有AX=0同解说明基相同,基相同说明自由量数相等n- r（A^T*A）=n-r（A）则r（A^T*A）＝r（A）
为什么一个矩阵和它的转置相乘是0，则矩阵是0？
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线性代数：设A为n阶可逆矩阵,证明f=(x^T)(A^T)Ax为正定二次型.我想问的是为什么(Ax)^T(Ax)会等于|Ax|^2?Ax不是方阵,而是竖着的一长串数字组成的向量吧?（不知道我这么说会不会有人理解……）那Ax还可以进行行列式计算吗?
来来来进吧
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Ax 是一列向量,(Ax)^T(Ax) 是 Ax 与 Ax 的内积,即 Ax 的长度的平方也等于 Ax 各分量平方之和.
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Ax不是方阵，而是竖着的一长串数字组成的向量吧？－－－－你的理解是对的。Ax 是一列向量, (Ax)^T(Ax) 是 Ax 与 Ax 的内积, 即 Ax 的长度的平方从另一个角度这时候是对角矩阵型的二次形。
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(1)A为n阶可逆方阵,α,β为n维列向量,求证：det(A+αβT)=(1+βTA-1α)det(A) (2)设A=(aij)n×r满足rank(A)=r,求证：det(ATA)≠0
大庄家1nt3
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(1)考虑分块矩阵的行列式|H|=A αβ^T -1第2行减第1行的 β^TA,得A α0 -1-β^TA^-1α所以 |H|= -(1+βTA^-1α)|A|.另一方面,|H|第1行加第2行的α倍,得A+αβ^T 0β^T -1所以 |H|=-|A+αβ^T|所以 det(A+αβ^T)=(1+β^TA^-1α)det(A).(2) 因为 r(A^TA)=r(A)=rA^TA是r阶方阵故 det(ATA)≠0.
你第一问写的有点失误不过我还是看懂了，第二问r(ATA)=r(A)=r是为什么？这个应该是证明的关键吧
哪里失误请告诉我
r(ATA)=r(A) 是一个知识点, 证明AX=0 与 A^TAX 同解即可得.
第2行减第1行的 β^TA, 得
应该是第2行减第1行的
第二问我也记起来这么个东西了，谢谢啦
哦哦, 漏逆符号了
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