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高考理科数学必考点解题方法秘籍：特殊证法.doc 16页
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高考理科数学必考点解题方法秘籍：特殊证法.doc
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2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：特殊证法
【考情分析)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
4．不等式的证明方法
（1）比较法是证明不等式最基本、最常用、最重要的方法之一。它包括“作差法”与“作商法”，比差法的理论依据是：
比商法的理论依据是a，b∈R＋，那么：
判断a，b的大小，当a，b∈R时，可以通过判断a－b与0的大小来完成。当a，b∈R＋时，可以通过判断与1的大小来完成。
比较法这种方法其本质就在于单独讨论“a，b”不等式难以证明时，就“a－b，”整体讨论，使问题迁移“环境”，给问题带来新的结构。对a－b，变形后与0，1的比较提供可能，这种变形后的式子结构“a－b，”能够和“0，1”比较大小是比较法的精髓。
作差法中，对差“a－b”的变形方法通常有通分、配方（非负数）、因式分解、二次函数的判别式等。
作商法的一般步骤是，求商
判断与1的大小。
方法的选择：若不等式两边含有相同的项，或者作差以后能进行因式分解；能用配方法，能写成分式判断其符号，可使用作差法。
若不等式两边是指数形式，能使分子、分母变形得到相同结果的不等式，用作商法比较容易，也就是说，凡适合于求“商”运算，并能比较出商与1的大小的不等式，一般都适合于用作商法证明。
（2）综合法
综合法就是由已知出发，根据不等式性质，基本不等式等，逐步推导得到所要证明的不等式的一种方法，也就是用因果关系书写“从已知出发”借助不等式性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证的全过程，其特点可描述为“执因索果”，即从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，综合法证明题逻辑性很强，它要求每步推理都要有依据。
（3）分析法
证明不等式，可以从待证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化成为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能断定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。
分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，概括地说就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”。
分析法证明“若A则B”的基本模式是
只需证B1为真
只需证B2为真
只需证A为真，
今已知A为真，故B必真
其逻辑关系是
（4）放缩法
在证明不等式A＞B时，可以构造出数学式C，使A＞C，且C＞B，则A＞B得证。其中数学式C常常通过将A缩小或将B放大而构成，它的依据是不等式的传递性，这种证明方法叫做放缩法，用放缩法证明不等式，在高中数学中占有一定的比重。
【思想方法】
题型1：定义法
例1．（11天津理，20））已知数列与满足：， ，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（III）设证明：．
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
（I）解：由
（II）证明：对任意
②—③，得
将④代入①，可得
因此是等比数列.
（III）证明：由（II）可得，
于是，对任意，有
将以上各式相加，得
此式当k=1时也成立.由④式得
所以，对任意，
对于n=1，不等式显然成立.
所以，对任意
题型2：反证法
例3．（2010江西理数理，22）证明以下命题：
（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b&c)，使得成等差数列。
（2）存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长为正整数且成等差数列。
【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。
（1）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。
证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。
结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。
证明：当成等差数列，则，
选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解
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浅谈作差法中的数学思想
试 题研究＞ 知识延 　～ … 一 …　 … … 一 一 伸 　… 一 一数学教学通讯 （ 教师版 ） 　
授稿箭 ｓｉ ｖ　 ３Ｏ　 篷： ｋ ｉ ６　ｒ ｘ＠ ｐ Ｃｎ
浅谈作差法中的数学思想　 杜 永宁　
贵 州普 安 第一 中学
５ １０ 　 ６５０
冒 ： 一毫 　
豳关 词作 法数 思 　 键 ：差 ；学 想
小 赫 虻 　 们　 　 搬 撇 剖 当ｏ ｍ １ ，ｍ ｍ １ｍ ｍ １ （ ＜ 时 ２ 　３ 一＜ 　 一 ； 　 ｍ＜ ￣ｍ ｌ ，ｍ ＋ｍ一＞ ％ ｍ １ Ｏ ＞ 时 ２ ２３ １ｍ ４ 一　 评 注 进 行 分 类 讨 论 ， 注意 确 定 分 类 标 准 ， 足 不 重 不 漏 要 满 　 的原 则 ； 分 类合 理 ， 要 关键 在 于找 到 “ 点 零 　
作 差法 是 比较 两个 数 （ ） 式 的大 小 的重要 方 法 ， 理论 基 础是　 其 ａｂ＝ － ＞ ， ｂ： ― ＜ ， ｂ： － － ， 步 骤是 ：１作 差 ；２ 变　 ＞ｃ ａｂ Ｏａ ｃ． ｂ Ｏａ ｃ ａｂ ０ 其 ＞ ＜ ｃ ａ ＝ ￣ （） （） 形 ；３ 定 号 ， 出 结论 ．其 中 变形 是关 键 ， （） 得 变形 的 目的是 为 了判　 断 符 号 ． 要涉 及 三种 数学 思想 ， 面我 们举 例 说 明． 主 下 　
分 类整合思想　 分 类 整 合 思想 就 是 将 差 式 因 式 分解 后 ， 些 因 式 的 符 号 与　 一 某 些 量的 取值 有关 ， 要对 这些 量 通过 分类 讨 论来 判 断符 号． 需 　 倒 １ 已知　 ， ≠１ｍ＞ ＞ ， ｎ ， ｎ ０ 比较　 与　 ａｍ　
函数思想　 函数 思 想 就 是 将 两 个数 （ ） 式 的差 视 为 某 一 变 量 的 函数 ， 对　 其变 形整 理 ， 然后 运用 函数 知识 来判 断 符号　 例３ ］ ４ ｘ ４ ． ＝ ｘ ３ 比较Ａ Ｊ ． ＝￣ ｘＢ ５一 ， Ｌ ＋ 与Ｂ 的大 小　
的 大小　 ａｎ 　
解析 令 ）Ａ 　 ；　 解 析　 ＋１ 　 一
＋ （ 一） 　一５ ３ ， 　 　 　　 ）
（ ｃ 　 　
＝ （ 　 ｃ ? ～　　） 一
￣ｆ）２３　１　１ｆ ｆ　） ４ ．所 蝴 ｅ　 　 ＝一 １１ ￣Ｘ （ ≥　 Ｘ 　 ＋（ 　 ． （ 　Ｊ 　 　 ２ 所 以Ａ＞ 最　
由 题 意 ，＞ ， ≠ １　 ａＯｎ ，
当ｏ ０ ｌ ， 数 函数，　 在 Ｒ 是 减 函数 ?由已知 ｍ ＞ 知　 ＜＜ 时 指 ＿ ＝ 上 　 ０
ｎＥＲ。 　∈Ｒ， 比较　
＋ 与一 ａ－ 　的 大小． １ ２ ２２ 　
＜ 即　一 ０ 　， 　＜ ．又 因０ Ⅱ　 １ 所 以ｌ ― ＜ ．所 以（ｍ ａ）　 ＜ｍ ＜ ， 一　 ０ ａ― ｎ‘
解析 今ｌ　　 ２ １ （２　ｚ 　 ２（Ⅱ １　 （Ⅱ＋ ） …’ … （） ＿ 一　 Ⅱ 　） ＋　 － ）＋ ２ｚ１ 。 厂 　 　＋ 、 一 、 ２ 　
（ 　所　 　 ― 　） 以 ＂ －
０ 又因为函数厂 ） ， （ 为二次函数 ， 图象开口向上 ， ｖ （）Ｏ 　 其 所 Ｘ ｘ ＞．所　 ｆ 以Ａ旭 　
由意得 （１４ ＋一一３（１＜ 题可Ａ２）（ １４４＝ａ　　 ＝―一　）　。 一＋一 ａ　２ ＝ 一 ２） ２ 评注 这 两个 例 题将 差式 视 作 关 于　的二 次 函数 ， ３ 用配　 例 利
３ａ 时， ＞
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