求证:已知点I在求证等边三角形公式ABC内部,AI平分∠BAC,∠IBC=∠ACI=1/2∠BAC,则求证等边三角形公式的边长成等差数列

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-25 23:26 标签： 三角形面积公式
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如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B=35°，BC=AI+AC，则∠BAC的度数为（　　） A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°
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方法一：如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI=∠BCI，在△ACI与△DCI中，，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，∵BC=AI+AC，∴BD=AI，∴BD=DI，∴∠IBD=∠BID，∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，∴∠CDI=∠ABC，∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，∵∠B=35°，∴∠BAC=35°×2=70°；方法二：如图2，延长CA到D，使AD=AI，∴∠D=∠AID，∵BC=AI+AC，∴BC=CD，在△BCI与△DCI中，，∴△BCI≌△DCI（SAS），∴∠D=∠CBI，∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC=2∠CBI，又∵∠CAI=∠D+∠AID=2∠D，∠BAC=2∠CAI=2∠ABC，∵∠B=35°，∴∠BAC=2×35°=70°．故选B．
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方法一：在BC上取CD=AC，连接BI、DI，然后利用边角边证明△ACI与△DCI全等，根据全等三角形对应边相等可得AI=DI，对应角相等可得∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，然后根据等角对等边的性质以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；方法二：延长CA到D，使AD=AI，根据等边对等角可得∠D=∠AID，根据BC=AI+AC可得BC=CD，然后利用边角边证明△BCI与△DCI全等，根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠CBI，再根据叫平分线的定义以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CAI=2∠D=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解．
本题考点：
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“割补法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点．
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已知，如图△ABC中，I是内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于点E，且∠B=60°，那么△IEC是等边三角形吗？说说你的理由．
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△IEC是等边三角形．理由是：∵△ABC中，∠BAC+∠ACB=180°-∠B=180°-60°=120°，又∵I是△ABC的内心，则∠EAC=∠BAC，∠ACI=∠ACB，∴∠EAC+∠ACI=×120°=60°，∴∠CAE=∠EAC+∠ACI=60°，又∵∠AEC=∠B=60°，∴△IEC是等边三角形．
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根据内心是三角形的角的平分线的交点以及三角形的外角的性质求得∠EIC=60°，然后根据圆周角定理求得∠IEC的度数，根据有两个角是60度的三角形是等边三角形，即可证得．
本题考点：
三角形的内切圆与内心．
考点点评：
本题考查了三角形的内心的性质，以及圆周角定理，正确求得∠EIC的度数是关键．
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我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC&的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E． （1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．
∠BAC的度数
∠BIC的度数
∠BDI的度数
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（1）填写表格如下：
∠BAC的度数
∠BIC的度数
∠BDI的度数
150°&（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠BAC）=90+∠BAC；∵AI平分∠BAC，∴∠DAI=∠DAE．∵DE⊥AI于I，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．∴∠BIC=∠BDI．
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（1）通过画图、度量，即可完成表格；（2）先从上表中发现∠BIC=∠BDI，再分别证明∠BIC=90°+∠BAC，∠BDI=90°+∠BAC．
本题考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
考点点评：
本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质以及垂线的性质，比较简单．
扫描下载二维码我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作_百度知道
我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作
我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关...
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normal">12（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠BAC）=90+∠DAE．∵DE⊥AI于I，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC（1）填写表格如下：
∠BAC的度数
∠BIC的度数
120°&nbsp
采纳率：67%
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如上,I是三角形ABC三条角平分线的交点,且CA+AI =BC,若角BAC=80度,则角ABC,角AIB的度数分别是多少?
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作ID⊥AC于D,IE⊥BC于E,IF⊥AB于F,∵I是三角形内心,∴AD=AF,CD=CE,BE=BF,AC+AI=AD+CD+AI=AF+CE+AI=BC=CE+BE,∴AF+AI=BE,在线段BF上取点O,使FO=AF,△AFI≌△OFI,∴∠IAF=∠IOF AI=IO,IO+AF=IO+FO=BF&∴IO=BO,∠EBI=∠OIB=∠IBF=1/2∠EBA,∠ACI=∠IAF,∠IAF=∠IOF,∵∠BAC=80°,∴∠ABE=40°,∴∠IBA=20°,∵∠IAO=40°,∴∠AIB=120°．故答案为：40°；120°．
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