高数问题 曲面积分问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-27 15:13 标签： 对面积的曲面积分
高等数学曲面积分问题_数学吧_百度贴吧
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求柱面x^2+y^2=1被围在z=0和x+y+z=1之间的面积。
纠正一下，是x+y+z=3
登录百度帐号2018考研数学：曲面积分的解决方法
　　摘要：曲面积分一直是考研数学中的重中之重，而且常年用于命制大题，综合题的经典考点，更加是作为高等数学压轴部分，用于考研数学拔高，本文分享了一些曲面积分的解决办法，希望可以对你有益。
　　为什么曲面积分这么重要呢，因为一般来说从线到面的过渡过程，就可以给出一个维数持续升高时研究物体测度和其它典型性质的途径和方法。针对考研数学来说，曲面积分相关的题目是有技巧和典型方法的，下面文都老师就带你总结一下解曲面积分相关问题时，应该了解的事情。
　　★曲面积分与一般二重积分的区别与联系
　　二重积分不算是多元函数微积分的难点，因为它计算方法固定，几何意义很清晰，只是普通面积元素附带给定密度的组合。而从形式上看起来，曲面积分和二重积分相当类似，但是前者无论是计算难度，还是几何意义上的清晰度，都要显得更为复杂，这是为什么呢？
　　其实这是由于二重积分本身是在x-y平面上考虑的，而曲面积分的作用区域是一个曲面，两者的曲率差异造成了它们计算方法和复杂程度之间的显著差距。
　　但是两者之间的联系也很明显，通过一些技巧和变换，如果能够成功将曲面积分变成平面意义下的二重积分或者三重积分，就可以很容易计算出问题的答案。所以解决曲面积分问题的一个最为方便的途径，就是化曲面为平面，变换参数从而将原问题转化为普通积分。这样就能使得原来非常复杂的问题变成了一个可以用简单方法解决的问题。
　　那么一般情况下，应该如何化曲为直呢？在这一部分就给大家几种转换途径做一个归纳。为了方便起见，我们暂时不考虑曲面的定向。
　　（1）利用单变元转为其余变元函数的参数方程
　　（2）利用经典参数方程进行转化
　　较为经典的参数方程有三个参量的球坐标，柱坐标和广义球坐标，广义柱坐标等等。当然也可以考虑普通的仿射变换。在选取适当经典参数方程时，需要的依据是给定曲面的特点。如果能够选择到合适的坐标转换方式，很多复杂的曲面积分都可以迎刃而解，变成非常常规的普通积分题目。相反地，如果选取了一个不大合适的参数，即使最后可以做出结果，需要的时间也会变长，影响其它部分的考试效果。
　　一个选方程的经验是，如果给定的曲面是旋转曲面，而且是球面的一部分，那么一般来说球变换是比较好的选择。如果给定的曲面是柱面的一部分（直纹面），那么一般来说柱变换往往可以解决问题。如果给定曲面本身就是一个空间的平面，那么仿射变换是常用选择。
　　（3）对称型曲面积分的特别处理方法
　　较为复杂的曲面积分计算非常令人头疼，但是如果恰好给出的曲面积分具有某种意义下的对称性，那么问题就会变得相对容易。比如，给出的被积函数关于
　　有些时候，给定的曲面积分中被积函数恰好为1，那么此时曲面积分的几何意义就是，给定曲面的面积。这种曲面积分在进行处理和计算的时候，与我在前面提到的几种经典方法并没有本质曲面，主要思想依旧是依赖适当的坐标和参数选择化曲为直，再按照一般积分的方法去处理。
　　特别值得一提的是，有些时候题目要求大家求一些曲面的面积，除了考虑用旋转体面积公式之外，曲面积分的方法也是值得考虑的，因为这样会显得更为自然和直观，而且不用刻意去记忆稍显复杂的旋转体面积公式。
　　（4）高斯公式
　　高斯公式是解决曲面积分问题的有力工具之一，它按照封闭曲面曲面直接过渡为三重积分的方式处理曲面积分，但是需要大家注意的是，如果给定的曲面不封闭，则需要添加一些部分使它封闭，再将得到的减去给出部分带来的影响。第二点就是需要考虑定向，这些都写在教科书和一般复习材料里，我在这里不再赘述。需要问的一个问题是，这样做的本质原因是什么？为什么可以将封闭的曲面积分直接转化为三重积分？而根据斯托克斯公式，封闭曲线的积分也可以看成是曲面积分，这样做的合理性是如何保证的？
　　想回答这些问题，需要更为抽象和高深的数学知识。
　　（实习小编：大可）
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高等数学问题，对面积的曲面积分问题，如图
这道题应该怎么解
我有更好的答案
∫∫(x+1)dS=∫∫xdS+∫∫dS=0+2πr·h=2π∫∫xdS因为在x轴上是关于原点对称的，所以积分结果为0，∫∫dS就是圆柱面的面积。
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关于高数曲面积分的问题∑：Z=2 Dxy：x^2+y^2≤4∫∫(∑)(x+z^2)dzdy＝?有这样一个解释：“∑在xoy面上的投影区是一条线段故积分值为0”这个投影是线段吗 还是曲线?曲线的面积积分是0 .
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你可以从对坐标的曲面积分的物理意义上来看∑在yOz平面上投影为：z=2,y∈[-2,2],即一条线段,其所围面积为0对坐标的曲面积分的物理意义：流体流向曲面一侧的流量这流体速度垂直于yOz平面的分量通过曲面在yOz平面的投影面积所得流量为0(dQ=dS▪dV=0)所以曲面积分为0
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积分曲面是垂直于z轴的平面 ∑：Z=2 考察其对dzdy的积分当然看积分曲面上的微元在yoz平面上的投影，为一直线，当然投影面积为零，此时积分值必然为零，与被积函数无关。
扫描下载二维码2016考研数学曲线积分与曲面积分内容要点_新浪教育_新浪网
2016考研数学曲线积分与曲面积分内容要点
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　　曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容，数二数三考生不要求掌握，老师以高数教程为例，分章节归纳所要求掌握的内容要点，希望对2016考研人有所帮助。
　　9.1第一类曲线积分
　　内容要点：(1)第一类曲线积分的概念和性质；(2)第一类曲线积分计算
　　测试点：计算第一类曲线积分(包含平面曲线和空间曲线)
　　9.2第二类曲线积分
　　内容要点：(1)第二类曲线积分的概念和性质；(2)第二类曲线积分计算；(3)两类曲线积分之间的关系
　　测试点：计算第二类曲线积分
　　9.3格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件
　　内容要点：(1)格林公式；(2)平面曲线积分与路径无关的条件；(3)全微分法则；(4)全微分方程
　　测试点：(1)格林公式；(2)计算曲线积分；(3)全微分方程的求解
　　9.4第一类曲面积分
　　内容要点：(1)第一类曲面积分的概念和性质；(2)第一类曲面积分计算
　　测试点：计算第一类曲面积分
　　9.5 第二类曲面积分&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　　内容要点：(1)第二类曲面积分的概念和性质；(2)第二类曲面积分计算；(3)两类曲面积分之间的关系测试点：(1)直接计算第二类曲面积分(2)通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分
　　9.6高斯公式与散度
　　内容要点：(1)高斯公式；(2)散度
　　测试点：(1)高斯公式(熟练掌握)；(2)散度(记住公式即可)
　　9.7斯托克斯公式与旋度
　　内容要点：(1)斯托克斯公式；(2)旋度
　　测试点：(1)斯托克斯公式(熟练掌握)；(2)旋度(记住公式即可)
　　9.8综合例题
　　针对本章所学内容复习巩固，每个例题独立求解，然和和答案对比，对自己所学情况进行简单的测评。
　　老师以高数教程为基础，把曲线积分和曲面积分所要求掌握的知识点落实到每一章的某一节，希望考生在复习的过程中复习全面，不要出现遗漏知识点的现象。&&& 来源：文都教育
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